Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow1lem3 Unicode version

Theorem sylow1lem3 14927
 Description: Lemma for sylow1 14930. One of the orbits of the group action has p-adic valuation less than the prime count of the set . (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow1.x
sylow1.g
sylow1.f
sylow1.p
sylow1.n
sylow1.d
sylow1lem.a
sylow1lem.s
sylow1lem.m
sylow1lem3.1
Assertion
Ref Expression
sylow1lem3
Distinct variable groups:   ,,,,,   ,   ,,,,   ,   ,,,,,   ,,,,,,   ,,,,,   , ,   ,,,,,   ,,,,,   ,,,,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   ()   ()   (,,,)   ()   ()

Proof of Theorem sylow1lem3
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow1.p . . . . . 6
2 sylow1.x . . . . . . . 8
3 sylow1.g . . . . . . . 8
4 sylow1.f . . . . . . . 8
5 sylow1.n . . . . . . . 8
6 sylow1.d . . . . . . . 8
7 sylow1lem.a . . . . . . . 8
8 sylow1lem.s . . . . . . . 8
92, 3, 4, 1, 5, 6, 7, 8sylow1lem1 14925 . . . . . . 7
109simpld 445 . . . . . 6
11 pcndvds 12934 . . . . . 6
121, 10, 11syl2anc 642 . . . . 5
139simprd 449 . . . . . . . 8
1413oveq1d 5889 . . . . . . 7
1514oveq2d 5890 . . . . . 6
16 sylow1lem.m . . . . . . . . 9
172, 3, 4, 1, 5, 6, 7, 8, 16sylow1lem2 14926 . . . . . . . 8
18 sylow1lem3.1 . . . . . . . . 9
1918, 2gaorber 14778 . . . . . . . 8
2017, 19syl 15 . . . . . . 7
21 pwfi 7167 . . . . . . . . 9
224, 21sylib 188 . . . . . . . 8
23 ssrab2 3271 . . . . . . . . 9
248, 23eqsstri 3221 . . . . . . . 8
25 ssfi 7099 . . . . . . . 8
2622, 24, 25sylancl 643 . . . . . . 7
2720, 26qshash 12301 . . . . . 6
2815, 27breq12d 4052 . . . . 5
2912, 28mtbid 291 . . . 4
30 pwfi 7167 . . . . . . . 8
3126, 30sylib 188 . . . . . . 7
3220qsss 6736 . . . . . . 7
33 ssfi 7099 . . . . . . 7
3431, 32, 33syl2anc 642 . . . . . 6
3534adantr 451 . . . . 5
36 prmnn 12777 . . . . . . . . 9
371, 36syl 15 . . . . . . . 8
381, 10pccld 12919 . . . . . . . . . 10
3913, 38eqeltrrd 2371 . . . . . . . . 9
40 peano2nn0 10020 . . . . . . . . 9
4139, 40syl 15 . . . . . . . 8
4237, 41nnexpcld 11282 . . . . . . 7
4342nnzd 10132 . . . . . 6
4443adantr 451 . . . . 5
45 erdm 6686 . . . . . . . . . 10
4620, 45syl 15 . . . . . . . . 9
47 elqsn0 6744 . . . . . . . . 9
4846, 47sylan 457 . . . . . . . 8
4926adantr 451 . . . . . . . . . 10
5032sselda 3193 . . . . . . . . . . 11
51 elpwi 3646 . . . . . . . . . . 11
5250, 51syl 15 . . . . . . . . . 10
53 ssfi 7099 . . . . . . . . . 10
5449, 52, 53syl2anc 642 . . . . . . . . 9
55 hashnncl 11370 . . . . . . . . 9
5654, 55syl 15 . . . . . . . 8
5748, 56mpbird 223 . . . . . . 7
5857adantlr 695 . . . . . 6
5958nnzd 10132 . . . . 5
60 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . 13
6160oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12
6261breq1d 4049 . . . . . . . . . . 11
6362notbid 285 . . . . . . . . . 10
6463rspccva 2896 . . . . . . . . 9
6564adantll 694 . . . . . . . 8
662grpbn0 14527 . . . . . . . . . . . . . . . 16
673, 66syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
68 hashnncl 11370 . . . . . . . . . . . . . . . 16
694, 68syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
7067, 69mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . 14
711, 70pccld 12919 . . . . . . . . . . . . 13
7271nn0zd 10131 . . . . . . . . . . . 12
735nn0zd 10131 . . . . . . . . . . . 12
7472, 73zsubcld 10138 . . . . . . . . . . 11
7574ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10
7675zred 10133 . . . . . . . . 9
771ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12
7877, 58pccld 12919 . . . . . . . . . . 11
7978nn0zd 10131 . . . . . . . . . 10
8079zred 10133 . . . . . . . . 9
8176, 80ltnled 8982 . . . . . . . 8
8265, 81mpbird 223 . . . . . . 7
83 zltp1le 10083 . . . . . . . 8
8475, 79, 83syl2anc 642 . . . . . . 7
8582, 84mpbid 201 . . . . . 6
8641ad2antrr 706 . . . . . . 7
87 pcdvdsb 12937 . . . . . . 7
8877, 59, 86, 87syl3anc 1182 . . . . . 6
8985, 88mpbid 201 . . . . 5
9035, 44, 59, 89fsumdvds 12588 . . . 4
9129, 90mtand 640 . . 3
92 dfrex2 2569 . . 3
9391, 92sylibr 203 . 2
94 eqid 2296 . . . 4
95 fveq2 5541 . . . . . . 7
9695oveq2d 5890 . . . . . 6
9796breq1d 4049 . . . . 5
9897imbi1d 308 . . . 4
99 eceq1 6712 . . . . . . . . . 10
10099fveq2d 5545 . . . . . . . . 9
101100oveq2d 5890 . . . . . . . 8
102101breq1d 4049 . . . . . . 7
103102rspcev 2897 . . . . . 6
104103ex 423 . . . . 5
105104adantl 452 . . . 4
10694, 98, 105ectocld 6742 . . 3
107106rexlimdva 2680 . 2
10893, 107mpd 14 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wral 2556  wrex 2557  crab 2560   wss 3165  c0 3468  cpw 3638  cpr 3654   class class class wbr 4039  copab 4092   cmpt 4093   cdm 4705   crn 4706  cfv 5271  (class class class)co 5874   cmpt2 5876   wer 6673  cec 6674  cqs 6675  cfn 6879  c1 8754   caddc 8756   clt 8883   cle 8884   cmin 9053  cn 9762  cn0 9981  cz 10040  cexp 11120  chash 11353  csu 12174   cdivides 12547  cprime 12774   cpc 12905  cbs 13164   cplusg 13224  cgrp 14378   cga 14759 This theorem is referenced by:  sylow1  14930 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-disj 4010  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-ec 6678  df-qs 6682  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-dvds 12548  df-gcd 12702  df-prm 12775  df-pc 12906  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-ga 14760
 Copyright terms: Public domain W3C validator