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Theorem sylow1lem1 14905
Description: Lemma for sylow1 14910. The p-adic valuation of the size of  S is equal to the number of excess powers of  P in  ( # `  X
)  /  ( P ^ N ). (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow1.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
sylow1.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
sylow1.f  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
sylow1.p  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
sylow1.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
sylow1.d  |-  ( ph  ->  ( P ^ N
)  ||  ( # `  X
) )
sylow1lem.a  |-  .+  =  ( +g  `  G )
sylow1lem.s  |-  S  =  { s  e.  ~P X  |  ( # `  s
)  =  ( P ^ N ) }
Assertion
Ref Expression
sylow1lem1  |-  ( ph  ->  ( ( # `  S
)  e.  NN  /\  ( P  pCnt  ( # `  S ) )  =  ( ( P  pCnt  (
# `  X )
)  -  N ) ) )
Distinct variable groups:    N, s    X, s    .+ , s    G, s    P, s
Allowed substitution hints:    ph( s)    S( s)

Proof of Theorem sylow1lem1
Dummy variables  x  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow1.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
2 sylow1.p . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
3 prmnn 12757 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
42, 3syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
5 sylow1.n . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
64, 5nnexpcld 11262 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P ^ N
)  e.  NN )
76nnzd 10112 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P ^ N
)  e.  ZZ )
8 hashbc 11387 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  ( P ^ N )  e.  ZZ )  -> 
( ( # `  X
)  _C  ( P ^ N ) )  =  ( # `  {
s  e.  ~P X  |  ( # `  s
)  =  ( P ^ N ) } ) )
91, 7, 8syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( # `  X
)  _C  ( P ^ N ) )  =  ( # `  {
s  e.  ~P X  |  ( # `  s
)  =  ( P ^ N ) } ) )
10 sylow1lem.s . . . . 5  |-  S  =  { s  e.  ~P X  |  ( # `  s
)  =  ( P ^ N ) }
1110fveq2i 5489 . . . 4  |-  ( # `  S )  =  (
# `  { s  e.  ~P X  |  (
# `  s )  =  ( P ^ N ) } )
129, 11syl6eqr 2334 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  X
)  _C  ( P ^ N ) )  =  ( # `  S
) )
13 sylow1.d . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P ^ N
)  ||  ( # `  X
) )
14 sylow1.g . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
15 sylow1.x . . . . . . . . . . 11  |-  X  =  ( Base `  G
)
1615grpbn0 14507 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  Grp  ->  X  =/=  (/) )
1714, 16syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
18 hasheq0 11349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  Fin  ->  (
( # `  X )  =  0  <->  X  =  (/) ) )
191, 18syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( # `  X
)  =  0  <->  X  =  (/) ) )
2019necon3bbid 2481 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( -.  ( # `  X )  =  0  <-> 
X  =/=  (/) ) )
2117, 20mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  -.  ( # `  X
)  =  0 )
22 hashcl 11346 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  Fin  ->  ( # `
 X )  e. 
NN0 )
231, 22syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  X
)  e.  NN0 )
24 elnn0 9963 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  X )  e.  NN0  <->  ( ( # `  X )  e.  NN  \/  ( # `  X
)  =  0 ) )
2523, 24sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( # `  X
)  e.  NN  \/  ( # `  X )  =  0 ) )
2625ord 366 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( -.  ( # `  X )  e.  NN  ->  ( # `  X
)  =  0 ) )
2721, 26mt3d 117 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( # `  X
)  e.  NN )
28 dvdsle 12570 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P ^ N
)  e.  ZZ  /\  ( # `  X )  e.  NN )  -> 
( ( P ^ N )  ||  ( # `
 X )  -> 
( P ^ N
)  <_  ( # `  X
) ) )
297, 27, 28syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( P ^ N )  ||  ( # `
 X )  -> 
( P ^ N
)  <_  ( # `  X
) ) )
3013, 29mpd 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P ^ N
)  <_  ( # `  X
) )
316nnnn0d 10014 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P ^ N
)  e.  NN0 )
32 nn0uz 10258 . . . . . . 7  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
3331, 32syl6eleq 2374 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P ^ N
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
3423nn0zd 10111 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  X
)  e.  ZZ )
35 elfz5 10786 . . . . . 6  |-  ( ( ( P ^ N
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  ( # `
 X )  e.  ZZ )  ->  (
( P ^ N
)  e.  ( 0 ... ( # `  X
) )  <->  ( P ^ N )  <_  ( # `
 X ) ) )
3633, 34, 35syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( P ^ N )  e.  ( 0 ... ( # `  X ) )  <->  ( P ^ N )  <_  ( # `
 X ) ) )
3730, 36mpbird 223 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( P ^ N
)  e.  ( 0 ... ( # `  X
) ) )
38 bccl2 11331 . . . 4  |-  ( ( P ^ N )  e.  ( 0 ... ( # `  X
) )  ->  (
( # `  X )  _C  ( P ^ N ) )  e.  NN )
3937, 38syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  X
)  _C  ( P ^ N ) )  e.  NN )
4012, 39eqeltrrd 2359 . 2  |-  ( ph  ->  ( # `  S
)  e.  NN )
41 nnuz 10259 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
426, 41syl6eleq 2374 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( P ^ N
)  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
43 elfz5 10786 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P ^ N
)  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  ( # `
 X )  e.  ZZ )  ->  (
( P ^ N
)  e.  ( 1 ... ( # `  X
) )  <->  ( P ^ N )  <_  ( # `
 X ) ) )
4442, 34, 43syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( P ^ N )  e.  ( 1 ... ( # `  X ) )  <->  ( P ^ N )  <_  ( # `
 X ) ) )
4530, 44mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P ^ N
)  e.  ( 1 ... ( # `  X
) ) )
46 1z 10049 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  ZZ
4746a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
48 fzsubel 10823 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( # `  X
)  e.  ZZ )  /\  ( ( P ^ N )  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ ) )  -> 
( ( P ^ N )  e.  ( 1 ... ( # `  X ) )  <->  ( ( P ^ N )  - 
1 )  e.  ( ( 1  -  1 ) ... ( (
# `  X )  -  1 ) ) ) )
4947, 34, 7, 47, 48syl22anc 1183 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( P ^ N )  e.  ( 1 ... ( # `  X ) )  <->  ( ( P ^ N )  - 
1 )  e.  ( ( 1  -  1 ) ... ( (
# `  X )  -  1 ) ) ) )
5045, 49mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( P ^ N )  -  1 )  e.  ( ( 1  -  1 ) ... ( ( # `  X )  -  1 ) ) )
51 1m1e0 9810 . . . . . . . 8  |-  ( 1  -  1 )  =  0
5251oveq1i 5830 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  -  1 ) ... ( ( # `  X )  -  1 ) )  =  ( 0 ... ( (
# `  X )  -  1 ) )
5350, 52syl6eleq 2374 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( P ^ N )  -  1 )  e.  ( 0 ... ( ( # `  X )  -  1 ) ) )
54 bcp1nk 11325 . . . . . 6  |-  ( ( ( P ^ N
)  -  1 )  e.  ( 0 ... ( ( # `  X
)  -  1 ) )  ->  ( (
( ( # `  X
)  -  1 )  +  1 )  _C  ( ( ( P ^ N )  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( # `  X )  -  1 )  _C  ( ( P ^ N )  -  1 ) )  x.  ( ( ( ( # `  X
)  -  1 )  +  1 )  / 
( ( ( P ^ N )  - 
1 )  +  1 ) ) ) )
5553, 54syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( (
# `  X )  -  1 )  +  1 )  _C  (
( ( P ^ N )  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( # `  X
)  -  1 )  _C  ( ( P ^ N )  - 
1 ) )  x.  ( ( ( (
# `  X )  -  1 )  +  1 )  /  (
( ( P ^ N )  -  1 )  +  1 ) ) ) )
5623nn0cnd 10016 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( # `  X
)  e.  CC )
57 ax-1cn 8791 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
58 npcan 9056 . . . . . . 7  |-  ( ( ( # `  X
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( # `  X )  -  1 )  +  1 )  =  ( # `  X
) )
5956, 57, 58sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  X )  -  1 )  +  1 )  =  ( # `  X
) )
606nncnd 9758 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P ^ N
)  e.  CC )
61 npcan 9056 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P ^ N
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( P ^ N )  - 
1 )  +  1 )  =  ( P ^ N ) )
6260, 57, 61sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( P ^ N )  - 
1 )  +  1 )  =  ( P ^ N ) )
6359, 62oveq12d 5838 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( (
# `  X )  -  1 )  +  1 )  _C  (
( ( P ^ N )  -  1 )  +  1 ) )  =  ( (
# `  X )  _C  ( P ^ N
) ) )
6459, 62oveq12d 5838 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( (
# `  X )  -  1 )  +  1 )  /  (
( ( P ^ N )  -  1 )  +  1 ) )  =  ( (
# `  X )  /  ( P ^ N ) ) )
6564oveq2d 5836 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( (
# `  X )  -  1 )  _C  ( ( P ^ N )  -  1 ) )  x.  (
( ( ( # `  X )  -  1 )  +  1 )  /  ( ( ( P ^ N )  -  1 )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ( # `  X
)  -  1 )  _C  ( ( P ^ N )  - 
1 ) )  x.  ( ( # `  X
)  /  ( P ^ N ) ) ) )
6655, 63, 653eqtr3d 2324 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( # `  X
)  _C  ( P ^ N ) )  =  ( ( ( ( # `  X
)  -  1 )  _C  ( ( P ^ N )  - 
1 ) )  x.  ( ( # `  X
)  /  ( P ^ N ) ) ) )
6766oveq2d 5836 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (
( # `  X )  _C  ( P ^ N ) ) )  =  ( P  pCnt  ( ( ( ( # `  X )  -  1 )  _C  ( ( P ^ N )  -  1 ) )  x.  ( ( # `  X )  /  ( P ^ N ) ) ) ) )
6812oveq2d 5836 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (
( # `  X )  _C  ( P ^ N ) ) )  =  ( P  pCnt  (
# `  S )
) )
69 bccl2 11331 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P ^ N
)  -  1 )  e.  ( 0 ... ( ( # `  X
)  -  1 ) )  ->  ( (
( # `  X )  -  1 )  _C  ( ( P ^ N )  -  1 ) )  e.  NN )
7053, 69syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  X )  -  1 )  _C  ( ( P ^ N )  -  1 ) )  e.  NN )
7170nnzd 10112 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  X )  -  1 )  _C  ( ( P ^ N )  -  1 ) )  e.  ZZ )
7270nnne0d 9786 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  X )  -  1 )  _C  ( ( P ^ N )  -  1 ) )  =/=  0 )
736nnne0d 9786 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P ^ N
)  =/=  0 )
74 dvdsval2 12530 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P ^ N
)  e.  ZZ  /\  ( P ^ N )  =/=  0  /\  ( # `
 X )  e.  ZZ )  ->  (
( P ^ N
)  ||  ( # `  X
)  <->  ( ( # `  X )  /  ( P ^ N ) )  e.  ZZ ) )
757, 73, 34, 74syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( P ^ N )  ||  ( # `
 X )  <->  ( ( # `
 X )  / 
( P ^ N
) )  e.  ZZ ) )
7613, 75mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( # `  X
)  /  ( P ^ N ) )  e.  ZZ )
7727nnne0d 9786 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  X
)  =/=  0 )
7856, 60, 77, 73divne0d 9548 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( # `  X
)  /  ( P ^ N ) )  =/=  0 )
79 pcmul 12900 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
( ( ( # `  X )  -  1 )  _C  ( ( P ^ N )  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  (
( ( # `  X
)  -  1 )  _C  ( ( P ^ N )  - 
1 ) )  =/=  0 )  /\  (
( ( # `  X
)  /  ( P ^ N ) )  e.  ZZ  /\  (
( # `  X )  /  ( P ^ N ) )  =/=  0 ) )  -> 
( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  1 )  _C  ( ( P ^ N )  -  1 ) )  x.  ( ( # `  X )  /  ( P ^ N ) ) ) )  =  ( ( P  pCnt  (
( ( # `  X
)  -  1 )  _C  ( ( P ^ N )  - 
1 ) ) )  +  ( P  pCnt  ( ( # `  X
)  /  ( P ^ N ) ) ) ) )
802, 71, 72, 76, 78, 79syl122anc 1191 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  1 )  _C  ( ( P ^ N )  -  1 ) )  x.  ( ( # `  X )  /  ( P ^ N ) ) ) )  =  ( ( P  pCnt  (
( ( # `  X
)  -  1 )  _C  ( ( P ^ N )  - 
1 ) ) )  +  ( P  pCnt  ( ( # `  X
)  /  ( P ^ N ) ) ) ) )
8157a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
8256, 60, 81npncand 9177 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  ( ( P ^ N )  - 
1 ) )  =  ( ( # `  X
)  -  1 ) )
8382oveq1d 5835 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  ( ( P ^ N )  -  1 ) )  _C  (
( P ^ N
)  -  1 ) )  =  ( ( ( # `  X
)  -  1 )  _C  ( ( P ^ N )  - 
1 ) ) )
8483oveq2d 5836 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  ( ( P ^ N )  - 
1 ) )  _C  ( ( P ^ N )  -  1 ) ) )  =  ( P  pCnt  (
( ( # `  X
)  -  1 )  _C  ( ( P ^ N )  - 
1 ) ) ) )
856nnred 9757 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P ^ N
)  e.  RR )
8685ltm1d 9685 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( P ^ N )  -  1 )  <  ( P ^ N ) )
87 nnm1nn0 10001 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P ^ N )  e.  NN  ->  (
( P ^ N
)  -  1 )  e.  NN0 )
886, 87syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( P ^ N )  -  1 )  e.  NN0 )
89 breq1 4027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  0  ->  (
x  <  ( P ^ N )  <->  0  <  ( P ^ N ) ) )
90 bcxmaslem1 12288 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  0  ->  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  x )  _C  x )  =  ( ( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  0 )  _C  0 ) )
9190oveq2d 5836 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  0  ->  ( P  pCnt  ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  x )  _C  x ) )  =  ( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  0 )  _C  0 ) ) )
9291eqeq1d 2292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  0  ->  (
( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  x )  _C  x ) )  =  0  <->  ( P  pCnt  ( ( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  0 )  _C  0 ) )  =  0 ) )
9389, 92imbi12d 311 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0  ->  (
( x  <  ( P ^ N )  -> 
( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  x )  _C  x ) )  =  0 )  <->  ( 0  <  ( P ^ N )  ->  ( P  pCnt  ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  0 )  _C  0 ) )  =  0 ) ) )
9493imbi2d 307 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  (
( ph  ->  ( x  <  ( P ^ N )  ->  ( P  pCnt  ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  x )  _C  x ) )  =  0 ) )  <->  ( ph  ->  ( 0  <  ( P ^ N )  -> 
( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  0 )  _C  0 ) )  =  0 ) ) ) )
95 breq1 4027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  n  ->  (
x  <  ( P ^ N )  <->  n  <  ( P ^ N ) ) )
96 bcxmaslem1 12288 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  n  ->  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  x )  _C  x )  =  ( ( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n ) )
9796oveq2d 5836 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  n  ->  ( P  pCnt  ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  x )  _C  x ) )  =  ( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n ) ) )
9897eqeq1d 2292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  n  ->  (
( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  x )  _C  x ) )  =  0  <->  ( P  pCnt  ( ( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n ) )  =  0 ) )
9995, 98imbi12d 311 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  n  ->  (
( x  <  ( P ^ N )  -> 
( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  x )  _C  x ) )  =  0 )  <->  ( n  <  ( P ^ N
)  ->  ( P  pCnt  ( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n
) )  =  0 ) ) )
10099imbi2d 307 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  n  ->  (
( ph  ->  ( x  <  ( P ^ N )  ->  ( P  pCnt  ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  x )  _C  x ) )  =  0 ) )  <->  ( ph  ->  ( n  <  ( P ^ N )  -> 
( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n ) )  =  0 ) ) ) )
101 breq1 4027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
x  <  ( P ^ N )  <->  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )
102 bcxmaslem1 12288 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  x )  _C  x )  =  ( ( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  ( n  + 
1 ) )  _C  ( n  +  1 ) ) )
103102oveq2d 5836 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( P  pCnt  ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  x )  _C  x ) )  =  ( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  ( n  + 
1 ) )  _C  ( n  +  1 ) ) ) )
104103eqeq1d 2292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  x )  _C  x ) )  =  0  <->  ( P  pCnt  ( ( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  ( n  + 
1 ) )  _C  ( n  +  1 ) ) )  =  0 ) )
105101, 104imbi12d 311 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( x  <  ( P ^ N )  -> 
( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  x )  _C  x ) )  =  0 )  <->  ( (
n  +  1 )  <  ( P ^ N )  ->  ( P  pCnt  ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  ( n  + 
1 ) )  _C  ( n  +  1 ) ) )  =  0 ) ) )
106105imbi2d 307 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( x  <  ( P ^ N )  ->  ( P  pCnt  ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  x )  _C  x ) )  =  0 ) )  <->  ( ph  ->  ( ( n  + 
1 )  <  ( P ^ N )  -> 
( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  ( n  + 
1 ) )  _C  ( n  +  1 ) ) )  =  0 ) ) ) )
107 breq1 4027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( P ^ N )  - 
1 )  ->  (
x  <  ( P ^ N )  <->  ( ( P ^ N )  - 
1 )  <  ( P ^ N ) ) )
108 bcxmaslem1 12288 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( ( P ^ N )  - 
1 )  ->  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  x )  _C  x )  =  ( ( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  ( ( P ^ N )  - 
1 ) )  _C  ( ( P ^ N )  -  1 ) ) )
109108oveq2d 5836 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( ( P ^ N )  - 
1 )  ->  ( P  pCnt  ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  x )  _C  x ) )  =  ( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  ( ( P ^ N )  - 
1 ) )  _C  ( ( P ^ N )  -  1 ) ) ) )
110109eqeq1d 2292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( P ^ N )  - 
1 )  ->  (
( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  x )  _C  x ) )  =  0  <->  ( P  pCnt  ( ( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  ( ( P ^ N )  - 
1 ) )  _C  ( ( P ^ N )  -  1 ) ) )  =  0 ) )
111107, 110imbi12d 311 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( ( P ^ N )  - 
1 )  ->  (
( x  <  ( P ^ N )  -> 
( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  x )  _C  x ) )  =  0 )  <->  ( (
( P ^ N
)  -  1 )  <  ( P ^ N )  ->  ( P  pCnt  ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  ( ( P ^ N )  - 
1 ) )  _C  ( ( P ^ N )  -  1 ) ) )  =  0 ) ) )
112111imbi2d 307 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( ( P ^ N )  - 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( x  <  ( P ^ N )  ->  ( P  pCnt  ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  x )  _C  x ) )  =  0 ) )  <->  ( ph  ->  ( ( ( P ^ N )  - 
1 )  <  ( P ^ N )  -> 
( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  ( ( P ^ N )  - 
1 ) )  _C  ( ( P ^ N )  -  1 ) ) )  =  0 ) ) ) )
113 znn0sub 10061 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( P ^ N
)  e.  ZZ  /\  ( # `  X )  e.  ZZ )  -> 
( ( P ^ N )  <_  ( # `
 X )  <->  ( ( # `
 X )  -  ( P ^ N ) )  e.  NN0 )
)
1147, 34, 113syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( P ^ N )  <_  ( # `
 X )  <->  ( ( # `
 X )  -  ( P ^ N ) )  e.  NN0 )
)
11530, 114mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  e.  NN0 )
116 0nn0 9976 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  NN0
117 nn0addcl 9995 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  e.  NN0  /\  0  e.  NN0 )  ->  (
( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  0 )  e. 
NN0 )
118115, 116, 117sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  0 )  e. 
NN0 )
119 bcn0 11319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  0 )  e. 
NN0  ->  ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  0 )  _C  0 )  =  1 )
120118, 119syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  0 )  _C  0
)  =  1 )
121120oveq2d 5836 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  0 )  _C  0 ) )  =  ( P  pCnt  1
) )
122 pc1 12904 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( P 
pCnt  1 )  =  0 )
1232, 122syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  1
)  =  0 )
124121, 123eqtrd 2316 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  0 )  _C  0 ) )  =  0 )
125124a1d 22 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0  <  ( P ^ N )  -> 
( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  0 )  _C  0 ) )  =  0 ) )
126 nn0re 9970 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  RR )
127126ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  ->  n  e.  RR )
128 nn0p1nn 9999 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( n  +  1 )  e.  NN )
129128ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( n  +  1 )  e.  NN )
130129nnred 9757 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( n  +  1 )  e.  RR )
1316adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( P ^ N
)  e.  NN )
132131nnred 9757 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( P ^ N
)  e.  RR )
133127ltp1d 9683 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  ->  n  <  ( n  + 
1 ) )
134 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( n  +  1 )  <  ( P ^ N ) )
135127, 130, 132, 133, 134lttrd 8973 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  ->  n  <  ( P ^ N ) )
136135expr 598 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
n  +  1 )  <  ( P ^ N )  ->  n  <  ( P ^ N
) ) )
137136imim1d 69 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
n  <  ( P ^ N )  ->  ( P  pCnt  ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n ) )  =  0 )  ->  (
( n  +  1 )  <  ( P ^ N )  -> 
( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n ) )  =  0 ) ) )
138 oveq1 5827 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  pCnt  ( (
( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n ) )  =  0  ->  ( ( P  pCnt  ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n ) )  +  ( P  pCnt  (
( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( 0  +  ( P 
pCnt  ( ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )
139115adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  e.  NN0 )
140139nn0cnd 10016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  e.  CC )
141 nn0cn 9971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  CC )
142141ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  ->  n  e.  CC )
14357a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
1  e.  CC )
144140, 142, 143addassd 8853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  =  ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  ( n  + 
1 ) ) )
145144oveq1d 5835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  _C  (
n  +  1 ) )  =  ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  ( n  + 
1 ) )  _C  ( n  +  1 ) ) )
146 nn0addge2 10007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( n  e.  RR  /\  ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  e.  NN0 )  ->  n  <_  ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n ) )
147127, 139, 146syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  ->  n  <_  ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n ) )
148 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  ->  n  e.  NN0 )
149148, 32syl6eleq 2374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
150139, 148nn0addcld 10018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  e. 
NN0 )
151150nn0zd 10111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  e.  ZZ )
152 elfz5 10786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  (
( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  n )  e.  ZZ )  ->  (
n  e.  ( 0 ... ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n ) )  <->  n  <_  ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  n ) ) )
153149, 151, 152syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( n  e.  ( 0 ... ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  n ) )  <-> 
n  <_  ( (
( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n ) ) )
154147, 153mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  ->  n  e.  ( 0 ... ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n ) ) )
155 bcp1nk 11325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  ( 0 ... ( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n ) )  ->  ( ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  _C  (
n  +  1 ) )  =  ( ( ( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n )  x.  (
( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) ) ) )
156154, 155syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  _C  (
n  +  1 ) )  =  ( ( ( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n )  x.  (
( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) ) ) )
157145, 156eqtr3d 2318 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  ( n  +  1 ) )  _C  (
n  +  1 ) )  =  ( ( ( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n )  x.  (
( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) ) ) )
158157oveq2d 5836 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  ( n  + 
1 ) )  _C  ( n  +  1 ) ) )  =  ( P  pCnt  (
( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n
)  x.  ( ( ( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )
1592adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  ->  P  e.  Prime )
160 bccl2 11331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  ( 0 ... ( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n ) )  ->  ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n )  e.  NN )
161154, 160syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n
)  e.  NN )
162 nnq 10325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n )  e.  NN  ->  ( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n
)  e.  QQ )
163161, 162syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n
)  e.  QQ )
164161nnne0d 9786 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n
)  =/=  0 )
165151peano2zd 10116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  e.  ZZ )
166 znq 10316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( n  +  1
)  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  /  (
n  +  1 ) )  e.  QQ )
167165, 129, 166syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  /  (
n  +  1 ) )  e.  QQ )
168 nn0p1nn 9999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  n )  e. 
NN0  ->  ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  e.  NN )
169150, 168syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  e.  NN )
170 nnrp 10359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  e.  NN  ->  ( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  e.  RR+ )
171 nnrp 10359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( n  +  1 )  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  RR+ )
172 rpdivcl 10372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  e.  RR+  /\  (
n  +  1 )  e.  RR+ )  ->  (
( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) )  e.  RR+ )
173170, 171, 172syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  e.  NN  /\  ( n  +  1
)  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  /  (
n  +  1 ) )  e.  RR+ )
174169, 129, 173syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  /  (
n  +  1 ) )  e.  RR+ )
175174rpne0d 10391 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  /  (
n  +  1 ) )  =/=  0 )
176 pcqmul 12902 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n
)  e.  QQ  /\  ( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n
)  =/=  0 )  /\  ( ( ( ( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  /  (
n  +  1 ) )  e.  QQ  /\  ( ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  /  (
n  +  1 ) )  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  ( ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n )  x.  (
( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n ) )  +  ( P  pCnt  (
( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) ) ) ) )
177159, 163, 164, 167, 175, 176syl122anc 1191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( P  pCnt  (
( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n
)  x.  ( ( ( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  /  (
n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( P  pCnt  ( ( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n ) )  +  ( P  pCnt  (
( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) ) ) ) )
178158, 177eqtrd 2316 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  ( n  + 
1 ) )  _C  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( P  pCnt  ( ( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n ) )  +  ( P  pCnt  (
( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) ) ) ) )
179169nnne0d 9786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  =/=  0 )
180 pcdiv 12901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  =/=  0 )  /\  ( n  + 
1 )  e.  NN )  ->  ( P  pCnt  ( ( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( P  pCnt  ( (
( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 ) )  -  ( P  pCnt  ( n  +  1 ) ) ) )
181159, 165, 179, 129, 180syl121anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( P  pCnt  (
( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( P  pCnt  ( (
( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 ) )  -  ( P  pCnt  ( n  +  1 ) ) ) )
182129nncnd 9758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( n  +  1 )  e.  CC )
183140, 182addcomd 9010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  ( n  + 
1 ) )  =  ( ( n  + 
1 )  +  ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) ) ) )
184144, 183eqtrd 2316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  =  ( ( n  +  1 )  +  ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) ) ) )
185184oveq2d 5836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 ) )  =  ( P  pCnt  (
( n  +  1 )  +  ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) ) ) ) )
186 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  <  ( P ^ N ) ) )  /\  ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  =  0 )  -> 
( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  =  0 )
187186oveq2d 5836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  <  ( P ^ N ) ) )  /\  ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  =  0 )  -> 
( ( n  + 
1 )  +  ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) ) )  =  ( ( n  +  1 )  +  0 ) )
188182addid1d 9008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  +  0 )  =  ( n  +  1 ) )
189188adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  <  ( P ^ N ) ) )  /\  ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  =  0 )  -> 
( ( n  + 
1 )  +  0 )  =  ( n  +  1 ) )
190187, 189eqtr2d 2317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  <  ( P ^ N ) ) )  /\  ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  =  0 )  -> 
( n  +  1 )  =  ( ( n  +  1 )  +  ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) ) ) )
191190oveq2d 5836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  <  ( P ^ N ) ) )  /\  ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  =  0 )  -> 
( P  pCnt  (
n  +  1 ) )  =  ( P 
pCnt  ( ( n  +  1 )  +  ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) ) ) ) )
1922ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  <  ( P ^ N ) ) )  /\  ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  =/=  0 )  ->  P  e.  Prime )
193 nnq 10325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( n  +  1 )  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  QQ )
194129, 193syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( n  +  1 )  e.  QQ )
195194adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  <  ( P ^ N ) ) )  /\  ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  =/=  0 )  -> 
( n  +  1 )  e.  QQ )
196139nn0zd 10111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  e.  ZZ )
197 zq 10318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  e.  ZZ  ->  (
( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  e.  QQ )
198196, 197syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  e.  QQ )
199198adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  <  ( P ^ N ) ) )  /\  ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  =/=  0 )  -> 
( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  e.  QQ )
200159, 129pccld 12899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( P  pCnt  (
n  +  1 ) )  e.  NN0 )
201200nn0red 10015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( P  pCnt  (
n  +  1 ) )  e.  RR )
202201adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  <  ( P ^ N ) ) )  /\  ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  =/=  0 )  -> 
( P  pCnt  (
n  +  1 ) )  e.  RR )
2035adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  ->  N  e.  NN0 )
204203nn0red 10015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  ->  N  e.  RR )
205204adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  <  ( P ^ N ) ) )  /\  ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  =/=  0 )  ->  N  e.  RR )
206 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  <  ( P ^ N ) ) )  /\  ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  =/=  0 )  -> 
( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  =/=  0 )
207206neneqd 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  <  ( P ^ N ) ) )  /\  ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  =/=  0 )  ->  -.  ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  =  0 )
208115ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  <  ( P ^ N ) ) )  /\  ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  =/=  0 )  -> 
( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  e.  NN0 )
209 elnn0 9963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  e.  NN0  <->  ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  e.  NN  \/  ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  =  0 ) )
210208, 209sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  <  ( P ^ N ) ) )  /\  ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  =/=  0 )  -> 
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  e.  NN  \/  (
( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  =  0 ) )
211210ord 366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  <  ( P ^ N ) ) )  /\  ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  =/=  0 )  -> 
( -.  ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  e.  NN  ->  ( ( # `
 X )  -  ( P ^ N ) )  =  0 ) )
212207, 211mt3d 117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  <  ( P ^ N ) ) )  /\  ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  =/=  0 )  -> 
( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  e.  NN )
213192, 212pccld 12899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  <  ( P ^ N ) ) )  /\  ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  =/=  0 )  -> 
( P  pCnt  (
( # `  X )  -  ( P ^ N ) ) )  e.  NN0 )
214213nn0red 10015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  <  ( P ^ N ) ) )  /\  ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  =/=  0 )  -> 
( P  pCnt  (
( # `  X )  -  ( P ^ N ) ) )  e.  RR )
215129nnzd 10112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( n  +  1 )  e.  ZZ )
216 pcdvdsb 12917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
n  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( N  <_  ( P  pCnt  ( n  +  1 ) )  <->  ( P ^ N )  ||  (
n  +  1 ) ) )
217159, 215, 203, 216syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( N  <_  ( P  pCnt  ( n  + 
1 ) )  <->  ( P ^ N )  ||  (
n  +  1 ) ) )
2187adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( P ^ N
)  e.  ZZ )
219 dvdsle 12570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( P ^ N
)  e.  ZZ  /\  ( n  +  1
)  e.  NN )  ->  ( ( P ^ N )  ||  ( n  +  1
)  ->  ( P ^ N )  <_  (
n  +  1 ) ) )
220218, 129, 219syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( ( P ^ N )  ||  (
n  +  1 )  ->  ( P ^ N )  <_  (
n  +  1 ) ) )
221217, 220sylbid 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( N  <_  ( P  pCnt  ( n  + 
1 ) )  -> 
( P ^ N
)  <_  ( n  +  1 ) ) )
222204, 201lenltd 8961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( N  <_  ( P  pCnt  ( n  + 
1 ) )  <->  -.  ( P  pCnt  ( n  + 
1 ) )  < 
N ) )
223132, 130lenltd 8961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( ( P ^ N )  <_  (
n  +  1 )  <->  -.  ( n  +  1 )  <  ( P ^ N ) ) )
224221, 222, 2233imtr3d 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( -.  ( P 
pCnt  ( n  + 
1 ) )  < 
N  ->  -.  (
n  +  1 )  <  ( P ^ N ) ) )
225134, 224mt4d 130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( P  pCnt  (
n  +  1 ) )  <  N )
226225adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  <  ( P ^ N ) ) )  /\  ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  =/=  0 )  -> 
( P  pCnt  (
n  +  1 ) )  <  N )
227 dvdssubr 12566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( P ^ N
)  e.  ZZ  /\  ( # `  X )  e.  ZZ )  -> 
( ( P ^ N )  ||  ( # `
 X )  <->  ( P ^ N )  ||  (
( # `  X )  -  ( P ^ N ) ) ) )
2287, 34, 227syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  ( ( P ^ N )  ||  ( # `
 X )  <->  ( P ^ N )  ||  (
( # `  X )  -  ( P ^ N ) ) ) )
22913, 228mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( P ^ N
)  ||  ( ( # `
 X )  -  ( P ^ N ) ) )
230229ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  <  ( P ^ N ) ) )  /\  ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  =/=  0 )  -> 
( P ^ N
)  ||  ( ( # `
 X )  -  ( P ^ N ) ) )
231208nn0zd 10111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  <  ( P ^ N ) ) )  /\  ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  =/=  0 )  -> 
( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  e.  ZZ )
2325ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  <  ( P ^ N ) ) )  /\  ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  =/=  0 )  ->  N  e.  NN0 )
233 pcdvdsb 12917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  e.  ZZ  /\  N  e. 
NN0 )  ->  ( N  <_  ( P  pCnt  ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) ) )  <->  ( P ^ N )  ||  (
( # `  X )  -  ( P ^ N ) ) ) )
234192, 231, 232, 233syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  <  ( P ^ N ) ) )  /\  ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  =/=  0 )  -> 
( N  <_  ( P  pCnt  ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) ) )  <->  ( P ^ N )  ||  (
( # `  X )  -  ( P ^ N ) ) ) )
235230, 234mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  <  ( P ^ N ) ) )  /\  ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  =/=  0 )  ->  N  <_  ( P  pCnt  ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) ) ) )
236202, 205, 214, 226, 235ltletrd 8972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  <  ( P ^ N ) ) )  /\  ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  =/=  0 )  -> 
( P  pCnt  (
n  +  1 ) )  <  ( P 
pCnt  ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) ) ) )
237192, 195, 199, 236pcadd2 12934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  <  ( P ^ N ) ) )  /\  ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  =/=  0 )  -> 
( P  pCnt  (
n  +  1 ) )  =  ( P 
pCnt  ( ( n  +  1 )  +  ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) ) ) ) )
238191, 237pm2.61dane 2525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( P  pCnt  (
n  +  1 ) )  =  ( P 
pCnt  ( ( n  +  1 )  +  ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) ) ) ) )
239185, 238eqtr4d 2319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 ) )  =  ( P  pCnt  (
n  +  1 ) ) )
240200nn0cnd 10016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( P  pCnt  (
n  +  1 ) )  e.  CC )
241239, 240eqeltrd 2358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 ) )  e.  CC )
242 subeq0 9069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 ) )  e.  CC  /\  ( P 
pCnt  ( n  + 
1 ) )  e.  CC )  ->  (
( ( P  pCnt  ( ( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 ) )  -  ( P  pCnt  ( n  +  1 ) ) )  =  0  <->  ( P  pCnt  ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 ) )  =  ( P  pCnt  (
n  +  1 ) ) ) )
243241, 240, 242syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( ( ( P 
pCnt  ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 ) )  -  ( P  pCnt  ( n  +  1 ) ) )  =  0  <->  ( P  pCnt  ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 ) )  =  ( P  pCnt  (
n  +  1 ) ) ) )
244239, 243mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( ( P  pCnt  ( ( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 ) )  -  ( P  pCnt  ( n  +  1 ) ) )  =  0 )
245181, 244eqtrd 2316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( P  pCnt  (
( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) ) )  =  0 )
246245oveq2d 5836 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( 0  +  ( P  pCnt  ( (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  /  (
n  +  1 ) ) ) )  =  ( 0  +  0 ) )
247 00id 8983 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0  +  0 )  =  0
248246, 247syl6req 2333 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
0  =  ( 0  +  ( P  pCnt  ( ( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) ) ) ) )
249178, 248eqeq12d 2298 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( ( P  pCnt  ( ( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  ( n  + 
1 ) )  _C  ( n  +  1 ) ) )  =  0  <->  ( ( P 
pCnt  ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n ) )  +  ( P  pCnt  (
( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( 0  +  ( P 
pCnt  ( ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  /  (
n  +  1 ) ) ) ) ) )
250138, 249syl5ibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( ( P  pCnt  ( ( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n ) )  =  0  ->  ( P  pCnt  ( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  ( n  +  1 ) )  _C  (
n  +  1 ) ) )  =  0 ) )
251250expr 598 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
n  +  1 )  <  ( P ^ N )  ->  (
( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n ) )  =  0  ->  ( P  pCnt  ( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  ( n  +  1 ) )  _C  (
n  +  1 ) ) )  =  0 ) ) )
252251a2d 23 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
( n  +  1 )  <  ( P ^ N )  -> 
( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n ) )  =  0 )  ->  (
( n  +  1 )  <  ( P ^ N )  -> 
( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  ( n  + 
1 ) )  _C  ( n  +  1 ) ) )  =  0 ) ) )
253137, 252syld 40 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
n  <  ( P ^ N )  ->  ( P  pCnt  ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n ) )  =  0 )  ->  (
( n  +  1 )  <  ( P ^ N )  -> 
( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  ( n  + 
1 ) )  _C  ( n  +  1 ) ) )  =  0 ) ) )
254253expcom 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ph  ->  ( ( n  < 
( P ^ N
)  ->  ( P  pCnt  ( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n
) )  =  0 )  ->  ( (
n  +  1 )  <  ( P ^ N )  ->  ( P  pCnt  ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  ( n  + 
1 ) )  _C  ( n  +  1 ) ) )  =  0 ) ) ) )
255254a2d 23 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( (
ph  ->  ( n  < 
( P ^ N
)  ->  ( P  pCnt  ( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n
) )  =  0 ) )  ->  ( ph  ->  ( ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
)  ->  ( P  pCnt  ( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  ( n  +  1 ) )  _C  (
n  +  1 ) ) )  =  0 ) ) ) )
25694, 100, 106, 112, 125, 255nn0ind 10104 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P ^ N
)  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ph  ->  ( ( ( P ^ N )  - 
1 )  <  ( P ^ N )  -> 
( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  ( ( P ^ N )  - 
1 ) )  _C  ( ( P ^ N )  -  1 ) ) )  =  0 ) ) )
25788, 256mpcom 32 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( P ^ N )  - 
1 )  <  ( P ^ N )  -> 
( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  ( ( P ^ N )  - 
1 ) )  _C  ( ( P ^ N )  -  1 ) ) )  =  0 ) )
25886, 257mpd 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  ( ( P ^ N )  - 
1 ) )  _C  ( ( P ^ N )  -  1 ) ) )  =  0 )
25984, 258eqtr3d 2318 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (
( ( # `  X
)  -  1 )  _C  ( ( P ^ N )  - 
1 ) ) )  =  0 )
260 pcdiv 12901 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
( # `  X )  e.  ZZ  /\  ( # `
 X )  =/=  0 )  /\  ( P ^ N )  e.  NN )  ->  ( P  pCnt  ( ( # `  X )  /  ( P ^ N ) ) )  =  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  ( P  pCnt  ( P ^ N ) ) ) )
2612, 34, 77, 6, 260syl121anc 1187 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (
( # `  X )  /  ( P ^ N ) ) )  =  ( ( P 
pCnt  ( # `  X
) )  -  ( P  pCnt  ( P ^ N ) ) ) )
2625nn0zd 10111 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
263 pcid 12921 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( P  pCnt  ( P ^ N ) )  =  N )
2642, 262, 263syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  ( P ^ N ) )  =  N )
265264oveq2d 5836 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( P  pCnt  (
# `  X )
)  -  ( P 
pCnt  ( P ^ N ) ) )  =  ( ( P 
pCnt  ( # `  X
) )  -  N
) )
266261, 265eqtrd 2316 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (
( # `  X )  /  ( P ^ N ) ) )  =  ( ( P 
pCnt  ( # `  X
) )  -  N
) )
267259, 266oveq12d 5838 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( P  pCnt  ( ( ( # `  X
)  -  1 )  _C  ( ( P ^ N )  - 
1 ) ) )  +  ( P  pCnt  ( ( # `  X
)  /  ( P ^ N ) ) ) )  =  ( 0  +  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
) ) )
2682, 27pccld 12899 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  ( # `
 X ) )  e.  NN0 )
269268nn0zd 10111 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  ( # `
 X ) )  e.  ZZ )
270269, 262zsubcld 10118 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( P  pCnt  (
# `  X )
)  -  N )  e.  ZZ )
271270zcnd 10114 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( P  pCnt  (
# `  X )
)  -  N )  e.  CC )
272271addid2d 9009 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0  +  ( ( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  =  ( ( P 
pCnt  ( # `  X
) )  -  N
) )
27380, 267, 2723eqtrd 2320 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  1 )  _C  ( ( P ^ N )  -  1 ) )  x.  ( ( # `  X )  /  ( P ^ N ) ) ) )  =  ( ( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )
27467, 68, 2733eqtr3d 2324 . 2  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  ( # `
 S ) )  =  ( ( P 
pCnt  ( # `  X
) )  -  N
) )
27540, 274jca 518 1  |-  ( ph  ->  ( ( # `  S
)  e.  NN  /\  ( P  pCnt  ( # `  S ) )  =  ( ( P  pCnt  (
# `  X )
)  -  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1685    =/= wne 2447   {crab 2548   (/)c0 3456   ~Pcpw 3626   class class class wbr 4024   ` cfv 5221  (class class class)co 5820   Fincfn 6859   CCcc 8731   RRcr 8732   0cc0 8733   1c1 8734    + caddc 8736    x. cmul 8738    < clt 8863    <_ cle 8864    - cmin 9033    / cdiv 9419   NNcn 9742   NN0cn0 9961   ZZcz 10020   ZZ>=cuz 10226   QQcq 10312   RR+crp 10350   ...cfz 10778   ^cexp 11100    _C cbc 11311   #chash 11333    || cdivides 12527   Primecprime 12754    pCnt cpc 12885   Basecbs 13144   +g cplusg 13204   Grpcgrp 14358
This theorem is referenced by:  sylow1lem3  14907
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-pre-sup 8811
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-1o 6475  df-2o 6476  df-oadd 6479  df-er 6656  df-map 6770  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-fin 6863  df-sup 7190  df-card 7568  df-cda 7790  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-n0 9962  df-z 10021  df-uz 10227  df-q 10313  df-rp 10351  df-fz 10779  df-fl 10921  df-mod 10970  df-seq 11043  df-exp 11101  df-fac 11285  df-bc 11312  df-hash 11334  df-cj 11580  df-re 11581  df-im 11582  df-sqr 11716  df-abs 11717  df-dvds 12528  df-gcd 12682  df-prm 12755  df-pc 12886  df-0g 13400  df-mnd 14363  df-grp 14485
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