Theorem symggrpi 10691

Description: The symmetry group on A is a group (inference version). (Contributed by Paul Chapman, 25-Feb-2008.)

Hypothesis

Ref	Expression
symggrpi.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
symggrpi	|- (SymGrp` A) e. Grp

Proof of Theorem symggrpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symggrpi.1	. . 3 |- A e. V
2		eqid 1518	. . . . 5 |- {x | x:A-1-1-onto->A} = {x | x:A-1-1-onto->A}
3		equid 1162	. . . . . . 7 |- x = x
4	3	biantru 729	. . . . . 6 |- (x:A-1-1-onto->A <-> (x:A-1-1-onto->A /\ x = x))
5	4	abbii 1618	. . . . 5 |- {x | x:A-1-1-onto->A} = {x | (x:A-1-1-onto->A /\ x = x)}
6	2, 5	eqtri 1538	. . . 4 |- {x | x:A-1-1-onto->A} = {x | (x:A-1-1-onto->A /\ x = x)}
7	6	f1oabexg 3808	. . 3 |- ((A e. V /\ A e. V) -> {x | x:A-1-1-onto->A} e. V)
8	1, 1, 7	mp2an 701	. 2 |- {x | x:A-1-1-onto->A} e. V
9	1, 2	symgf 10690	. 2 |- (SymGrp` A):({x | x:A-1-1-onto->A} X. {x | x:A-1-1-onto->A})-->{x | x:A-1-1-onto->A}
10		coass 3616	. . 3 |- ((f o. g) o. h) = (f o. (g o. h))
11	1, 2	symgoprv 10689	. . . . . 6 |- ((f e. {x | x:A-1-1-onto->A} /\ g e. {x | x:A-1-1-onto->A}) -> (f(SymGrp` A)g) = (f o. g))
12	11	3adant3 805	. . . . 5 |- ((f e. {x | x:A-1-1-onto->A} /\ g e. {x | x:A-1-1-onto->A} /\ h e. {x | x:A-1-1-onto->A}) -> (f(SymGrp` A)g) = (f o. g))
13	12	opreq1d 4033	. . . 4 |- ((f e. {x | x:A-1-1-onto->A} /\ g e. {x | x:A-1-1-onto->A} /\ h e. {x | x:A-1-1-onto->A}) -> ((f(SymGrp` A)g)(SymGrp` A)h) = ((f o. g)(SymGrp` A)h))
14	1, 2	symgoprv 10689	. . . . . 6 |- (((f o. g) e. {x | x:A-1-1-onto->A} /\ h e. {x | x:A-1-1-onto->A}) -> ((f o. g)(SymGrp` A)h) = ((f o. g) o. h))
15		f1oco 3818	. . . . . . 7 |- ((f:A-1-1-onto->A /\ g:A-1-1-onto->A) -> (f o. g):A-1-1-onto->A)
16	1, 2	elsymgrn 10686	. . . . . . . 8 |- (f e. {x | x:A-1-1-onto->A} <-> f:A-1-1-onto->A)
17	1, 2	elsymgrn 10686	. . . . . . . 8 |- (g e. {x | x:A-1-1-onto->A} <-> g:A-1-1-onto->A)
18	16, 17	anbi12i 485	. . . . . . 7 |- ((f e. {x | x:A-1-1-onto->A} /\ g e. {x | x:A-1-1-onto->A}) <-> (f:A-1-1-onto->A /\ g:A-1-1-onto->A))
19	1, 2	elsymgrn 10686	. . . . . . 7 |- ((f o. g) e. {x | x:A-1-1-onto->A} <-> (f o. g):A-1-1-onto->A)
20	15, 18, 19	3imtr4i 217	. . . . . 6 |- ((f e. {x | x:A-1-1-onto->A} /\ g e. {x | x:A-1-1-onto->A}) -> (f o. g) e. {x | x:A-1-1-onto->A})
21	14, 20	sylan 450	. . . . 5 |- (((f e. {x | x:A-1-1-onto->A} /\ g e. {x | x:A-1-1-onto->A}) /\ h e. {x | x:A-1-1-onto->A}) -> ((f o. g)(SymGrp` A)h) = ((f o. g) o. h))
22	21	3impa 834	. . . 4 |- ((f e. {x | x:A-1-1-onto->A} /\ g e. {x | x:A-1-1-onto->A} /\ h e. {x | x:A-1-1-onto->A}) -> ((f o. g)(SymGrp` A)h) = ((f o. g) o. h))
23	13, 22	eqtrd 1550	. . 3 |- ((f e. {x | x:A-1-1-onto->A} /\ g e. {x | x:A-1-1-onto->A} /\ h e. {x | x:A-1-1-onto->A}) -> ((f(SymGrp` A)g)(SymGrp` A)h) = ((f o. g) o. h))
24	1, 2	symgoprv 10689	. . . . . 6 |- ((g e. {x | x:A-1-1-onto->A} /\ h e. {x | x:A-1-1-onto->A}) -> (g(SymGrp` A)h) = (g o. h))
25	24	3adant1 803	. . . . 5 |- ((f e. {x | x:A-1-1-onto->A} /\ g e. {x | x:A-1-1-onto->A} /\ h e. {x | x:A-1-1-onto->A}) -> (g(SymGrp` A)h) = (g o. h))
26	25	opreq2d 4034	. . . 4 |- ((f e. {x | x:A-1-1-onto->A} /\ g e. {x | x:A-1-1-onto->A} /\ h e. {x | x:A-1-1-onto->A}) -> (f(SymGrp` A)(g(SymGrp` A)h)) = (f(SymGrp` A)(g o. h)))
27	1, 2	symgoprv 10689	. . . . . 6 |- ((f e. {x | x:A-1-1-onto->A} /\ (g o. h) e. {x | x:A-1-1-onto->A}) -> (f(SymGrp` A)(g o. h)) = (f o. (g o. h)))
28		f1oco 3818	. . . . . . 7 |- ((g:A-1-1-onto->A /\ h:A-1-1-onto->A) -> (g o. h):A-1-1-onto->A)
29	1, 2	elsymgrn 10686	. . . . . . . 8 |- (h e. {x | x:A-1-1-onto->A} <-> h:A-1-1-onto->A)
30	17, 29	anbi12i 485	. . . . . . 7 |- ((g e. {x | x:A-1-1-onto->A} /\ h e. {x | x:A-1-1-onto->A}) <-> (g:A-1-1-onto->A /\ h:A-1-1-onto->A))
31	1, 2	elsymgrn 10686	. . . . . . 7 |- ((g o. h) e. {x | x:A-1-1-onto->A} <-> (g o. h):A-1-1-onto->A)
32	28, 30, 31	3imtr4i 217	. . . . . 6 |- ((g e. {x | x:A-1-1-onto->A} /\ h e. {x | x:A-1-1-onto->A}) -> (g o. h) e. {x | x:A-1-1-onto->A})
33	27, 32	sylan2 453	. . . . 5 |- ((f e. {x | x:A-1-1-onto->A} /\ (g e. {x | x:A-1-1-onto->A} /\ h e. {x | x:A-1-1-onto->A})) -> (f(SymGrp` A)(g o. h)) = (f o. (g o. h)))
34	33	3impb 835	. . . 4 |- ((f e. {x | x:A-1-1-onto->A} /\ g e. {x | x:A-1-1-onto->A} /\ h e. {x | x:A-1-1-onto->A}) -> (f(SymGrp` A)(g o. h)) = (f o. (g o. h)))
35	26, 34	eqtrd 1550	. . 3 |- ((f e. {x | x:A-1-1-onto->A} /\ g e. {x | x:A-1-1-onto->A} /\ h e. {x | x:A-1-1-onto->A}) -> (f(SymGrp` A)(g(SymGrp` A)h)) = (f o. (g o. h)))
36	10, 23, 35	3eqtr4a 1575	. 2 |- ((f e. {x | x:A-1-1-onto->A} /\ g e. {x | x:A-1-1-onto->A} /\ h e. {x | x:A-1-1-onto->A}) -> ((f(SymGrp` A)g)(SymGrp` A)h) = (f(SymGrp` A)(g(SymGrp` A)h)))
37		f1oi 3828	. . 3 |- (I |` A):A-1-1-onto->A
38	1, 2	elsymgrn 10686	. . 3 |- ((I |` A) e. {x | x:A-1-1-onto->A} <-> (I |` A):A-1-1-onto->A)
39	37, 38	mpbir 188	. 2 |- (I |` A) e. {x | x:A-1-1-onto->A}
40	1, 2	symgoprv 10689	. . . 4 |- (((I |` A) e. {x | x:A-1-1-onto->A} /\ f e. {x | x:A-1-1-onto->A}) -> ((I |` A)(SymGrp` A)f) = ((I |` A) o. f))
41	39, 40	mpan 699	. . 3 |- (f e. {x | x:A-1-1-onto->A} -> ((I |` A)(SymGrp` A)f) = ((I |` A) o. f))
42		f1of 3797	. . . . 5 |- (f:A-1-1-onto->A -> f:A-->A)
43		fcoi2 3753	. . . . 5 |- (f:A-->A -> ((I |` A) o. f) = f)
44	42, 43	syl 10	. . . 4 |- (f:A-1-1-onto->A -> ((I |` A) o. f) = f)
45	16, 44	sylbi 197	. . 3 |- (f e. {x | x:A-1-1-onto->A} -> ((I |` A) o. f) = f)
46	41, 45	eqtrd 1550	. 2 |- (f e. {x | x:A-1-1-onto->A} -> ((I |` A)(SymGrp` A)f) = f)
47		f1ocnv 3809	. . 3 |- (f:A-1-1-onto->A -> `'f:A-1-1-onto->A)
48	1, 2	elsymgrn 10686	. . 3 |- (`'f e. {x | x:A-1-1-onto->A} <-> `'f:A-1-1-onto->A)
49	47, 16, 48	3imtr4i 217	. 2 |- (f e. {x | x:A-1-1-onto->A} -> `'f e. {x | x:A-1-1-onto->A})
50	1, 2	symgoprv 10689	. . . 4 |- ((`'f e. {x | x:A-1-1-onto->A} /\ f e. {x | x:A-1-1-onto->A}) -> (`'f(SymGrp` A)f) = (`'f o. f))
51	49, 50	mpancom 709	. . 3 |- (f e. {x | x:A-1-1-onto->A} -> (`'f(SymGrp` A)f) = (`'f o. f))
52		f1ococnv1 3820	. . . 4 |- (f:A-1-1-onto->A -> (`'f o. f) = (I |` A))
53	16, 52	sylbi 197	. . 3 |- (f e. {x | x:A-1-1-onto->A} -> (`'f o. f) = (I |` A))
54	51, 53	eqtrd 1550	. 2 |- (f e. {x | x:A-1-1-onto->A} -> (`'f(SymGrp` A)f) = (I |` A))
55	8, 9, 36, 39, 46, 49, 54	isgrpi 8255	1 |- (SymGrp` A) e. Grp

Syntax hints:   /\ wa 221   /\ w3a 781   = wceq 992   e. wcel 994  {cab 1505  Vcvv 1857  Icid 2909  `'ccnv 3250   |` cres 3253   o. ccom 3255  -->wf 3259  -1-1-onto->wf1o 3262  ` cfv 3263  (class class class)co 4021  Grpcgr 8244  SymGrpcsymgrp 10684

This theorem is referenced by:  symgidi 10692  symggrp 10693  cayleylem2 10695  cayleylem3 10696

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-op 2474  df-uni 2570  df-br 2693  df-opab 2741  df-id 2913  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4140  df-2nd 4141  df-grp 8249  df-symgrp 10685

Copyright terms: Public domain