Theorem symdif2 2266

Description: Two ways to express symmetric difference.

Assertion

Ref	Expression
symdif2	|- ((A \ B) u. (B \ A)) = {x | -. (x e. A <-> x e. B)}

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem symdif2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun 2173	. . 3 |- (x e. ((A \ B) u. (B \ A)) <-> (x e. (A \ B) \/ x e. (B \ A)))
2		eldif 2057	. . . . 5 |- (x e. (A \ B) <-> (x e. A /\ -. x e. B))
3		pm4.13 161	. . . . . 6 |- (x e. A <-> -. -. x e. A)
4	3	anbi1i 481	. . . . 5 |- ((x e. A /\ -. x e. B) <-> (-. -. x e. A /\ -. x e. B))
5	2, 4	bitr 173	. . . 4 |- (x e. (A \ B) <-> (-. -. x e. A /\ -. x e. B))
6		eldif 2057	. . . . 5 |- (x e. (B \ A) <-> (x e. B /\ -. x e. A))
7		ancom 435	. . . . 5 |- ((x e. B /\ -. x e. A) <-> (-. x e. A /\ x e. B))
8	6, 7	bitr 173	. . . 4 |- (x e. (B \ A) <-> (-. x e. A /\ x e. B))
9	5, 8	orbi12i 257	. . 3 |- ((x e. (A \ B) \/ x e. (B \ A)) <-> ((-. -. x e. A /\ -. x e. B) \/ (-. x e. A /\ x e. B)))
10		orcom 246	. . . 4 |- (((-. -. x e. A /\ -. x e. B) \/ (-. x e. A /\ x e. B)) <-> ((-. x e. A /\ x e. B) \/ (-. -. x e. A /\ -. x e. B)))
11		dfbi3 670	. . . 4 |- ((-. x e. A <-> x e. B) <-> ((-. x e. A /\ x e. B) \/ (-. -. x e. A /\ -. x e. B)))
12		nbbn 661	. . . 4 |- ((-. x e. A <-> x e. B) <-> -. (x e. A <-> x e. B))
13	10, 11, 12	3bitr2 179	. . 3 |- (((-. -. x e. A /\ -. x e. B) \/ (-. x e. A /\ x e. B)) <-> -. (x e. A <-> x e. B))
14	1, 9, 13	3bitr 177	. 2 |- (x e. ((A \ B) u. (B \ A)) <-> -. (x e. A <-> x e. B))
15	14	abbi2i 1574	1 |- ((A \ B) u. (B \ A)) = {x | -. (x e. A <-> x e. B)}

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  {cab 1463   \ cdif 2044   u. cun 2045

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-12 968  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050

Copyright terms: Public domain