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Theorem sylow1lem1 15152
Description: Lemma for sylow1 15157. The p-adic valuation of the size of  S is equal to the number of excess powers of  P in  ( # `  X
)  /  ( P ^ N ). (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow1.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
sylow1.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
sylow1.f  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
sylow1.p  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
sylow1.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
sylow1.d  |-  ( ph  ->  ( P ^ N
)  ||  ( # `  X
) )
sylow1lem.a  |-  .+  =  ( +g  `  G )
sylow1lem.s  |-  S  =  { s  e.  ~P X  |  ( # `  s
)  =  ( P ^ N ) }
Assertion
Ref Expression
sylow1lem1  |-  ( ph  ->  ( ( # `  S
)  e.  NN  /\  ( P  pCnt  ( # `  S ) )  =  ( ( P  pCnt  (
# `  X )
)  -  N ) ) )
Distinct variable groups:    N, s    X, s    .+ , s    G, s    P, s
Allowed substitution hints:    ph( s)    S( s)

Proof of Theorem sylow1lem1
Dummy variables  x  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow1.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
2 sylow1.p . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
3 prmnn 13002 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
42, 3syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
5 sylow1.n . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
64, 5nnexpcld 11464 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P ^ N
)  e.  NN )
76nnzd 10299 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P ^ N
)  e.  ZZ )
8 hashbc 11622 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  ( P ^ N )  e.  ZZ )  -> 
( ( # `  X
)  _C  ( P ^ N ) )  =  ( # `  {
s  e.  ~P X  |  ( # `  s
)  =  ( P ^ N ) } ) )
91, 7, 8syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( # `  X
)  _C  ( P ^ N ) )  =  ( # `  {
s  e.  ~P X  |  ( # `  s
)  =  ( P ^ N ) } ) )
10 sylow1lem.s . . . . 5  |-  S  =  { s  e.  ~P X  |  ( # `  s
)  =  ( P ^ N ) }
1110fveq2i 5664 . . . 4  |-  ( # `  S )  =  (
# `  { s  e.  ~P X  |  (
# `  s )  =  ( P ^ N ) } )
129, 11syl6eqr 2430 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  X
)  _C  ( P ^ N ) )  =  ( # `  S
) )
13 sylow1.d . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P ^ N
)  ||  ( # `  X
) )
14 sylow1.g . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
15 sylow1.x . . . . . . . . . . 11  |-  X  =  ( Base `  G
)
1615grpbn0 14754 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  Grp  ->  X  =/=  (/) )
1714, 16syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
18 hasheq0 11564 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  Fin  ->  (
( # `  X )  =  0  <->  X  =  (/) ) )
191, 18syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( # `  X
)  =  0  <->  X  =  (/) ) )
2019necon3bbid 2577 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( -.  ( # `  X )  =  0  <-> 
X  =/=  (/) ) )
2117, 20mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  -.  ( # `  X
)  =  0 )
22 hashcl 11559 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  Fin  ->  ( # `
 X )  e. 
NN0 )
231, 22syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  X
)  e.  NN0 )
24 elnn0 10148 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  X )  e.  NN0  <->  ( ( # `  X )  e.  NN  \/  ( # `  X
)  =  0 ) )
2523, 24sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( # `  X
)  e.  NN  \/  ( # `  X )  =  0 ) )
2625ord 367 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( -.  ( # `  X )  e.  NN  ->  ( # `  X
)  =  0 ) )
2721, 26mt3d 119 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( # `  X
)  e.  NN )
28 dvdsle 12815 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P ^ N
)  e.  ZZ  /\  ( # `  X )  e.  NN )  -> 
( ( P ^ N )  ||  ( # `
 X )  -> 
( P ^ N
)  <_  ( # `  X
) ) )
297, 27, 28syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( P ^ N )  ||  ( # `
 X )  -> 
( P ^ N
)  <_  ( # `  X
) ) )
3013, 29mpd 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P ^ N
)  <_  ( # `  X
) )
316nnnn0d 10199 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P ^ N
)  e.  NN0 )
32 nn0uz 10445 . . . . . . 7  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
3331, 32syl6eleq 2470 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P ^ N
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
3423nn0zd 10298 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  X
)  e.  ZZ )
35 elfz5 10976 . . . . . 6  |-  ( ( ( P ^ N
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  ( # `
 X )  e.  ZZ )  ->  (
( P ^ N
)  e.  ( 0 ... ( # `  X
) )  <->  ( P ^ N )  <_  ( # `
 X ) ) )
3633, 34, 35syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( P ^ N )  e.  ( 0 ... ( # `  X ) )  <->  ( P ^ N )  <_  ( # `
 X ) ) )
3730, 36mpbird 224 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( P ^ N
)  e.  ( 0 ... ( # `  X
) ) )
38 bccl2 11534 . . . 4  |-  ( ( P ^ N )  e.  ( 0 ... ( # `  X
) )  ->  (
( # `  X )  _C  ( P ^ N ) )  e.  NN )
3937, 38syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  X
)  _C  ( P ^ N ) )  e.  NN )
4012, 39eqeltrrd 2455 . 2  |-  ( ph  ->  ( # `  S
)  e.  NN )
41 nnuz 10446 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
426, 41syl6eleq 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( P ^ N
)  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
43 elfz5 10976 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P ^ N
)  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  ( # `
 X )  e.  ZZ )  ->  (
( P ^ N
)  e.  ( 1 ... ( # `  X
) )  <->  ( P ^ N )  <_  ( # `
 X ) ) )
4442, 34, 43syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( P ^ N )  e.  ( 1 ... ( # `  X ) )  <->  ( P ^ N )  <_  ( # `
 X ) ) )
4530, 44mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P ^ N
)  e.  ( 1 ... ( # `  X
) ) )
46 1z 10236 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  ZZ
4746a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
48 fzsubel 11013 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( # `  X
)  e.  ZZ )  /\  ( ( P ^ N )  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ ) )  -> 
( ( P ^ N )  e.  ( 1 ... ( # `  X ) )  <->  ( ( P ^ N )  - 
1 )  e.  ( ( 1  -  1 ) ... ( (
# `  X )  -  1 ) ) ) )
4947, 34, 7, 47, 48syl22anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( P ^ N )  e.  ( 1 ... ( # `  X ) )  <->  ( ( P ^ N )  - 
1 )  e.  ( ( 1  -  1 ) ... ( (
# `  X )  -  1 ) ) ) )
5045, 49mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( P ^ N )  -  1 )  e.  ( ( 1  -  1 ) ... ( ( # `  X )  -  1 ) ) )
51 1m1e0 9993 . . . . . . . 8  |-  ( 1  -  1 )  =  0
5251oveq1i 6023 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  -  1 ) ... ( ( # `  X )  -  1 ) )  =  ( 0 ... ( (
# `  X )  -  1 ) )
5350, 52syl6eleq 2470 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( P ^ N )  -  1 )  e.  ( 0 ... ( ( # `  X )  -  1 ) ) )
54 bcp1nk 11528 . . . . . 6  |-  ( ( ( P ^ N
)  -  1 )  e.  ( 0 ... ( ( # `  X
)  -  1 ) )  ->  ( (
( ( # `  X
)  -  1 )  +  1 )  _C  ( ( ( P ^ N )  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( # `  X )  -  1 )  _C  ( ( P ^ N )  -  1 ) )  x.  ( ( ( ( # `  X
)  -  1 )  +  1 )  / 
( ( ( P ^ N )  - 
1 )  +  1 ) ) ) )
5553, 54syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( (
# `  X )  -  1 )  +  1 )  _C  (
( ( P ^ N )  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( # `  X
)  -  1 )  _C  ( ( P ^ N )  - 
1 ) )  x.  ( ( ( (
# `  X )  -  1 )  +  1 )  /  (
( ( P ^ N )  -  1 )  +  1 ) ) ) )
5623nn0cnd 10201 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( # `  X
)  e.  CC )
57 ax-1cn 8974 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
58 npcan 9239 . . . . . . 7  |-  ( ( ( # `  X
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( # `  X )  -  1 )  +  1 )  =  ( # `  X
) )
5956, 57, 58sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  X )  -  1 )  +  1 )  =  ( # `  X
) )
606nncnd 9941 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P ^ N
)  e.  CC )
61 npcan 9239 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P ^ N
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( P ^ N )  - 
1 )  +  1 )  =  ( P ^ N ) )
6260, 57, 61sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( P ^ N )  - 
1 )  +  1 )  =  ( P ^ N ) )
6359, 62oveq12d 6031 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( (
# `  X )  -  1 )  +  1 )  _C  (
( ( P ^ N )  -  1 )  +  1 ) )  =  ( (
# `  X )  _C  ( P ^ N
) ) )
6459, 62oveq12d 6031 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( (
# `  X )  -  1 )  +  1 )  /  (
( ( P ^ N )  -  1 )  +  1 ) )  =  ( (
# `  X )  /  ( P ^ N ) ) )
6564oveq2d 6029 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( (
# `  X )  -  1 )  _C  ( ( P ^ N )  -  1 ) )  x.  (
( ( ( # `  X )  -  1 )  +  1 )  /  ( ( ( P ^ N )  -  1 )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ( # `  X
)  -  1 )  _C  ( ( P ^ N )  - 
1 ) )  x.  ( ( # `  X
)  /  ( P ^ N ) ) ) )
6655, 63, 653eqtr3d 2420 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( # `  X
)  _C  ( P ^ N ) )  =  ( ( ( ( # `  X
)  -  1 )  _C  ( ( P ^ N )  - 
1 ) )  x.  ( ( # `  X
)  /  ( P ^ N ) ) ) )
6766oveq2d 6029 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (
( # `  X )  _C  ( P ^ N ) ) )  =  ( P  pCnt  ( ( ( ( # `  X )  -  1 )  _C  ( ( P ^ N )  -  1 ) )  x.  ( ( # `  X )  /  ( P ^ N ) ) ) ) )
6812oveq2d 6029 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (
( # `  X )  _C  ( P ^ N ) ) )  =  ( P  pCnt  (
# `  S )
) )
69 bccl2 11534 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P ^ N
)  -  1 )  e.  ( 0 ... ( ( # `  X
)  -  1 ) )  ->  ( (
( # `  X )  -  1 )  _C  ( ( P ^ N )  -  1 ) )  e.  NN )
7053, 69syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  X )  -  1 )  _C  ( ( P ^ N )  -  1 ) )  e.  NN )
7170nnzd 10299 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  X )  -  1 )  _C  ( ( P ^ N )  -  1 ) )  e.  ZZ )
7270nnne0d 9969 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  X )  -  1 )  _C  ( ( P ^ N )  -  1 ) )  =/=  0 )
736nnne0d 9969 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P ^ N
)  =/=  0 )
74 dvdsval2 12775 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P ^ N
)  e.  ZZ  /\  ( P ^ N )  =/=  0  /\  ( # `
 X )  e.  ZZ )  ->  (
( P ^ N
)  ||  ( # `  X
)  <->  ( ( # `  X )  /  ( P ^ N ) )  e.  ZZ ) )
757, 73, 34, 74syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( P ^ N )  ||  ( # `
 X )  <->  ( ( # `
 X )  / 
( P ^ N
) )  e.  ZZ ) )
7613, 75mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( # `  X
)  /  ( P ^ N ) )  e.  ZZ )
7727nnne0d 9969 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  X
)  =/=  0 )
7856, 60, 77, 73divne0d 9731 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( # `  X
)  /  ( P ^ N ) )  =/=  0 )
79 pcmul 13145 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
( ( ( # `  X )  -  1 )  _C  ( ( P ^ N )  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  (
( ( # `  X
)  -  1 )  _C  ( ( P ^ N )  - 
1 ) )  =/=  0 )  /\  (
( ( # `  X
)  /  ( P ^ N ) )  e.  ZZ  /\  (
( # `  X )  /  ( P ^ N ) )  =/=  0 ) )  -> 
( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  1 )  _C  ( ( P ^ N )  -  1 ) )  x.  ( ( # `  X )  /  ( P ^ N ) ) ) )  =  ( ( P  pCnt  (
( ( # `  X
)  -  1 )  _C  ( ( P ^ N )  - 
1 ) ) )  +  ( P  pCnt  ( ( # `  X
)  /  ( P ^ N ) ) ) ) )
802, 71, 72, 76, 78, 79syl122anc 1193 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  1 )  _C  ( ( P ^ N )  -  1 ) )  x.  ( ( # `  X )  /  ( P ^ N ) ) ) )  =  ( ( P  pCnt  (
( ( # `  X
)  -  1 )  _C  ( ( P ^ N )  - 
1 ) ) )  +  ( P  pCnt  ( ( # `  X
)  /  ( P ^ N ) ) ) ) )
8157a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
8256, 60, 81npncand 9360 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  ( ( P ^ N )  - 
1 ) )  =  ( ( # `  X
)  -  1 ) )
8382oveq1d 6028 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  ( ( P ^ N )  -  1 ) )  _C  (
( P ^ N
)  -  1 ) )  =  ( ( ( # `  X
)  -  1 )  _C  ( ( P ^ N )  - 
1 ) ) )
8483oveq2d 6029 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  ( ( P ^ N )  - 
1 ) )  _C  ( ( P ^ N )  -  1 ) ) )  =  ( P  pCnt  (
( ( # `  X
)  -  1 )  _C  ( ( P ^ N )  - 
1 ) ) ) )
856nnred 9940 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P ^ N
)  e.  RR )
8685ltm1d 9868 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( P ^ N )  -  1 )  <  ( P ^ N ) )
87 nnm1nn0 10186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P ^ N )  e.  NN  ->  (
( P ^ N
)  -  1 )  e.  NN0 )
886, 87syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( P ^ N )  -  1 )  e.  NN0 )
89 breq1 4149 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  0  ->  (
x  <  ( P ^ N )  <->  0  <  ( P ^ N ) ) )
90 bcxmaslem1 12533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  0  ->  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  x )  _C  x )  =  ( ( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  0 )  _C  0 ) )
9190oveq2d 6029 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  0  ->  ( P  pCnt  ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  x )  _C  x ) )  =  ( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  0 )  _C  0 ) ) )
9291eqeq1d 2388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  0  ->  (
( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  x )  _C  x ) )  =  0  <->  ( P  pCnt  ( ( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  0 )  _C  0 ) )  =  0 ) )
9389, 92imbi12d 312 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0  ->  (
( x  <  ( P ^ N )  -> 
( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  x )  _C  x ) )  =  0 )  <->  ( 0  <  ( P ^ N )  ->  ( P  pCnt  ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  0 )  _C  0 ) )  =  0 ) ) )
9493imbi2d 308 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  (
( ph  ->  ( x  <  ( P ^ N )  ->  ( P  pCnt  ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  x )  _C  x ) )  =  0 ) )  <->  ( ph  ->  ( 0  <  ( P ^ N )  -> 
( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  0 )  _C  0 ) )  =  0 ) ) ) )
95 breq1 4149 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  n  ->  (
x  <  ( P ^ N )  <->  n  <  ( P ^ N ) ) )
96 bcxmaslem1 12533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  n  ->  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  x )  _C  x )  =  ( ( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n ) )
9796oveq2d 6029 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  n  ->  ( P  pCnt  ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  x )  _C  x ) )  =  ( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n ) ) )
9897eqeq1d 2388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  n  ->  (
( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  x )  _C  x ) )  =  0  <->  ( P  pCnt  ( ( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n ) )  =  0 ) )
9995, 98imbi12d 312 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  n  ->  (
( x  <  ( P ^ N )  -> 
( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  x )  _C  x ) )  =  0 )  <->  ( n  <  ( P ^ N
)  ->  ( P  pCnt  ( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n
) )  =  0 ) ) )
10099imbi2d 308 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  n  ->  (
( ph  ->  ( x  <  ( P ^ N )  ->  ( P  pCnt  ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  x )  _C  x ) )  =  0 ) )  <->  ( ph  ->  ( n  <  ( P ^ N )  -> 
( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n ) )  =  0 ) ) ) )
101 breq1 4149 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
x  <  ( P ^ N )  <->  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )
102 bcxmaslem1 12533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  x )  _C  x )  =  ( ( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  ( n  + 
1 ) )  _C  ( n  +  1 ) ) )
103102oveq2d 6029 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( P  pCnt  ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  x )  _C  x ) )  =  ( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  ( n  + 
1 ) )  _C  ( n  +  1 ) ) ) )
104103eqeq1d 2388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  x )  _C  x ) )  =  0  <->  ( P  pCnt  ( ( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  ( n  + 
1 ) )  _C  ( n  +  1 ) ) )  =  0 ) )
105101, 104imbi12d 312 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( x  <  ( P ^ N )  -> 
( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  x )  _C  x ) )  =  0 )  <->  ( (
n  +  1 )  <  ( P ^ N )  ->  ( P  pCnt  ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  ( n  + 
1 ) )  _C  ( n  +  1 ) ) )  =  0 ) ) )
106105imbi2d 308 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( x  <  ( P ^ N )  ->  ( P  pCnt  ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  x )  _C  x ) )  =  0 ) )  <->  ( ph  ->  ( ( n  + 
1 )  <  ( P ^ N )  -> 
( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  ( n  + 
1 ) )  _C  ( n  +  1 ) ) )  =  0 ) ) ) )
107 breq1 4149 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( P ^ N )  - 
1 )  ->  (
x  <  ( P ^ N )  <->  ( ( P ^ N )  - 
1 )  <  ( P ^ N ) ) )
108 bcxmaslem1 12533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( ( P ^ N )  - 
1 )  ->  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  x )  _C  x )  =  ( ( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  ( ( P ^ N )  - 
1 ) )  _C  ( ( P ^ N )  -  1 ) ) )
109108oveq2d 6029 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( ( P ^ N )  - 
1 )  ->  ( P  pCnt  ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  x )  _C  x ) )  =  ( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  ( ( P ^ N )  - 
1 ) )  _C  ( ( P ^ N )  -  1 ) ) ) )
110109eqeq1d 2388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( P ^ N )  - 
1 )  ->  (
( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  x )  _C  x ) )  =  0  <->  ( P  pCnt  ( ( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  ( ( P ^ N )  - 
1 ) )  _C  ( ( P ^ N )  -  1 ) ) )  =  0 ) )
111107, 110imbi12d 312 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( ( P ^ N )  - 
1 )  ->  (
( x  <  ( P ^ N )  -> 
( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  x )  _C  x ) )  =  0 )  <->  ( (
( P ^ N
)  -  1 )  <  ( P ^ N )  ->  ( P  pCnt  ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  ( ( P ^ N )  - 
1 ) )  _C  ( ( P ^ N )  -  1 ) ) )  =  0 ) ) )
112111imbi2d 308 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( ( P ^ N )  - 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( x  <  ( P ^ N )  ->  ( P  pCnt  ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  x )  _C  x ) )  =  0 ) )  <->  ( ph  ->  ( ( ( P ^ N )  - 
1 )  <  ( P ^ N )  -> 
( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  ( ( P ^ N )  - 
1 ) )  _C  ( ( P ^ N )  -  1 ) ) )  =  0 ) ) ) )
113 znn0sub 10248 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( P ^ N
)  e.  ZZ  /\  ( # `  X )  e.  ZZ )  -> 
( ( P ^ N )  <_  ( # `
 X )  <->  ( ( # `
 X )  -  ( P ^ N ) )  e.  NN0 )
)
1147, 34, 113syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( P ^ N )  <_  ( # `
 X )  <->  ( ( # `
 X )  -  ( P ^ N ) )  e.  NN0 )
)
11530, 114mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  e.  NN0 )
116 0nn0 10161 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  NN0
117 nn0addcl 10180 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  e.  NN0  /\  0  e.  NN0 )  ->  (
( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  0 )  e. 
NN0 )
118115, 116, 117sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  0 )  e. 
NN0 )
119 bcn0 11521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  0 )  e. 
NN0  ->  ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  0 )  _C  0 )  =  1 )
120118, 119syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  0 )  _C  0
)  =  1 )
121120oveq2d 6029 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  0 )  _C  0 ) )  =  ( P  pCnt  1
) )
122 pc1 13149 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( P 
pCnt  1 )  =  0 )
1232, 122syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  1
)  =  0 )
124121, 123eqtrd 2412 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  0 )  _C  0 ) )  =  0 )
125124a1d 23 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0  <  ( P ^ N )  -> 
( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  0 )  _C  0 ) )  =  0 ) )
126 nn0re 10155 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  RR )
127126ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  ->  n  e.  RR )
128 nn0p1nn 10184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( n  +  1 )  e.  NN )
129128ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( n  +  1 )  e.  NN )
130129nnred 9940 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( n  +  1 )  e.  RR )
1316adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( P ^ N
)  e.  NN )
132131nnred 9940 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( P ^ N
)  e.  RR )
133127ltp1d 9866 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  ->  n  <  ( n  + 
1 ) )
134 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( n  +  1 )  <  ( P ^ N ) )
135127, 130, 132, 133, 134lttrd 9156 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  ->  n  <  ( P ^ N ) )
136135expr 599 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
n  +  1 )  <  ( P ^ N )  ->  n  <  ( P ^ N
) ) )
137136imim1d 71 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
n  <  ( P ^ N )  ->  ( P  pCnt  ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n ) )  =  0 )  ->  (
( n  +  1 )  <  ( P ^ N )  -> 
( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n ) )  =  0 ) ) )
138 oveq1 6020 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  pCnt  ( (
( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n ) )  =  0  ->  ( ( P  pCnt  ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n ) )  +  ( P  pCnt  (
( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( 0  +  ( P 
pCnt  ( ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )
139115adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  e.  NN0 )
140139nn0cnd 10201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  e.  CC )
141 nn0cn 10156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  CC )
142141ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  ->  n  e.  CC )
14357a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
1  e.  CC )
144140, 142, 143addassd 9036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  =  ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  ( n  + 
1 ) ) )
145144oveq1d 6028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  _C  (
n  +  1 ) )  =  ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  ( n  + 
1 ) )  _C  ( n  +  1 ) ) )
146 nn0addge2 10192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( n  e.  RR  /\  ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  e.  NN0 )  ->  n  <_  ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n ) )
147127, 139, 146syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  ->  n  <_  ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n ) )
148 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  ->  n  e.  NN0 )
149148, 32syl6eleq 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
150139, 148nn0addcld 10203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  e. 
NN0 )
151150nn0zd 10298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  e.  ZZ )
152 elfz5 10976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  (
( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  n )  e.  ZZ )  ->  (
n  e.  ( 0 ... ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n ) )  <->  n  <_  ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  n ) ) )
153149, 151, 152syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( n  e.  ( 0 ... ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  n ) )  <-> 
n  <_  ( (
( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n ) ) )
154147, 153mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  ->  n  e.  ( 0 ... ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n ) ) )
155 bcp1nk 11528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  ( 0 ... ( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n ) )  ->  ( ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  _C  (
n  +  1 ) )  =  ( ( ( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n )  x.  (
( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) ) ) )
156154, 155syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  _C  (
n  +  1 ) )  =  ( ( ( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n )  x.  (
( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) ) ) )
157145, 156eqtr3d 2414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  ( n  +  1 ) )  _C  (
n  +  1 ) )  =  ( ( ( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n )  x.  (
( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) ) ) )
158157oveq2d 6029 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  ( n  + 
1 ) )  _C  ( n  +  1 ) ) )  =  ( P  pCnt  (
( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n
)  x.  ( ( ( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )
1592adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  ->  P  e.  Prime )
160 bccl2 11534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  ( 0 ... ( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n ) )  ->  ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n )  e.  NN )
161154, 160syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n
)  e.  NN )
162 nnq 10512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n )  e.  NN  ->  ( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n
)  e.  QQ )
163161, 162syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n
)  e.  QQ )
164161nnne0d 9969 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n
)  =/=  0 )
165151peano2zd 10303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  e.  ZZ )
166 znq 10503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( n  +  1
)  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  /  (
n  +  1 ) )  e.  QQ )
167165, 129, 166syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  /  (
n  +  1 ) )  e.  QQ )
168 nn0p1nn 10184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  n )  e. 
NN0  ->  ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  e.  NN )
169150, 168syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  e.  NN )
170 nnrp 10546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  e.  NN  ->  ( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  e.  RR+ )
171 nnrp 10546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( n  +  1 )  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  RR+ )
172 rpdivcl 10559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  e.  RR+  /\  (
n  +  1 )  e.  RR+ )  ->  (
( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) )  e.  RR+ )
173170, 171, 172syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  e.  NN  /\  ( n  +  1
)  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  /  (
n  +  1 ) )  e.  RR+ )
174169, 129, 173syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  /  (
n  +  1 ) )  e.  RR+ )
175174rpne0d 10578 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  /  (
n  +  1 ) )  =/=  0 )
176 pcqmul 13147 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n
)  e.  QQ  /\  ( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n
)  =/=  0 )  /\  ( ( ( ( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  /  (
n  +  1 ) )  e.  QQ  /\  ( ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  /  (
n  +  1 ) )  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  ( ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n )  x.  (
( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n ) )  +  ( P  pCnt  (
( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) ) ) ) )
177159, 163, 164, 167, 175, 176syl122anc 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( P  pCnt  (
( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n
)  x.  ( ( ( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  /  (
n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( P  pCnt  ( ( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n ) )  +  ( P  pCnt  (
( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) ) ) ) )
178158, 177eqtrd 2412 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  ( n  + 
1 ) )  _C  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( P  pCnt  ( ( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n ) )  +  ( P  pCnt  (
( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) ) ) ) )
179169nnne0d 9969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  =/=  0 )
180 pcdiv 13146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  =/=  0 )  /\  ( n  + 
1 )  e.  NN )  ->  ( P  pCnt  ( ( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( P  pCnt  ( (
( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 ) )  -  ( P  pCnt  ( n  +  1 ) ) ) )
181159, 165, 179, 129, 180syl121anc 1189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( P  pCnt  (
( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( P  pCnt  ( (
( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 ) )  -  ( P  pCnt  ( n  +  1 ) ) ) )
182129nncnd 9941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( n  +  1 )  e.  CC )
183140, 182addcomd 9193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  ( n  + 
1 ) )  =  ( ( n  + 
1 )  +  ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) ) ) )
184144, 183eqtrd 2412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  =  ( ( n  +  1 )  +  ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) ) ) )
185184oveq2d 6029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 ) )  =  ( P  pCnt  (
( n  +  1 )  +  ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) ) ) ) )
186 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  <  ( P ^ N ) ) )  /\  ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  =  0 )  -> 
( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  =  0 )
187186oveq2d 6029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  <  ( P ^ N ) ) )  /\  ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  =  0 )  -> 
( ( n  + 
1 )  +  ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) ) )  =  ( ( n  +  1 )  +  0 ) )
188182addid1d 9191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  +  0 )  =  ( n  +  1 ) )
189188adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  <  ( P ^ N ) ) )  /\  ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  =  0 )  -> 
( ( n  + 
1 )  +  0 )  =  ( n  +  1 ) )
190187, 189eqtr2d 2413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  <  ( P ^ N ) ) )  /\  ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  =  0 )  -> 
( n  +  1 )  =  ( ( n  +  1 )  +  ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) ) ) )
191190oveq2d 6029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  <  ( P ^ N ) ) )  /\  ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  =  0 )  -> 
( P  pCnt  (
n  +  1 ) )  =  ( P 
pCnt  ( ( n  +  1 )  +  ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) ) ) ) )
1922ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  <  ( P ^ N ) ) )  /\  ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  =/=  0 )  ->  P  e.  Prime )
193 nnq 10512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( n  +  1 )  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  QQ )
194129, 193syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( n  +  1 )  e.  QQ )
195194adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  <  ( P ^ N ) ) )  /\  ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  =/=  0 )  -> 
( n  +  1 )  e.  QQ )
196139nn0zd 10298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  e.  ZZ )
197 zq 10505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  e.  ZZ  ->  (
( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  e.  QQ )
198196, 197syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  e.  QQ )
199198adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  <  ( P ^ N ) ) )  /\  ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  =/=  0 )  -> 
( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  e.  QQ )
200159, 129pccld 13144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( P  pCnt  (
n  +  1 ) )  e.  NN0 )
201200nn0red 10200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( P  pCnt  (
n  +  1 ) )  e.  RR )
202201adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  <  ( P ^ N ) ) )  /\  ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  =/=  0 )  -> 
( P  pCnt  (
n  +  1 ) )  e.  RR )
2035adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  ->  N  e.  NN0 )
204203nn0red 10200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  ->  N  e.  RR )
205204adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  <  ( P ^ N ) ) )  /\  ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  =/=  0 )  ->  N  e.  RR )
206 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  <  ( P ^ N ) ) )  /\  ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  =/=  0 )  -> 
( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  =/=  0 )
207206neneqd 2559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  <  ( P ^ N ) ) )  /\  ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  =/=  0 )  ->  -.  ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  =  0 )
208115ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  <  ( P ^ N ) ) )  /\  ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  =/=  0 )  -> 
( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  e.  NN0 )
209 elnn0 10148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  e.  NN0  <->  ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  e.  NN  \/  ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  =  0 ) )
210208, 209sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  <  ( P ^ N ) ) )  /\  ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  =/=  0 )  -> 
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  e.  NN  \/  (
( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  =  0 ) )
211210ord 367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  <  ( P ^ N ) ) )  /\  ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  =/=  0 )  -> 
( -.  ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  e.  NN  ->  ( ( # `
 X )  -  ( P ^ N ) )  =  0 ) )
212207, 211mt3d 119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  <  ( P ^ N ) ) )  /\  ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  =/=  0 )  -> 
( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  e.  NN )
213192, 212pccld 13144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  <  ( P ^ N ) ) )  /\  ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  =/=  0 )  -> 
( P  pCnt  (
( # `  X )  -  ( P ^ N ) ) )  e.  NN0 )
214213nn0red 10200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  <  ( P ^ N ) ) )  /\  ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  =/=  0 )  -> 
( P  pCnt  (
( # `  X )  -  ( P ^ N ) ) )  e.  RR )
215129nnzd 10299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( n  +  1 )  e.  ZZ )
216 pcdvdsb 13162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
n  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( N  <_  ( P  pCnt  ( n  +  1 ) )  <->  ( P ^ N )  ||  (
n  +  1 ) ) )
217159, 215, 203, 216syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( N  <_  ( P  pCnt  ( n  + 
1 ) )  <->  ( P ^ N )  ||  (
n  +  1 ) ) )
2187adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( P ^ N
)  e.  ZZ )
219 dvdsle 12815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( P ^ N
)  e.  ZZ  /\  ( n  +  1
)  e.  NN )  ->  ( ( P ^ N )  ||  ( n  +  1
)  ->  ( P ^ N )  <_  (
n  +  1 ) ) )
220218, 129, 219syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( ( P ^ N )  ||  (
n  +  1 )  ->  ( P ^ N )  <_  (
n  +  1 ) ) )
221217, 220sylbid 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( N  <_  ( P  pCnt  ( n  + 
1 ) )  -> 
( P ^ N
)  <_  ( n  +  1 ) ) )
222204, 201lenltd 9144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( N  <_  ( P  pCnt  ( n  + 
1 ) )  <->  -.  ( P  pCnt  ( n  + 
1 ) )  < 
N ) )
223132, 130lenltd 9144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( ( P ^ N )  <_  (
n  +  1 )  <->  -.  ( n  +  1 )  <  ( P ^ N ) ) )
224221, 222, 2233imtr3d 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( -.  ( P 
pCnt  ( n  + 
1 ) )  < 
N  ->  -.  (
n  +  1 )  <  ( P ^ N ) ) )
225134, 224mt4d 132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( P  pCnt  (
n  +  1 ) )  <  N )
226225adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  <  ( P ^ N ) ) )  /\  ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  =/=  0 )  -> 
( P  pCnt  (
n  +  1 ) )  <  N )
227 dvdssubr 12811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( P ^ N
)  e.  ZZ  /\  ( # `  X )  e.  ZZ )  -> 
( ( P ^ N )  ||  ( # `
 X )  <->  ( P ^ N )  ||  (
( # `  X )  -  ( P ^ N ) ) ) )
2287, 34, 227syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ph  ->  ( ( P ^ N )  ||  ( # `
 X )  <->  ( P ^ N )  ||  (
( # `  X )  -  ( P ^ N ) ) ) )
22913, 228mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  ( P ^ N
)  ||  ( ( # `
 X )  -  ( P ^ N ) ) )
230229ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  <  ( P ^ N ) ) )  /\  ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  =/=  0 )  -> 
( P ^ N
)  ||  ( ( # `
 X )  -  ( P ^ N ) ) )
231208nn0zd 10298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  <  ( P ^ N ) ) )  /\  ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  =/=  0 )  -> 
( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  e.  ZZ )
2325ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  <  ( P ^ N ) ) )  /\  ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  =/=  0 )  ->  N  e.  NN0 )
233 pcdvdsb 13162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  e.  ZZ  /\  N  e. 
NN0 )  ->  ( N  <_  ( P  pCnt  ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) ) )  <->  ( P ^ N )  ||  (
( # `  X )  -  ( P ^ N ) ) ) )
234192, 231, 232, 233syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  <  ( P ^ N ) ) )  /\  ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  =/=  0 )  -> 
( N  <_  ( P  pCnt  ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) ) )  <->  ( P ^ N )  ||  (
( # `  X )  -  ( P ^ N ) ) ) )
235230, 234mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  <  ( P ^ N ) ) )  /\  ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  =/=  0 )  ->  N  <_  ( P  pCnt  ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) ) ) )
236202, 205, 214, 226, 235ltletrd 9155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  <  ( P ^ N ) ) )  /\  ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  =/=  0 )  -> 
( P  pCnt  (
n  +  1 ) )  <  ( P 
pCnt  ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) ) ) )
237192, 195, 199, 236pcadd2 13179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  <  ( P ^ N ) ) )  /\  ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  =/=  0 )  -> 
( P  pCnt  (
n  +  1 ) )  =  ( P 
pCnt  ( ( n  +  1 )  +  ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) ) ) ) )
238191, 237pm2.61dane 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( P  pCnt  (
n  +  1 ) )  =  ( P 
pCnt  ( ( n  +  1 )  +  ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) ) ) ) )
239185, 238eqtr4d 2415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 ) )  =  ( P  pCnt  (
n  +  1 ) ) )
240200nn0cnd 10201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( P  pCnt  (
n  +  1 ) )  e.  CC )
241239, 240eqeltrd 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 ) )  e.  CC )
242241, 239subeq0bd 9388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( ( P  pCnt  ( ( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 ) )  -  ( P  pCnt  ( n  +  1 ) ) )  =  0 )
243181, 242eqtrd 2412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( P  pCnt  (
( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) ) )  =  0 )
244243oveq2d 6029 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( 0  +  ( P  pCnt  ( (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  /  (
n  +  1 ) ) ) )  =  ( 0  +  0 ) )
245 00id 9166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0  +  0 )  =  0
246244, 245syl6req 2429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
0  =  ( 0  +  ( P  pCnt  ( ( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) ) ) ) )
247178, 246eqeq12d 2394 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( ( P  pCnt  ( ( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  ( n  + 
1 ) )  _C  ( n  +  1 ) ) )  =  0  <->  ( ( P 
pCnt  ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n ) )  +  ( P  pCnt  (
( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( 0  +  ( P 
pCnt  ( ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  n )  +  1 )  /  (
n  +  1 ) ) ) ) ) )
248138, 247syl5ibr 213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
) ) )  -> 
( ( P  pCnt  ( ( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n ) )  =  0  ->  ( P  pCnt  ( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  ( n  +  1 ) )  _C  (
n  +  1 ) ) )  =  0 ) )
249248expr 599 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
n  +  1 )  <  ( P ^ N )  ->  (
( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n ) )  =  0  ->  ( P  pCnt  ( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  ( n  +  1 ) )  _C  (
n  +  1 ) ) )  =  0 ) ) )
250249a2d 24 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
( n  +  1 )  <  ( P ^ N )  -> 
( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n ) )  =  0 )  ->  (
( n  +  1 )  <  ( P ^ N )  -> 
( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  ( n  + 
1 ) )  _C  ( n  +  1 ) ) )  =  0 ) ) )
251137, 250syld 42 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
n  <  ( P ^ N )  ->  ( P  pCnt  ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n ) )  =  0 )  ->  (
( n  +  1 )  <  ( P ^ N )  -> 
( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  ( n  + 
1 ) )  _C  ( n  +  1 ) ) )  =  0 ) ) )
252251expcom 425 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ph  ->  ( ( n  < 
( P ^ N
)  ->  ( P  pCnt  ( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n
) )  =  0 )  ->  ( (
n  +  1 )  <  ( P ^ N )  ->  ( P  pCnt  ( ( ( ( # `  X
)  -  ( P ^ N ) )  +  ( n  + 
1 ) )  _C  ( n  +  1 ) ) )  =  0 ) ) ) )
253252a2d 24 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( (
ph  ->  ( n  < 
( P ^ N
)  ->  ( P  pCnt  ( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  n )  _C  n
) )  =  0 ) )  ->  ( ph  ->  ( ( n  +  1 )  < 
( P ^ N
)  ->  ( P  pCnt  ( ( ( (
# `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  ( n  +  1 ) )  _C  (
n  +  1 ) ) )  =  0 ) ) ) )
25494, 100, 106, 112, 125, 253nn0ind 10291 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P ^ N
)  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ph  ->  ( ( ( P ^ N )  - 
1 )  <  ( P ^ N )  -> 
( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  ( ( P ^ N )  - 
1 ) )  _C  ( ( P ^ N )  -  1 ) ) )  =  0 ) ) )
25588, 254mpcom 34 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( P ^ N )  - 
1 )  <  ( P ^ N )  -> 
( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  ( ( P ^ N )  - 
1 ) )  _C  ( ( P ^ N )  -  1 ) ) )  =  0 ) )
25686, 255mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  ( P ^ N ) )  +  ( ( P ^ N )  - 
1 ) )  _C  ( ( P ^ N )  -  1 ) ) )  =  0 )
25784, 256eqtr3d 2414 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (
( ( # `  X
)  -  1 )  _C  ( ( P ^ N )  - 
1 ) ) )  =  0 )
258 pcdiv 13146 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
( # `  X )  e.  ZZ  /\  ( # `
 X )  =/=  0 )  /\  ( P ^ N )  e.  NN )  ->  ( P  pCnt  ( ( # `  X )  /  ( P ^ N ) ) )  =  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  ( P  pCnt  ( P ^ N ) ) ) )
2592, 34, 77, 6, 258syl121anc 1189 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (
( # `  X )  /  ( P ^ N ) ) )  =  ( ( P 
pCnt  ( # `  X
) )  -  ( P  pCnt  ( P ^ N ) ) ) )
2605nn0zd 10298 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
261 pcid 13166 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( P  pCnt  ( P ^ N ) )  =  N )
2622, 260, 261syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  ( P ^ N ) )  =  N )
263262oveq2d 6029 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( P  pCnt  (
# `  X )
)  -  ( P 
pCnt  ( P ^ N ) ) )  =  ( ( P 
pCnt  ( # `  X
) )  -  N
) )
264259, 263eqtrd 2412 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (
( # `  X )  /  ( P ^ N ) ) )  =  ( ( P 
pCnt  ( # `  X
) )  -  N
) )
265257, 264oveq12d 6031 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( P  pCnt  ( ( ( # `  X
)  -  1 )  _C  ( ( P ^ N )  - 
1 ) ) )  +  ( P  pCnt  ( ( # `  X
)  /  ( P ^ N ) ) ) )  =  ( 0  +  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
) ) )
2662, 27pccld 13144 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  ( # `
 X ) )  e.  NN0 )
267266nn0zd 10298 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  ( # `
 X ) )  e.  ZZ )
268267, 260zsubcld 10305 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( P  pCnt  (
# `  X )
)  -  N )  e.  ZZ )
269268zcnd 10301 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( P  pCnt  (
# `  X )
)  -  N )  e.  CC )
270269addid2d 9192 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0  +  ( ( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  =  ( ( P 
pCnt  ( # `  X
) )  -  N
) )
27180, 265, 2703eqtrd 2416 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (
( ( ( # `  X )  -  1 )  _C  ( ( P ^ N )  -  1 ) )  x.  ( ( # `  X )  /  ( P ^ N ) ) ) )  =  ( ( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )
27267, 68, 2713eqtr3d 2420 . 2  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  ( # `
 S ) )  =  ( ( P 
pCnt  ( # `  X
) )  -  N
) )
27340, 272jca 519 1  |-  ( ph  ->  ( ( # `  S
)  e.  NN  /\  ( P  pCnt  ( # `  S ) )  =  ( ( P  pCnt  (
# `  X )
)  -  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2543   {crab 2646   (/)c0 3564   ~Pcpw 3735   class class class wbr 4146   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   Fincfn 7038   CCcc 8914   RRcr 8915   0cc0 8916   1c1 8917    + caddc 8919    x. cmul 8921    < clt 9046    <_ cle 9047    - cmin 9216    / cdiv 9602   NNcn 9925   NN0cn0 10146   ZZcz 10207   ZZ>=cuz 10413   QQcq 10499   RR+crp 10537   ...cfz 10968   ^cexp 11302    _C cbc 11513   #chash 11538    || cdivides 12772   Primecprime 12999    pCnt cpc 13130   Basecbs 13389   +g cplusg 13449   Grpcgrp 14605
This theorem is referenced by:  sylow1lem3  15154
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-2o 6654  df-oadd 6657  df-er 6834  df-map 6949  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-sup 7374  df-card 7752  df-cda 7974  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-q 10500  df-rp 10538  df-fz 10969  df-fl 11122  df-mod 11171  df-seq 11244  df-exp 11303  df-fac 11487  df-bc 11514  df-hash 11539  df-cj 11824  df-re 11825  df-im 11826  df-sqr 11960  df-abs 11961  df-dvds 12773  df-gcd 12927  df-prm 13000  df-pc 13131  df-0g 13647  df-mnd 14610  df-grp 14732
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