MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow2b Unicode version

Theorem sylow2b 15144
Description: Sylow's second theorem. Any  P-group  H is a subgroup of a conjugated  P-group  K of order  P ^ n  ||  ( # `  X
) with  n maximal. This is usually stated under the assumption that  K is a Sylow subgroup, but we use a slightly different definition, whose equivalence to this one requires this theorem. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow2b.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
sylow2b.xf  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
sylow2b.h  |-  ( ph  ->  H  e.  (SubGrp `  G ) )
sylow2b.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (SubGrp `  G ) )
sylow2b.a  |-  .+  =  ( +g  `  G )
sylow2b.hp  |-  ( ph  ->  P pGrp  ( Gs  H ) )
sylow2b.kn  |-  ( ph  ->  ( # `  K
)  =  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) )
sylow2b.d  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
sylow2b  |-  ( ph  ->  E. g  e.  X  H  C_  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x ) 
.-  g ) ) )
Distinct variable groups:    x, g, G    g, K, x    .+ , g, x    ph, g    x,  .-    g, H, x    g, X, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    P( x, g)    .- ( g)

Proof of Theorem sylow2b
Dummy variables  s  u  v  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow2b.x . 2  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 sylow2b.xf . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
3 sylow2b.h . 2  |-  ( ph  ->  H  e.  (SubGrp `  G ) )
4 sylow2b.k . 2  |-  ( ph  ->  K  e.  (SubGrp `  G ) )
5 sylow2b.a . 2  |-  .+  =  ( +g  `  G )
6 eqid 2366 . 2  |-  ( G ~QG  K )  =  ( G ~QG  K )
7 oveq2 5989 . . . . . 6  |-  ( s  =  z  ->  (
u  .+  s )  =  ( u  .+  z ) )
87cbvmptv 4213 . . . . 5  |-  ( s  e.  v  |->  ( u 
.+  s ) )  =  ( z  e.  v  |->  ( u  .+  z ) )
9 oveq1 5988 . . . . . 6  |-  ( u  =  x  ->  (
u  .+  z )  =  ( x  .+  z ) )
109mpteq2dv 4209 . . . . 5  |-  ( u  =  x  ->  (
z  e.  v  |->  ( u  .+  z ) )  =  ( z  e.  v  |->  ( x 
.+  z ) ) )
118, 10syl5eq 2410 . . . 4  |-  ( u  =  x  ->  (
s  e.  v  |->  ( u  .+  s ) )  =  ( z  e.  v  |->  ( x 
.+  z ) ) )
1211rneqd 5009 . . 3  |-  ( u  =  x  ->  ran  ( s  e.  v 
|->  ( u  .+  s
) )  =  ran  ( z  e.  v 
|->  ( x  .+  z
) ) )
13 mpteq1 4202 . . . 4  |-  ( v  =  y  ->  (
z  e.  v  |->  ( x  .+  z ) )  =  ( z  e.  y  |->  ( x 
.+  z ) ) )
1413rneqd 5009 . . 3  |-  ( v  =  y  ->  ran  ( z  e.  v 
|->  ( x  .+  z
) )  =  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) ) )
1512, 14cbvmpt2v 6052 . 2  |-  ( u  e.  H ,  v  e.  ( X /. ( G ~QG  K ) )  |->  ran  ( s  e.  v 
|->  ( u  .+  s
) ) )  =  ( x  e.  H ,  y  e.  ( X /. ( G ~QG  K ) )  |->  ran  ( z  e.  y  |->  ( x 
.+  z ) ) )
16 sylow2b.hp . 2  |-  ( ph  ->  P pGrp  ( Gs  H ) )
17 sylow2b.kn . 2  |-  ( ph  ->  ( # `  K
)  =  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) )
18 sylow2b.d . 2  |-  .-  =  ( -g `  G )
191, 2, 3, 4, 5, 6, 15, 16, 17, 18sylow2blem3 15143 1  |-  ( ph  ->  E. g  e.  X  H  C_  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x ) 
.-  g ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1647    e. wcel 1715   E.wrex 2629    C_ wss 3238   class class class wbr 4125    e. cmpt 4179   ran crn 4793   ` cfv 5358  (class class class)co 5981    e. cmpt2 5983   /.cqs 6801   Fincfn 7006   ^cexp 11269   #chash 11505    pCnt cpc 13097   Basecbs 13356   ↾s cress 13357   +g cplusg 13416   -gcsg 14575  SubGrpcsubg 14825   ~QG cqg 14827   pGrp cpgp 15052
This theorem is referenced by:  slwhash  15145  sylow2  15147
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-inf2 7489  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-pre-sup 8962
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-disj 4096  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-se 4456  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-isom 5367  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-2o 6622  df-oadd 6625  df-omul 6626  df-er 6802  df-ec 6804  df-qs 6808  df-map 6917  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-sup 7341  df-oi 7372  df-card 7719  df-acn 7722  df-cda 7941  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-n0 10115  df-z 10176  df-uz 10382  df-q 10468  df-rp 10506  df-fz 10936  df-fzo 11026  df-fl 11089  df-mod 11138  df-seq 11211  df-exp 11270  df-fac 11454  df-bc 11481  df-hash 11506  df-cj 11791  df-re 11792  df-im 11793  df-sqr 11927  df-abs 11928  df-clim 12169  df-sum 12367  df-dvds 12740  df-gcd 12894  df-prm 12967  df-pc 13098  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-ress 13363  df-plusg 13429  df-0g 13614  df-mnd 14577  df-submnd 14626  df-grp 14699  df-minusg 14700  df-sbg 14701  df-mulg 14702  df-subg 14828  df-eqg 14830  df-ga 14954  df-od 15054  df-pgp 15056
  Copyright terms: Public domain W3C validator