MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow2b Unicode version

Theorem sylow2b 14897
Description: Sylow's second theorem. Any  P-group  H is a subgroup of a conjugated  P-group  K of order  P ^ n  ||  ( # `  X
) with  n maximal. This is usually stated under the assumption that  K is a Sylow subgroup, but we use a slightly different definition, whose equivalence to this one requires this theorem. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow2b.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
sylow2b.xf  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
sylow2b.h  |-  ( ph  ->  H  e.  (SubGrp `  G ) )
sylow2b.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (SubGrp `  G ) )
sylow2b.a  |-  .+  =  ( +g  `  G )
sylow2b.hp  |-  ( ph  ->  P pGrp  ( Gs  H ) )
sylow2b.kn  |-  ( ph  ->  ( # `  K
)  =  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) )
sylow2b.d  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
sylow2b  |-  ( ph  ->  E. g  e.  X  H  C_  ran  (  x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x ) 
.-  g ) ) )
Distinct variable groups:    x, g, G    g, K, x    .+ , g, x    ph, g    x,  .-    g, H, x    g, X, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    P( x, g)    .- ( g)

Proof of Theorem sylow2b
StepHypRef Expression
1 sylow2b.x . 2  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 sylow2b.xf . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
3 sylow2b.h . 2  |-  ( ph  ->  H  e.  (SubGrp `  G ) )
4 sylow2b.k . 2  |-  ( ph  ->  K  e.  (SubGrp `  G ) )
5 sylow2b.a . 2  |-  .+  =  ( +g  `  G )
6 eqid 2258 . 2  |-  ( G ~QG  K )  =  ( G ~QG  K )
7 oveq2 5800 . . . . . 6  |-  ( s  =  z  ->  (
u  .+  s )  =  ( u  .+  z ) )
87cbvmptv 4085 . . . . 5  |-  ( s  e.  v  |->  ( u 
.+  s ) )  =  ( z  e.  v  |->  ( u  .+  z ) )
9 oveq1 5799 . . . . . 6  |-  ( u  =  x  ->  (
u  .+  z )  =  ( x  .+  z ) )
109mpteq2dv 4081 . . . . 5  |-  ( u  =  x  ->  (
z  e.  v  |->  ( u  .+  z ) )  =  ( z  e.  v  |->  ( x 
.+  z ) ) )
118, 10syl5eq 2302 . . . 4  |-  ( u  =  x  ->  (
s  e.  v  |->  ( u  .+  s ) )  =  ( z  e.  v  |->  ( x 
.+  z ) ) )
1211rneqd 4894 . . 3  |-  ( u  =  x  ->  ran  (  s  e.  v  |->  ( u  .+  s
) )  =  ran  (  z  e.  v  |->  ( x  .+  z
) ) )
13 mpteq1 4074 . . . 4  |-  ( v  =  y  ->  (
z  e.  v  |->  ( x  .+  z ) )  =  ( z  e.  y  |->  ( x 
.+  z ) ) )
1413rneqd 4894 . . 3  |-  ( v  =  y  ->  ran  (  z  e.  v  |->  ( x  .+  z
) )  =  ran  (  z  e.  y  |->  ( x  .+  z
) ) )
1512, 14cbvmpt2v 5860 . 2  |-  ( u  e.  H ,  v  e.  ( X /. ( G ~QG  K ) )  |->  ran  (  s  e.  v 
|->  ( u  .+  s
) ) )  =  ( x  e.  H ,  y  e.  ( X /. ( G ~QG  K ) )  |->  ran  (  z  e.  y  |->  ( x 
.+  z ) ) )
16 sylow2b.hp . 2  |-  ( ph  ->  P pGrp  ( Gs  H ) )
17 sylow2b.kn . 2  |-  ( ph  ->  ( # `  K
)  =  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) )
18 sylow2b.d . 2  |-  .-  =  ( -g `  G )
191, 2, 3, 4, 5, 6, 15, 16, 17, 18sylow2blem3 14896 1  |-  ( ph  ->  E. g  e.  X  H  C_  ran  (  x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x ) 
.-  g ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621   E.wrex 2519    C_ wss 3127   class class class wbr 3997    e. cmpt 4051   ran crn 4662   ` cfv 4673  (class class class)co 5792    e. cmpt2 5794   /.cqs 6627   Fincfn 6831   ^cexp 11071   #chash 11304    pCnt cpc 12852   Basecbs 13111   ↾s cress 13112   +g cplusg 13171   -gcsg 14328  SubGrpcsubg 14578   ~QG cqg 14580   pGrp cpgp 14805
This theorem is referenced by:  slwhash  14898  sylow2  14900
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-inf2 7310  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-pre-sup 8783
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-disj 3968  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-se 4325  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-isom 4690  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-2o 6448  df-oadd 6451  df-omul 6452  df-er 6628  df-ec 6630  df-qs 6634  df-map 6742  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-fin 6835  df-sup 7162  df-oi 7193  df-card 7540  df-acn 7543  df-cda 7762  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-2 9772  df-3 9773  df-n0 9934  df-z 9993  df-uz 10199  df-q 10285  df-rp 10323  df-fz 10750  df-fzo 10838  df-fl 10892  df-mod 10941  df-seq 11014  df-exp 11072  df-fac 11256  df-bc 11283  df-hash 11305  df-cj 11550  df-re 11551  df-im 11552  df-sqr 11686  df-abs 11687  df-clim 11928  df-sum 12125  df-divides 12495  df-gcd 12649  df-prime 12722  df-pc 12853  df-ndx 13114  df-slot 13115  df-base 13116  df-sets 13117  df-ress 13118  df-plusg 13184  df-0g 13367  df-mnd 14330  df-submnd 14379  df-grp 14452  df-minusg 14453  df-sbg 14454  df-mulg 14455  df-subg 14581  df-eqg 14583  df-ga 14707  df-od 14807  df-pgp 14809
  Copyright terms: Public domain W3C validator