Theorem symggrpi 8673

Description: The symmetry group on A is a group (inference version). (Contributed by Paul Chapman, 25-Feb-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
elsymgrn.1	|- A e. V
elsymgrn.2	|- P = {x | x:A-1-1-onto->A}

Assertion

Ref	Expression
symggrpi	|- (SymGrp` A) e. Grp

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem symggrpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsymgrn.1	. . 3 |- A e. V
2		elsymgrn.2	. . . . 5 |- P = {x | x:A-1-1-onto->A}
3		equid 1113	. . . . . . 7 |- x = x
4	3	biantru 721	. . . . . 6 |- (x:A-1-1-onto->A <-> (x:A-1-1-onto->A /\ x = x))
5	4	abbii 1551	. . . . 5 |- {x | x:A-1-1-onto->A} = {x | (x:A-1-1-onto->A /\ x = x)}
6	2, 5	eqtr 1471	. . . 4 |- P = {x | (x:A-1-1-onto->A /\ x = x)}
7	6	f1oabexg 3639	. . 3 |- ((A e. V /\ A e. V) -> P e. V)
8	1, 1, 7	mp2an 694	. 2 |- P e. V
9	1, 2	symgf 8672	. 2 |- (SymGrp` A):(P X. P)-->P
10		coass 3454	. . 3 |- ((f o. g) o. h) = (f o. (g o. h))
11	1, 2	symgoprval 8671	. . . . . 6 |- ((f e. P /\ g e. P) -> (f(SymGrp` A)g) = (f o. g))
12	11	3adant3 796	. . . . 5 |- ((f e. P /\ g e. P /\ h e. P) -> (f(SymGrp` A)g) = (f o. g))
13	12	opreq1d 3914	. . . 4 |- ((f e. P /\ g e. P /\ h e. P) -> ((f(SymGrp` A)g)(SymGrp` A)h) = ((f o. g)(SymGrp` A)h))
14	1, 2	symgoprval 8671	. . . . . 6 |- (((f o. g) e. P /\ h e. P) -> ((f o. g)(SymGrp` A)h) = ((f o. g) o. h))
15		f1oco 3646	. . . . . . 7 |- ((f:A-1-1-onto->A /\ g:A-1-1-onto->A) -> (f o. g):A-1-1-onto->A)
16	1, 2	elsymgrn 8668	. . . . . . . 8 |- (f e. P <-> f:A-1-1-onto->A)
17	1, 2	elsymgrn 8668	. . . . . . . 8 |- (g e. P <-> g:A-1-1-onto->A)
18	16, 17	anbi12i 481	. . . . . . 7 |- ((f e. P /\ g e. P) <-> (f:A-1-1-onto->A /\ g:A-1-1-onto->A))
19	1, 2	elsymgrn 8668	. . . . . . 7 |- ((f o. g) e. P <-> (f o. g):A-1-1-onto->A)
20	15, 18, 19	3imtr4 219	. . . . . 6 |- ((f e. P /\ g e. P) -> (f o. g) e. P)
21	14, 20	sylan 448	. . . . 5 |- (((f e. P /\ g e. P) /\ h e. P) -> ((f o. g)(SymGrp` A)h) = ((f o. g) o. h))
22	21	3impa 825	. . . 4 |- ((f e. P /\ g e. P /\ h e. P) -> ((f o. g)(SymGrp` A)h) = ((f o. g) o. h))
23	13, 22	eqtrd 1483	. . 3 |- ((f e. P /\ g e. P /\ h e. P) -> ((f(SymGrp` A)g)(SymGrp` A)h) = ((f o. g) o. h))
24	1, 2	symgoprval 8671	. . . . . 6 |- ((g e. P /\ h e. P) -> (g(SymGrp` A)h) = (g o. h))
25	24	3adant1 794	. . . . 5 |- ((f e. P /\ g e. P /\ h e. P) -> (g(SymGrp` A)h) = (g o. h))
26	25	opreq2d 3915	. . . 4 |- ((f e. P /\ g e. P /\ h e. P) -> (f(SymGrp` A)(g(SymGrp` A)h)) = (f(SymGrp` A)(g o. h)))
27	1, 2	symgoprval 8671	. . . . . 6 |- ((f e. P /\ (g o. h) e. P) -> (f(SymGrp` A)(g o. h)) = (f o. (g o. h)))
28		f1oco 3646	. . . . . . 7 |- ((g:A-1-1-onto->A /\ h:A-1-1-onto->A) -> (g o. h):A-1-1-onto->A)
29	1, 2	elsymgrn 8668	. . . . . . . 8 |- (h e. P <-> h:A-1-1-onto->A)
30	17, 29	anbi12i 481	. . . . . . 7 |- ((g e. P /\ h e. P) <-> (g:A-1-1-onto->A /\ h:A-1-1-onto->A))
31	1, 2	elsymgrn 8668	. . . . . . 7 |- ((g o. h) e. P <-> (g o. h):A-1-1-onto->A)
32	28, 30, 31	3imtr4 219	. . . . . 6 |- ((g e. P /\ h e. P) -> (g o. h) e. P)
33	27, 32	sylan2 451	. . . . 5 |- ((f e. P /\ (g e. P /\ h e. P)) -> (f(SymGrp` A)(g o. h)) = (f o. (g o. h)))
34	33	3impb 826	. . . 4 |- ((f e. P /\ g e. P /\ h e. P) -> (f(SymGrp` A)(g o. h)) = (f o. (g o. h)))
35	26, 34	eqtrd 1483	. . 3 |- ((f e. P /\ g e. P /\ h e. P) -> (f(SymGrp` A)(g(SymGrp` A)h)) = (f o. (g o. h)))
36	10, 23, 35	3eqtr4a 1508	. 2 |- ((f e. P /\ g e. P /\ h e. P) -> ((f(SymGrp` A)g)(SymGrp` A)h) = (f(SymGrp` A)(g(SymGrp` A)h)))
37		f1oi 3656	. . 3 |- (I |` A):A-1-1-onto->A
38	1, 2	elsymgrn 8668	. . 3 |- ((I |` A) e. P <-> (I |` A):A-1-1-onto->A)
39	37, 38	mpbir 190	. 2 |- (I |` A) e. P
40	1, 2	symgoprval 8671	. . . 4 |- (((I |` A) e. P /\ f e. P) -> ((I |` A)(SymGrp` A)f) = ((I |` A) o. f))
41	39, 40	mpan 692	. . 3 |- (f e. P -> ((I |` A)(SymGrp` A)f) = ((I |` A) o. f))
42		f1of 3628	. . . . 5 |- (f:A-1-1-onto->A -> f:A-->A)
43		fcoi2 3585	. . . . 5 |- (f:A-->A -> ((I |` A) o. f) = f)
44	42, 43	syl 10	. . . 4 |- (f:A-1-1-onto->A -> ((I |` A) o. f) = f)
45	16, 44	sylbi 199	. . 3 |- (f e. P -> ((I |` A) o. f) = f)
46	41, 45	eqtrd 1483	. 2 |- (f e. P -> ((I |` A)(SymGrp` A)f) = f)
47		f1ocnv 3640	. . 3 |- (f:A-1-1-onto->A -> `'f:A-1-1-onto->A)
48	1, 2	elsymgrn 8668	. . 3 |- (`'f e. P <-> `'f:A-1-1-onto->A)
49	47, 16, 48	3imtr4 219	. 2 |- (f e. P -> `'f e. P)
50	1, 2	symgoprval 8671	. . . 4 |- ((`'f e. P /\ f e. P) -> (`'f(SymGrp` A)f) = (`'f o. f))
51	49, 50	mpancom 702	. . 3 |- (f e. P -> (`'f(SymGrp` A)f) = (`'f o. f))
52		f1ococnv1 3648	. . . 4 |- (f:A-1-1-onto->A -> (`'f o. f) = (I |` A))
53	16, 52	sylbi 199	. . 3 |- (f e. P -> (`'f o. f) = (I |` A))
54	51, 53	eqtrd 1483	. 2 |- (f e. P -> (`'f(SymGrp` A)f) = (I |` A))
55	8, 9, 36, 39, 46, 49, 54	isgrpi 7924	1 |- (SymGrp` A) e. Grp

Syntax hints:   /\ wa 223   /\ w3a 772   = wceq 1099   e. wcel 1105  {cab 1440  Vcvv 1786  Icid 2793  `'ccnv 3132   |` cres 3135   o. ccom 3137  -->wf 3141  -1-1-onto->wf1o 3144  ` cfv 3145  (class class class)co 3902  Grpcgr 7915  SymGrpcsymgrp 8666

This theorem is referenced by:  symgidi 8674  symggrp 8675  cayleylem2 8677  cayleylem3 8678

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-rep 2661  ax-sep 2671  ax-nul 2678  ax-pow 2710  ax-pr 2747  ax-un 2830

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 774  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-ral 1625  df-rex 1626  df-v 1787  df-sbc 1913  df-csb 1973  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-nul 2252  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-op 2387  df-uni 2472  df-br 2588  df-opab 2635  df-id 2797  df-xp 3147  df-rel 3148  df-cnv 3149  df-co 3150  df-dm 3151  df-rn 3152  df-res 3153  df-ima 3154  df-fun 3155  df-fn 3156  df-f 3157  df-f1 3158  df-fo 3159  df-f1o 3160  df-fv 3161  df-opr 3904  df-oprab 3905  df-1st 4017  df-2nd 4018  df-grp 7919  df-symgrp 8667

Copyright terms: Public domain