MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  taylth Unicode version

Theorem taylth 19681
Description: Taylor's theorem. The Taylor polynomial of a  N-times differentiable function is such that the error term goes to zero faster than  ( x  -  B ) ^ N. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
taylth.f  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
taylth.a  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
taylth.d  |-  ( ph  ->  dom  ( ( RR  D n F ) `
 N )  =  A )
taylth.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
taylth.b  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
taylth.t  |-  T  =  ( N ( RR Tayl  F ) B )
taylth.r  |-  R  =  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( F `  x
)  -  ( T `
 x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ N ) ) )
Assertion
Ref Expression
taylth  |-  ( ph  ->  0  e.  ( R lim
CC  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, F    x, T    x, N    ph, x
Allowed substitution hint:    R( x)

Proof of Theorem taylth
StepHypRef Expression
1 reex 8761 . . . 4  |-  RR  e.  _V
21prid1 3675 . . 3  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
32a1i 12 . 2  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
4 taylth.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
5 ax-resscn 8727 . . 3  |-  RR  C_  CC
6 fss 5300 . . 3  |-  ( ( F : A --> RR  /\  RR  C_  CC )  ->  F : A --> CC )
74, 5, 6sylancl 646 . 2  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
8 taylth.a . 2  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
9 taylth.d . 2  |-  ( ph  ->  dom  ( ( RR  D n F ) `
 N )  =  A )
10 taylth.n . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
11 taylth.b . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
12 taylth.t . 2  |-  T  =  ( N ( RR Tayl  F ) B )
13 taylth.r . 2  |-  R  =  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( F `  x
)  -  ( T `
 x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ N ) ) )
144adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( 1..^ N )  /\  0  e.  ( ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( RR  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  y )
)  /  ( ( y  -  B ) ^ m ) ) ) lim CC  B ) ) )  ->  F : A --> RR )
158adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( 1..^ N )  /\  0  e.  ( ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( RR  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  y )
)  /  ( ( y  -  B ) ^ m ) ) ) lim CC  B ) ) )  ->  A  C_  RR )
169adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( 1..^ N )  /\  0  e.  ( ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( RR  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  y )
)  /  ( ( y  -  B ) ^ m ) ) ) lim CC  B ) ) )  ->  dom  ( ( RR  D n F ) `  N
)  =  A )
1710adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( 1..^ N )  /\  0  e.  ( ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( RR  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  y )
)  /  ( ( y  -  B ) ^ m ) ) ) lim CC  B ) ) )  ->  N  e.  NN )
1811adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( 1..^ N )  /\  0  e.  ( ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( RR  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  y )
)  /  ( ( y  -  B ) ^ m ) ) ) lim CC  B ) ) )  ->  B  e.  A )
19 simprl 735 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( 1..^ N )  /\  0  e.  ( ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( RR  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  y )
)  /  ( ( y  -  B ) ^ m ) ) ) lim CC  B ) ) )  ->  m  e.  ( 1..^ N ) )
20 simprr 736 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( 1..^ N )  /\  0  e.  ( ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( RR  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  y )
)  /  ( ( y  -  B ) ^ m ) ) ) lim CC  B ) ) )  ->  0  e.  ( ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( RR  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  y )
)  /  ( ( y  -  B ) ^ m ) ) ) lim CC  B ) )
21 fveq2 5423 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
( ( RR  D n F ) `  ( N  -  m )
) `  y )  =  ( ( ( RR  D n F ) `  ( N  -  m ) ) `
 x ) )
22 fveq2 5423 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  y )  =  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m ) ) `
 x ) )
2321, 22oveq12d 5775 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
( ( ( RR  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  y )
)  =  ( ( ( ( RR  D n F ) `  ( N  -  m )
) `  x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m ) ) `
 x ) ) )
24 oveq1 5764 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
y  -  B )  =  ( x  -  B ) )
2524oveq1d 5772 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
( y  -  B
) ^ m )  =  ( ( x  -  B ) ^
m ) )
2623, 25oveq12d 5775 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  (
( ( ( ( RR  D n F ) `  ( N  -  m ) ) `
 y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  -  m ) ) `  y ) )  / 
( ( y  -  B ) ^ m
) )  =  ( ( ( ( ( RR  D n F ) `  ( N  -  m ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  -  m ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ m
) ) )
2726cbvmptv 4051 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( RR  D n F ) `  ( N  -  m ) ) `
 y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  -  m ) ) `  y ) )  / 
( ( y  -  B ) ^ m
) ) )  =  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( RR  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ m ) ) )
2827oveq1i 5767 . . . 4  |-  ( ( y  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( RR  D n F ) `  ( N  -  m )
) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m ) ) `
 y ) )  /  ( ( y  -  B ) ^
m ) ) ) lim
CC  B )  =  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( RR  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ m ) ) ) lim CC  B )
2920, 28syl6eleq 2346 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( 1..^ N )  /\  0  e.  ( ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( RR  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  y )
)  /  ( ( y  -  B ) ^ m ) ) ) lim CC  B ) ) )  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( RR  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ m ) ) ) lim CC  B ) )
3014, 15, 16, 17, 18, 12, 19, 29taylthlem2 19680 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( 1..^ N )  /\  0  e.  ( ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( RR  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  y )
)  /  ( ( y  -  B ) ^ m ) ) ) lim CC  B ) ) )  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( RR  D n F ) `
 ( N  -  ( m  +  1
) ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  ( m  +  1 ) ) ) `  x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ ( m  + 
1 ) ) ) ) lim CC  B ) )
313, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 30taylthlem1 19679 1  |-  ( ph  ->  0  e.  ( R lim
CC  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621    \ cdif 3091    C_ wss 3094   {csn 3581   {cpr 3582    e. cmpt 4017   dom cdm 4626   -->wf 4634   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   CCcc 8668   RRcr 8669   0cc0 8670   1c1 8671    - cmin 8970    / cdiv 9356   NNcn 9679  ..^cfzo 10801   ^cexp 11035   lim CC climc 19139    D ncdvn 19141   Tayl ctayl 19659
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-inf2 7275  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747  ax-pre-sup 8748  ax-addf 8749  ax-mulf 8750
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3848  df-iin 3849  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-se 4290  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-isom 4655  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-of 5977  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-tpos 6133  df-iota 6190  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-1o 6412  df-2o 6413  df-oadd 6416  df-er 6593  df-map 6707  df-pm 6708  df-ixp 6751  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-fin 6800  df-fi 7098  df-sup 7127  df-oi 7158  df-card 7505  df-cda 7727  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-div 9357  df-n 9680  df-2 9737  df-3 9738  df-4 9739  df-5 9740  df-6 9741  df-7 9742  df-8 9743  df-9 9744  df-10 9745  df-n0 9898  df-z 9957  df-dec 10057  df-uz 10163  df-q 10249  df-rp 10287  df-xneg 10384  df-xadd 10385  df-xmul 10386  df-ioo 10591  df-ioc 10592  df-ico 10593  df-icc 10594  df-fz 10714  df-fzo 10802  df-fl 10856  df-seq 10978  df-exp 11036  df-fac 11220  df-hash 11269  df-cj 11514  df-re 11515  df-im 11516  df-sqr 11650  df-abs 11651  df-clim 11892  df-rlim 11893  df-sum 12089  df-struct 13077  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13080  df-sets 13081  df-ress 13082  df-plusg 13148  df-mulr 13149  df-starv 13150  df-sca 13151  df-vsca 13152  df-tset 13154  df-ple 13155  df-ds 13157  df-hom 13159  df-cco 13160  df-rest 13254  df-topn 13255  df-topgen 13271  df-pt 13272  df-prds 13275  df-xrs 13330  df-0g 13331  df-gsum 13332  df-qtop 13337  df-imas 13338  df-xps 13340  df-mre 13415  df-mrc 13416  df-acs 13418  df-mnd 14294  df-submnd 14343  df-grp 14416  df-minusg 14417  df-mulg 14419  df-subg 14545  df-cntz 14720  df-cmn 15018  df-abl 15019  df-mgp 15253  df-ring 15267  df-cring 15268  df-ur 15269  df-oppr 15332  df-dvdsr 15350  df-unit 15351  df-invr 15381  df-dvr 15392  df-drng 15441  df-subrg 15470  df-xmet 16300  df-met 16301  df-bl 16302  df-mopn 16303  df-cnfld 16305  df-top 16563  df-bases 16565  df-topon 16566  df-topsp 16567  df-cld 16683  df-ntr 16684  df-cls 16685  df-nei 16762  df-lp 16795  df-perf 16796  df-cn 16884  df-cnp 16885  df-haus 16970  df-cmp 17041  df-tx 17184  df-hmeo 17373  df-fbas 17447  df-fg 17448  df-fil 17468  df-fm 17560  df-flim 17561  df-flf 17562  df-tsms 17736  df-xms 17812  df-ms 17813  df-tms 17814  df-cncf 18309  df-0p 18952  df-limc 19143  df-dv 19144  df-dvn 19145  df-ply 19497  df-idp 19498  df-coe 19499  df-dgr 19500  df-tayl 19661
  Copyright terms: Public domain W3C validator