Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  taylth Unicode version

Theorem taylth 19969
 Description: Taylor's theorem. The Taylor polynomial of a -times differentiable function is such that the error term goes to zero faster than . (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
taylth.f
taylth.a
taylth.d
taylth.n
taylth.b
taylth.t Tayl
taylth.r
Assertion
Ref Expression
taylth lim
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem taylth
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reex 8975 . . . 4
21prid1 3827 . . 3
32a1i 10 . 2
4 taylth.f . . 3
5 ax-resscn 8941 . . 3
6 fss 5503 . . 3
74, 5, 6sylancl 643 . 2
8 taylth.a . 2
9 taylth.d . 2
10 taylth.n . 2
11 taylth.b . 2
12 taylth.t . 2 Tayl
13 taylth.r . 2
144adantr 451 . . 3 ..^ lim
158adantr 451 . . 3 ..^ lim
169adantr 451 . . 3 ..^ lim
1710adantr 451 . . 3 ..^ lim
1811adantr 451 . . 3 ..^ lim
19 simprl 732 . . 3 ..^ lim ..^
20 simprr 733 . . . 4 ..^ lim lim
21 fveq2 5632 . . . . . . . 8
22 fveq2 5632 . . . . . . . 8
2321, 22oveq12d 5999 . . . . . . 7
24 oveq1 5988 . . . . . . . 8
2524oveq1d 5996 . . . . . . 7
2623, 25oveq12d 5999 . . . . . 6
2726cbvmptv 4213 . . . . 5
2827oveq1i 5991 . . . 4 lim lim
2920, 28syl6eleq 2456 . . 3 ..^ lim lim
3014, 15, 16, 17, 18, 12, 19, 29taylthlem2 19968 . 2 ..^ lim lim
313, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 30taylthlem1 19967 1 lim
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   wceq 1647   wcel 1715   cdif 3235   wss 3238  csn 3729  cpr 3730   cmpt 4179   cdm 4792  wf 5354  cfv 5358  (class class class)co 5981  cc 8882  cr 8883  cc0 8884  c1 8885   cmin 9184   cdiv 9570  cn 9893  ..^cfzo 11025  cexp 11269   lim climc 19427   cdvn 19429   Tayl ctayl 19947 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-inf2 7489  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-pre-sup 8962  ax-addf 8963  ax-mulf 8964 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-iin 4010  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-se 4456  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-isom 5367  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-of 6205  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-tpos 6376  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-2o 6622  df-oadd 6625  df-er 6802  df-map 6917  df-pm 6918  df-ixp 6961  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-fi 7312  df-sup 7341  df-oi 7372  df-card 7719  df-cda 7941  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-5 9954  df-6 9955  df-7 9956  df-8 9957  df-9 9958  df-10 9959  df-n0 10115  df-z 10176  df-dec 10276  df-uz 10382  df-q 10468  df-rp 10506  df-xneg 10603  df-xadd 10604  df-xmul 10605  df-ioo 10813  df-ioc 10814  df-ico 10815  df-icc 10816  df-fz 10936  df-fzo 11026  df-fl 11089  df-seq 11211  df-exp 11270  df-fac 11454  df-hash 11506  df-cj 11791  df-re 11792  df-im 11793  df-sqr 11927  df-abs 11928  df-clim 12169  df-rlim 12170  df-sum 12367  df-struct 13358  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-ress 13363  df-plusg 13429  df-mulr 13430  df-starv 13431  df-sca 13432  df-vsca 13433  df-tset 13435  df-ple 13436  df-ds 13438  df-unif 13439  df-hom 13440  df-cco 13441  df-rest 13537  df-topn 13538  df-topgen 13554  df-pt 13555  df-prds 13558  df-xrs 13613  df-0g 13614  df-gsum 13615  df-qtop 13620  df-imas 13621  df-xps 13623  df-mre 13698  df-mrc 13699  df-acs 13701  df-mnd 14577  df-submnd 14626  df-grp 14699  df-minusg 14700  df-mulg 14702  df-subg 14828  df-cntz 15003  df-cmn 15301  df-abl 15302  df-mgp 15536  df-rng 15550  df-cring 15551  df-ur 15552  df-oppr 15615  df-dvdsr 15633  df-unit 15634  df-invr 15664  df-dvr 15675  df-drng 15724  df-subrg 15753  df-xmet 16586  df-met 16587  df-bl 16588  df-mopn 16589  df-fbas 16590  df-fg 16591  df-cnfld 16594  df-top 16853  df-bases 16855  df-topon 16856  df-topsp 16857  df-cld 16973  df-ntr 16974  df-cls 16975  df-nei 17052  df-lp 17085  df-perf 17086  df-cn 17174  df-cnp 17175  df-haus 17260  df-cmp 17331  df-tx 17474  df-hmeo 17663  df-fil 17754  df-fm 17846  df-flim 17847  df-flf 17848  df-tsms 18022  df-xms 18098  df-ms 18099  df-tms 18100  df-cncf 18596  df-0p 19240  df-limc 19431  df-dv 19432  df-dvn 19433  df-ply 19785  df-idp 19786  df-coe 19787  df-dgr 19788  df-tayl 19949
 Copyright terms: Public domain W3C validator