Theorem symgoprab 10358

Description: Two ways to express the symmetry-group operator class abstraction. (Contributed by Paul Chapman, 25-Feb-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
elsymgrn.1	|- A e. V
elsymgrn.2	|- P = {x | x:A-1-1-onto->A}

Assertion

Ref	Expression
symgoprab	|- {<.<.f, g>., h>. | (f:A-1-1-onto->A /\ g:A-1-1-onto->A /\ h = (f o. g))} = {<.<.f, g>., h>. | ((f e. P /\ g e. P) /\ h = (f o. g))}

Distinct variable groups:   A,f,g,h,x   P,f,g,h

Proof of Theorem symgoprab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsymgrn.1	. . . . . . 7 |- A e. V
2		elsymgrn.2	. . . . . . 7 |- P = {x | x:A-1-1-onto->A}
3	1, 2	elsymgrn 10357	. . . . . 6 |- (f e. P <-> f:A-1-1-onto->A)
4	1, 2	elsymgrn 10357	. . . . . 6 |- (g e. P <-> g:A-1-1-onto->A)
5	3, 4	anbi12i 482	. . . . 5 |- ((f e. P /\ g e. P) <-> (f:A-1-1-onto->A /\ g:A-1-1-onto->A))
6	5	anbi1i 481	. . . 4 |- (((f e. P /\ g e. P) /\ h = (f o. g)) <-> ((f:A-1-1-onto->A /\ g:A-1-1-onto->A) /\ h = (f o. g)))
7		df-3an 776	. . . 4 |- ((f:A-1-1-onto->A /\ g:A-1-1-onto->A /\ h = (f o. g)) <-> ((f:A-1-1-onto->A /\ g:A-1-1-onto->A) /\ h = (f o. g)))
8	6, 7	bitr4 176	. . 3 |- (((f e. P /\ g e. P) /\ h = (f o. g)) <-> (f:A-1-1-onto->A /\ g:A-1-1-onto->A /\ h = (f o. g)))
9	8	oprabbii 3992	. 2 |- {<.<.f, g>., h>. | ((f e. P /\ g e. P) /\ h = (f o. g))} = {<.<.f, g>., h>. | (f:A-1-1-onto->A /\ g:A-1-1-onto->A /\ h = (f o. g))}
10	9	eqcomi 1477	1 |- {<.<.f, g>., h>. | (f:A-1-1-onto->A /\ g:A-1-1-onto->A /\ h = (f o. g))} = {<.<.f, g>., h>. | ((f e. P /\ g e. P) /\ h = (f o. g))}

Syntax hints:   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 955   e. wcel 957  {cab 1462  Vcvv 1808   o. ccom 3170  -1-1-onto->wf1o 3177  {copab2 3959

This theorem is referenced by:  symgval 10359

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-rex 1648  df-v 1809  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-nul 2278  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-op 2413  df-uni 2500  df-br 2616  df-opab 2663  df-id 2831  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-oprab 3961

Copyright terms: Public domain