Theorem symgf 10339

Description: The domain and codomain of the group operation of the symmetry group on A. (Contributed by Paul Chapman, 25-Feb-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
elsymgrn.1	|- A e. V
elsymgrn.2	|- P = {x | x:A-1-1-onto->A}

Assertion

Ref	Expression
symgf	|- (SymGrp` A):(P X. P)-->P

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem symgf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsymgrn.1	. . 3 |- A e. V
2		elsymgrn.2	. . 3 |- P = {x | x:A-1-1-onto->A}
3	1, 2	symgval 10337	. 2 |- (SymGrp` A) = {<.<.f, g>., h>. | ((f e. P /\ g e. P) /\ h = (f o. g))}
4		f1oco 3698	. . 3 |- ((f:A-1-1-onto->A /\ g:A-1-1-onto->A) -> (f o. g):A-1-1-onto->A)
5	1, 2	elsymgrn 10335	. . . 4 |- (f e. P <-> f:A-1-1-onto->A)
6	1, 2	elsymgrn 10335	. . . 4 |- (g e. P <-> g:A-1-1-onto->A)
7	5, 6	anbi12i 482	. . 3 |- ((f e. P /\ g e. P) <-> (f:A-1-1-onto->A /\ g:A-1-1-onto->A))
8	1, 2	elsymgrn 10335	. . 3 |- ((f o. g) e. P <-> (f o. g):A-1-1-onto->A)
9	4, 7, 8	3imtr4 219	. 2 |- ((f e. P /\ g e. P) -> (f o. g) e. P)
10	3, 9	foprab 4110	1 |- (SymGrp` A):(P X. P)-->P

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  {cab 1461  Vcvv 1807   X. cxp 3163   o. ccom 3169  -->wf 3173  -1-1-onto->wf1o 3176  ` cfv 3177  SymGrpcsymgrp 10333

This theorem is referenced by:  symggrpi 10340  symgidi 10341  cayleylem2 10344

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-symgrp 10334

Copyright terms: Public domain