Theorem symggrp 10342

Description: The symmetry group on A is a group. (Contributed by Paul Chapman, 25-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
symggrp	|- (A e. B -> (SymGrp` A) e. Grp)

Proof of Theorem symggrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 3715	. . 3 |- (x = A -> (SymGrp` x) = (SymGrp` A))
2	1	eleq1d 1537	. 2 |- (x = A -> ((SymGrp` x) e. Grp <-> (SymGrp` A) e. Grp))
3		visset 1809	. . 3 |- x e. V
4	3	symggrpi 10340	. 2 |- (SymGrp` x) e. Grp
5	2, 4	vtoclg 1843	1 |- (A e. B -> (SymGrp` A) e. Grp)

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 954   e. wcel 956  ` cfv 3177  Grpcgr 7983  SymGrpcsymgrp 10333

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-grp 7987  df-symgrp 10334

Copyright terms: Public domain