Theorem symgidi 10341

Description: The value of the identity element of the symmetry group on A (Contributed by Paul Chapman, 25-Feb-2008.)

Hypothesis

Ref	Expression
symggrpi.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
symgidi	|- (Id` (SymGrp` A)) = (I |` A)

Proof of Theorem symgidi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 3708	. . . . . 6 |- (I |` A):A-1-1-onto->A
2		symggrpi.1	. . . . . . 7 |- A e. V
3		eqid 1473	. . . . . . 7 |- {x | x:A-1-1-onto->A} = {x | x:A-1-1-onto->A}
4	2, 3	elsymgrn 10335	. . . . . 6 |- ((I |` A) e. {x | x:A-1-1-onto->A} <-> (I |` A):A-1-1-onto->A)
5	1, 4	mpbir 190	. . . . 5 |- (I |` A) e. {x | x:A-1-1-onto->A}
6	2, 3	symgoprval 10338	. . . . 5 |- (((I |` A) e. {x | x:A-1-1-onto->A} /\ (I |` A) e. {x | x:A-1-1-onto->A}) -> ((I |` A)(SymGrp` A)(I |` A)) = ((I |` A) o. (I |` A)))
7	5, 5, 6	mp2an 696	. . . 4 |- ((I |` A)(SymGrp` A)(I |` A)) = ((I |` A) o. (I |` A))
8		f1of 3680	. . . . . 6 |- ((I |` A):A-1-1-onto->A -> (I |` A):A-->A)
9	1, 8	ax-mp 7	. . . . 5 |- (I |` A):A-->A
10		fcoi2 3637	. . . . 5 |- ((I |` A):A-->A -> ((I |` A) o. (I |` A)) = (I |` A))
11	9, 10	ax-mp 7	. . . 4 |- ((I |` A) o. (I |` A)) = (I |` A)
12	7, 11	eqtr 1492	. . 3 |- ((I |` A)(SymGrp` A)(I |` A)) = (I |` A)
13	2	symggrpi 10340	. . . 4 |- (SymGrp` A) e. Grp
14	2, 3	symgf 10339	. . . . . 6 |- (SymGrp` A):({x | x:A-1-1-onto->A} X. {x | x:A-1-1-onto->A})-->{x | x:A-1-1-onto->A}
15	13, 14	grprnOLD 8007	. . . . 5 |- {x | x:A-1-1-onto->A} = ran (SymGrp` A)
16		eqid 1473	. . . . 5 |- (Id` (SymGrp` A)) = (Id` (SymGrp` A))
17	15, 16	grpid 8015	. . . 4 |- (((SymGrp` A) e. Grp /\ (I |` A) e. {x | x:A-1-1-onto->A}) -> ((I |` A) = (Id` (SymGrp` A)) <-> ((I |` A)(SymGrp` A)(I |` A)) = (I |` A)))
18	13, 5, 17	mp2an 696	. . 3 |- ((I |` A) = (Id` (SymGrp` A)) <-> ((I |` A)(SymGrp` A)(I |` A)) = (I |` A))
19	12, 18	mpbir 190	. 2 |- (I |` A) = (Id` (SymGrp` A))
20	19	eqcomi 1476	1 |- (Id` (SymGrp` A)) = (I |` A)

Syntax hints:   <-> wb 146   = wceq 954   e. wcel 956  {cab 1461  Vcvv 1807  Icid 2826   |` cres 3167   o. ccom 3169  -->wf 3173  -1-1-onto->wf1o 3176  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  Grpcgr 7983  Idcgi 7984  SymGrpcsymgrp 10333

This theorem is referenced by:  cayleylem3 10345

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-grp 7987  df-gid 7988  df-symgrp 10334

Copyright terms: Public domain