MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  taylth Unicode version

Theorem taylth 19750
Description: Taylor's theorem. The Taylor polynomial of a  N-times differentiable function is such that the error term goes to zero faster than  ( x  -  B ) ^ N. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
taylth.f  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
taylth.a  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
taylth.d  |-  ( ph  ->  dom  ( ( RR  D n F ) `
 N )  =  A )
taylth.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
taylth.b  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
taylth.t  |-  T  =  ( N ( RR Tayl  F ) B )
taylth.r  |-  R  =  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( F `  x
)  -  ( T `
 x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ N ) ) )
Assertion
Ref Expression
taylth  |-  ( ph  ->  0  e.  ( R lim
CC  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, F    x, T    x, N    ph, x
Allowed substitution hint:    R( x)

Proof of Theorem taylth
Dummy variables  m  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reex 8824 . . . 4  |-  RR  e.  _V
21prid1 3735 . . 3  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
32a1i 10 . 2  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
4 taylth.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
5 ax-resscn 8790 . . 3  |-  RR  C_  CC
6 fss 5363 . . 3  |-  ( ( F : A --> RR  /\  RR  C_  CC )  ->  F : A --> CC )
74, 5, 6sylancl 643 . 2  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
8 taylth.a . 2  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
9 taylth.d . 2  |-  ( ph  ->  dom  ( ( RR  D n F ) `
 N )  =  A )
10 taylth.n . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
11 taylth.b . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
12 taylth.t . 2  |-  T  =  ( N ( RR Tayl  F ) B )
13 taylth.r . 2  |-  R  =  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( F `  x
)  -  ( T `
 x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ N ) ) )
144adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( 1..^ N )  /\  0  e.  ( ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( RR  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  y )
)  /  ( ( y  -  B ) ^ m ) ) ) lim CC  B ) ) )  ->  F : A --> RR )
158adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( 1..^ N )  /\  0  e.  ( ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( RR  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  y )
)  /  ( ( y  -  B ) ^ m ) ) ) lim CC  B ) ) )  ->  A  C_  RR )
169adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( 1..^ N )  /\  0  e.  ( ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( RR  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  y )
)  /  ( ( y  -  B ) ^ m ) ) ) lim CC  B ) ) )  ->  dom  ( ( RR  D n F ) `  N
)  =  A )
1710adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( 1..^ N )  /\  0  e.  ( ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( RR  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  y )
)  /  ( ( y  -  B ) ^ m ) ) ) lim CC  B ) ) )  ->  N  e.  NN )
1811adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( 1..^ N )  /\  0  e.  ( ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( RR  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  y )
)  /  ( ( y  -  B ) ^ m ) ) ) lim CC  B ) ) )  ->  B  e.  A )
19 simprl 732 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( 1..^ N )  /\  0  e.  ( ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( RR  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  y )
)  /  ( ( y  -  B ) ^ m ) ) ) lim CC  B ) ) )  ->  m  e.  ( 1..^ N ) )
20 simprr 733 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( 1..^ N )  /\  0  e.  ( ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( RR  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  y )
)  /  ( ( y  -  B ) ^ m ) ) ) lim CC  B ) ) )  ->  0  e.  ( ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( RR  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  y )
)  /  ( ( y  -  B ) ^ m ) ) ) lim CC  B ) )
21 fveq2 5486 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
( ( RR  D n F ) `  ( N  -  m )
) `  y )  =  ( ( ( RR  D n F ) `  ( N  -  m ) ) `
 x ) )
22 fveq2 5486 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  y )  =  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m ) ) `
 x ) )
2321, 22oveq12d 5838 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
( ( ( RR  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  y )
)  =  ( ( ( ( RR  D n F ) `  ( N  -  m )
) `  x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m ) ) `
 x ) ) )
24 oveq1 5827 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
y  -  B )  =  ( x  -  B ) )
2524oveq1d 5835 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
( y  -  B
) ^ m )  =  ( ( x  -  B ) ^
m ) )
2623, 25oveq12d 5838 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  (
( ( ( ( RR  D n F ) `  ( N  -  m ) ) `
 y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  -  m ) ) `  y ) )  / 
( ( y  -  B ) ^ m
) )  =  ( ( ( ( ( RR  D n F ) `  ( N  -  m ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  -  m ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ m
) ) )
2726cbvmptv 4112 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( RR  D n F ) `  ( N  -  m ) ) `
 y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  -  m ) ) `  y ) )  / 
( ( y  -  B ) ^ m
) ) )  =  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( RR  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ m ) ) )
2827oveq1i 5830 . . . 4  |-  ( ( y  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( RR  D n F ) `  ( N  -  m )
) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m ) ) `
 y ) )  /  ( ( y  -  B ) ^
m ) ) ) lim
CC  B )  =  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( RR  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ m ) ) ) lim CC  B )
2920, 28syl6eleq 2374 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( 1..^ N )  /\  0  e.  ( ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( RR  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  y )
)  /  ( ( y  -  B ) ^ m ) ) ) lim CC  B ) ) )  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( RR  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ m ) ) ) lim CC  B ) )
3014, 15, 16, 17, 18, 12, 19, 29taylthlem2 19749 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( 1..^ N )  /\  0  e.  ( ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( RR  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  y )
)  /  ( ( y  -  B ) ^ m ) ) ) lim CC  B ) ) )  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( RR  D n F ) `
 ( N  -  ( m  +  1
) ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  ( m  +  1 ) ) ) `  x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ ( m  + 
1 ) ) ) ) lim CC  B ) )
313, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 30taylthlem1 19748 1  |-  ( ph  ->  0  e.  ( R lim
CC  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1685    \ cdif 3150    C_ wss 3153   {csn 3641   {cpr 3642    e. cmpt 4078    dom cdm 4688   -->wf 5217   ` cfv 5221  (class class class)co 5820   CCcc 8731   RRcr 8732   0cc0 8733   1c1 8734    - cmin 9033    / cdiv 9419   NNcn 9742  ..^cfzo 10866   ^cexp 11100   lim CC climc 19208    D ncdvn 19210   Tayl ctayl 19728
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7338  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-pre-sup 8811  ax-addf 8812  ax-mulf 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-iin 3909  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-of 6040  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-tpos 6196  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-1o 6475  df-2o 6476  df-oadd 6479  df-er 6656  df-map 6770  df-pm 6771  df-ixp 6814  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-fin 6863  df-fi 7161  df-sup 7190  df-oi 7221  df-card 7568  df-cda 7790  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-4 9802  df-5 9803  df-6 9804  df-7 9805  df-8 9806  df-9 9807  df-10 9808  df-n0 9962  df-z 10021  df-dec 10121  df-uz 10227  df-q 10313  df-rp 10351  df-xneg 10448  df-xadd 10449  df-xmul 10450  df-ioo 10656  df-ioc 10657  df-ico 10658  df-icc 10659  df-fz 10779  df-fzo 10867  df-fl 10921  df-seq 11043  df-exp 11101  df-fac 11285  df-hash 11334  df-cj 11580  df-re 11581  df-im 11582  df-sqr 11716  df-abs 11717  df-clim 11958  df-rlim 11959  df-sum 12155  df-struct 13146  df-ndx 13147  df-slot 13148  df-base 13149  df-sets 13150  df-ress 13151  df-plusg 13217  df-mulr 13218  df-starv 13219  df-sca 13220  df-vsca 13221  df-tset 13223  df-ple 13224  df-ds 13226  df-hom 13228  df-cco 13229  df-rest 13323  df-topn 13324  df-topgen 13340  df-pt 13341  df-prds 13344  df-xrs 13399  df-0g 13400  df-gsum 13401  df-qtop 13406  df-imas 13407  df-xps 13409  df-mre 13484  df-mrc 13485  df-acs 13487  df-mnd 14363  df-submnd 14412  df-grp 14485  df-minusg 14486  df-mulg 14488  df-subg 14614  df-cntz 14789  df-cmn 15087  df-abl 15088  df-mgp 15322  df-rng 15336  df-cring 15337  df-ur 15338  df-oppr 15401  df-dvdsr 15419  df-unit 15420  df-invr 15450  df-dvr 15461  df-drng 15510  df-subrg 15539  df-xmet 16369  df-met 16370  df-bl 16371  df-mopn 16372  df-cnfld 16374  df-top 16632  df-bases 16634  df-topon 16635  df-topsp 16636  df-cld 16752  df-ntr 16753  df-cls 16754  df-nei 16831  df-lp 16864  df-perf 16865  df-cn 16953  df-cnp 16954  df-haus 17039  df-cmp 17110  df-tx 17253  df-hmeo 17442  df-fbas 17516  df-fg 17517  df-fil 17537  df-fm 17629  df-flim 17630  df-flf 17631  df-tsms 17805  df-xms 17881  df-ms 17882  df-tms 17883  df-cncf 18378  df-0p 19021  df-limc 19212  df-dv 19213  df-dvn 19214  df-ply 19566  df-idp 19567  df-coe 19568  df-dgr 19569  df-tayl 19730
  Copyright terms: Public domain W3C validator