Theorem symgoprval 10338

Description: The value of the group operation of the symmetry group on A. (Contributed by Paul Chapman, 25-Feb-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
elsymgrn.1	|- A e. V
elsymgrn.2	|- P = {x | x:A-1-1-onto->A}

Assertion

Ref	Expression
symgoprval	|- ((F e. P /\ G e. P) -> (F(SymGrp` A)G) = (F o. G))

Distinct variable groups:   x,A   x,F

Proof of Theorem symgoprval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coexg 3516	. . 3 |- ((F e. P /\ G e. P) -> (F o. G) e. V)
2		coeq1 3276	. . . 4 |- (f = F -> (f o. g) = (F o. g))
3		coeq2 3277	. . . 4 |- (g = G -> (F o. g) = (F o. G))
4		eqid 1473	. . . 4 |- {<.<.f, g>., h>. | ((f e. P /\ g e. P) /\ h = (f o. g))} = {<.<.f, g>., h>. | ((f e. P /\ g e. P) /\ h = (f o. g))}
5	2, 3, 4	oprabval2g 4018	. . 3 |- ((F e. P /\ G e. P /\ (F o. G) e. V) -> (F{<.<.f, g>., h>. | ((f e. P /\ g e. P) /\ h = (f o. g))}G) = (F o. G))
6	1, 5	mpd3an3 915	. 2 |- ((F e. P /\ G e. P) -> (F{<.<.f, g>., h>. | ((f e. P /\ g e. P) /\ h = (f o. g))}G) = (F o. G))
7		elsymgrn.1	. . . 4 |- A e. V
8		elsymgrn.2	. . . 4 |- P = {x | x:A-1-1-onto->A}
9	7, 8	symgval 10337	. . 3 |- (SymGrp` A) = {<.<.f, g>., h>. | ((f e. P /\ g e. P) /\ h = (f o. g))}
10	9	opreqi 3965	. 2 |- (F(SymGrp` A)G) = (F{<.<.f, g>., h>. | ((f e. P /\ g e. P) /\ h = (f o. g))}G)
11	6, 10	syl5eq 1516	1 |- ((F e. P /\ G e. P) -> (F(SymGrp` A)G) = (F o. G))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  {cab 1461  Vcvv 1807   o. ccom 3169  -1-1-onto->wf1o 3176  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  {copab2 3955  SymGrpcsymgrp 10333

This theorem is referenced by:  symggrpi 10340  symgidi 10341  cayleylem2 10344

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-rex 1647  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-symgrp 10334

Copyright terms: Public domain