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Theorem tchcphlem1 19184
Description: Lemma for tchcph 19186: the triangle inequality. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tchval.n  |-  G  =  (toCHil `  W )
tchcph.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
tchcph.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
tchcph.1  |-  ( ph  ->  W  e.  PreHil )
tchcph.2  |-  ( ph  ->  F  =  (flds  K ) )
tchcph.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
tchcph.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )  -> 
( sqr `  x
)  e.  K )
tchcph.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  0  <_  ( x  .,  x
) )
tchcph.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
tchcph.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
tchcphlem1.3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
tchcphlem1.4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
tchcphlem1  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
( X  .-  Y
)  .,  ( X  .-  Y ) ) )  <_  ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  +  ( sqr `  ( Y 
.,  Y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x,  .-    x,  .,    x, F    x, G    x, V    ph, x    x, W    x, X    x, Y
Allowed substitution hint:    K( x)

Proof of Theorem tchcphlem1
StepHypRef Expression
1 tchcph.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  PreHil )
2 phllmod 16853 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )
3 lmodgrp 15949 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
41, 2, 33syl 19 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  Grp )
5 tchcphlem1.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
6 tchcphlem1.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
7 tchcph.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  W
)
8 tchcph.m . . . . . . 7  |-  .-  =  ( -g `  W )
97, 8grpsubcl 14861 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .-  Y
)  e.  V )
104, 5, 6, 9syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Y
)  e.  V )
11 tchval.n . . . . . 6  |-  G  =  (toCHil `  W )
12 tchcph.f . . . . . 6  |-  F  =  (Scalar `  W )
13 tchcph.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  =  (flds  K ) )
14 tchcph.h . . . . . 6  |-  .,  =  ( .i `  W )
1511, 7, 12, 1, 13, 14tchcphlem3 19182 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  .-  Y )  e.  V
)  ->  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) )  e.  RR )
1610, 15mpdan 650 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) )  e.  RR )
1711, 7, 12, 1, 13, 14tchcphlem3 19182 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .,  X )  e.  RR )
185, 17mpdan 650 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  .,  X
)  e.  RR )
1911, 7, 12, 1, 13, 14tchcphlem3 19182 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  V )  ->  ( Y  .,  Y )  e.  RR )
206, 19mpdan 650 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Y  .,  Y
)  e.  RR )
2118, 20readdcld 9107 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X  .,  X )  +  ( Y  .,  Y ) )  e.  RR )
2211, 7, 12, 1, 13tchclm 19181 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e. CMod )
23 tchcph.k . . . . . . . . . 10  |-  K  =  ( Base `  F
)
2412, 23clmsscn 19096 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e. CMod  ->  K  C_  CC )
2522, 24syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  C_  CC )
2612, 14, 7, 23ipcl 16856 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .,  Y )  e.  K )
271, 5, 6, 26syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  .,  Y
)  e.  K )
2825, 27sseldd 3341 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  .,  Y
)  e.  CC )
2912, 14, 7, 23ipcl 16856 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  ( Y  .,  X )  e.  K )
301, 6, 5, 29syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Y  .,  X
)  e.  K )
3125, 30sseldd 3341 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Y  .,  X
)  e.  CC )
3228, 31addcld 9099 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) )  e.  CC )
3332abscld 12230 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( X  .,  Y
)  +  ( Y 
.,  X ) ) )  e.  RR )
3421, 33readdcld 9107 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( X 
.,  X )  +  ( Y  .,  Y
) )  +  ( abs `  ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) ) ) )  e.  RR )
3518recnd 9106 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  .,  X
)  e.  CC )
36 2re 10061 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
37 tchcph.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  0  <_  ( x  .,  x
) )
3837ralrimiva 2781 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. x  e.  V 
0  <_  ( x  .,  x ) )
39 oveq12 6082 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  X  /\  x  =  X )  ->  ( x  .,  x
)  =  ( X 
.,  X ) )
4039anidms 627 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .,  x )  =  ( X  .,  X ) )
4140breq2d 4216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  (
0  <_  ( x  .,  x )  <->  0  <_  ( X  .,  X ) ) )
4241rspcv 3040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  V  ->  ( A. x  e.  V 
0  <_  ( x  .,  x )  ->  0  <_  ( X  .,  X
) ) )
435, 38, 42sylc 58 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  ( X  .,  X ) )
4418, 43resqrcld 12212 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( sqr `  ( X  .,  X ) )  e.  RR )
45 oveq12 6082 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  Y  /\  x  =  Y )  ->  ( x  .,  x
)  =  ( Y 
.,  Y ) )
4645anidms 627 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  Y  ->  (
x  .,  x )  =  ( Y  .,  Y ) )
4746breq2d 4216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  Y  ->  (
0  <_  ( x  .,  x )  <->  0  <_  ( Y  .,  Y ) ) )
4847rspcv 3040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  V  ->  ( A. x  e.  V 
0  <_  ( x  .,  x )  ->  0  <_  ( Y  .,  Y
) ) )
496, 38, 48sylc 58 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  ( Y  .,  Y ) )
5020, 49resqrcld 12212 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) )  e.  RR )
5144, 50remulcld 9108 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) )  e.  RR )
52 remulcl 9067 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) )  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) )  e.  RR )
5336, 51, 52sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) )  e.  RR )
5453recnd 9106 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) )  e.  CC )
5520recnd 9106 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Y  .,  Y
)  e.  CC )
5635, 54, 55add32d 9280 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X 
.,  X )  +  ( 2  x.  (
( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) )  +  ( Y  .,  Y
) )  =  ( ( ( X  .,  X )  +  ( Y  .,  Y ) )  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) ) )
5721, 53readdcld 9107 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X 
.,  X )  +  ( Y  .,  Y
) )  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X 
.,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) )  e.  RR )
5856, 57eqeltrd 2509 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( X 
.,  X )  +  ( 2  x.  (
( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) )  +  ( Y  .,  Y
) )  e.  RR )
59 oveq12 6082 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  ( X 
.-  Y )  /\  x  =  ( X  .-  Y ) )  -> 
( x  .,  x
)  =  ( ( X  .-  Y ) 
.,  ( X  .-  Y ) ) )
6059anidms 627 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( X  .-  Y )  ->  (
x  .,  x )  =  ( ( X 
.-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) ) )
6160breq2d 4216 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( X  .-  Y )  ->  (
0  <_  ( x  .,  x )  <->  0  <_  ( ( X  .-  Y
)  .,  ( X  .-  Y ) ) ) )
6261rspcv 3040 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  .-  Y )  e.  V  ->  ( A. x  e.  V 
0  <_  ( x  .,  x )  ->  0  <_  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) ) ) )
6310, 38, 62sylc 58 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) ) )
6416, 63absidd 12217 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( X  .-  Y
)  .,  ( X  .-  Y ) ) )  =  ( ( X 
.-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) ) )
6512clmadd 19091 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( W  e. CMod  ->  +  =  ( +g  `  F ) )
6622, 65syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  +  =  ( +g  `  F ) )
6766oveqd 6090 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X  .,  X )  +  ( Y  .,  Y ) )  =  ( ( X  .,  X ) ( +g  `  F
) ( Y  .,  Y ) ) )
6866oveqd 6090 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) )  =  ( ( X  .,  Y ) ( +g  `  F
) ( Y  .,  X ) ) )
6967, 68oveq12d 6091 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( X 
.,  X )  +  ( Y  .,  Y
) ) ( -g `  F ) ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) ) )  =  ( ( ( X  .,  X ) ( +g  `  F
) ( Y  .,  Y ) ) (
-g `  F )
( ( X  .,  Y ) ( +g  `  F ) ( Y 
.,  X ) ) ) )
7012, 14, 7, 23ipcl 16856 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  X  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .,  X )  e.  K )
711, 5, 5, 70syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  .,  X
)  e.  K )
7212, 14, 7, 23ipcl 16856 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  Y  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( Y  .,  Y )  e.  K )
731, 6, 6, 72syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  .,  Y
)  e.  K )
7412, 23clmacl 19100 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e. CMod  /\  ( X  .,  X )  e.  K  /\  ( Y 
.,  Y )  e.  K )  ->  (
( X  .,  X
)  +  ( Y 
.,  Y ) )  e.  K )
7522, 71, 73, 74syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X  .,  X )  +  ( Y  .,  Y ) )  e.  K )
7612, 23clmacl 19100 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e. CMod  /\  ( X  .,  Y )  e.  K  /\  ( Y 
.,  X )  e.  K )  ->  (
( X  .,  Y
)  +  ( Y 
.,  X ) )  e.  K )
7722, 27, 30, 76syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) )  e.  K )
7812, 23clmsub 19097 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e. CMod  /\  (
( X  .,  X
)  +  ( Y 
.,  Y ) )  e.  K  /\  (
( X  .,  Y
)  +  ( Y 
.,  X ) )  e.  K )  -> 
( ( ( X 
.,  X )  +  ( Y  .,  Y
) )  -  (
( X  .,  Y
)  +  ( Y 
.,  X ) ) )  =  ( ( ( X  .,  X
)  +  ( Y 
.,  Y ) ) ( -g `  F
) ( ( X 
.,  Y )  +  ( Y  .,  X
) ) ) )
7922, 75, 77, 78syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( X 
.,  X )  +  ( Y  .,  Y
) )  -  (
( X  .,  Y
)  +  ( Y 
.,  X ) ) )  =  ( ( ( X  .,  X
)  +  ( Y 
.,  Y ) ) ( -g `  F
) ( ( X 
.,  Y )  +  ( Y  .,  X
) ) ) )
80 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( -g `  F )  =  (
-g `  F )
81 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  F )  =  ( +g  `  F )
8212, 14, 7, 8, 80, 81, 1, 5, 6, 5, 6ip2subdi 16867 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) )  =  ( ( ( X  .,  X ) ( +g  `  F
) ( Y  .,  Y ) ) (
-g `  F )
( ( X  .,  Y ) ( +g  `  F ) ( Y 
.,  X ) ) ) )
8369, 79, 823eqtr4rd 2478 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) )  =  ( ( ( X  .,  X )  +  ( Y  .,  Y ) )  -  ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) ) ) )
8483fveq2d 5724 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( X  .-  Y
)  .,  ( X  .-  Y ) ) )  =  ( abs `  (
( ( X  .,  X )  +  ( Y  .,  Y ) )  -  ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) ) ) ) )
8564, 84eqtr3d 2469 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) )  =  ( abs `  (
( ( X  .,  X )  +  ( Y  .,  Y ) )  -  ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) ) ) ) )
8625, 75sseldd 3341 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( X  .,  X )  +  ( Y  .,  Y ) )  e.  CC )
8786, 32abs2dif2d 12252 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( X  .,  X )  +  ( Y  .,  Y ) )  -  ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) ) ) )  <_  ( ( abs `  ( ( X 
.,  X )  +  ( Y  .,  Y
) ) )  +  ( abs `  (
( X  .,  Y
)  +  ( Y 
.,  X ) ) ) ) )
8885, 87eqbrtrd 4224 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) )  <_  ( ( abs `  ( ( X  .,  X )  +  ( Y  .,  Y ) ) )  +  ( abs `  ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) ) ) ) )
8918, 20, 43, 49addge0d 9594 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( X  .,  X )  +  ( Y  .,  Y
) ) )
9021, 89absidd 12217 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( X  .,  X
)  +  ( Y 
.,  Y ) ) )  =  ( ( X  .,  X )  +  ( Y  .,  Y ) ) )
9190oveq1d 6088 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( X  .,  X
)  +  ( Y 
.,  Y ) ) )  +  ( abs `  ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) ) ) )  =  ( ( ( X 
.,  X )  +  ( Y  .,  Y
) )  +  ( abs `  ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) ) ) ) )
9288, 91breqtrd 4228 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) )  <_  ( ( ( X  .,  X )  +  ( Y  .,  Y ) )  +  ( abs `  (
( X  .,  Y
)  +  ( Y 
.,  X ) ) ) ) )
9328abscld 12230 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X  .,  Y ) )  e.  RR )
94 remulcl 9067 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( abs `  ( X 
.,  Y ) )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  ( abs `  ( X  .,  Y ) ) )  e.  RR )
9536, 93, 94sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( abs `  ( X  .,  Y ) ) )  e.  RR )
9628, 31abstrid 12250 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( X  .,  Y
)  +  ( Y 
.,  X ) ) )  <_  ( ( abs `  ( X  .,  Y ) )  +  ( abs `  ( Y  .,  X ) ) ) )
9793recnd 9106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X  .,  Y ) )  e.  CC )
98972timesd 10202 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( abs `  ( X  .,  Y ) ) )  =  ( ( abs `  ( X  .,  Y
) )  +  ( abs `  ( X 
.,  Y ) ) ) )
9928abscjd 12244 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
* `  ( X  .,  Y ) ) )  =  ( abs `  ( X  .,  Y ) ) )
10012clmcj 19093 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( W  e. CMod  ->  *  =  ( * r `  F
) )
10122, 100syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  *  =  ( * r `  F ) )
102101fveq1d 5722 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( * `  ( X  .,  Y ) )  =  ( ( * r `  F ) `
 ( X  .,  Y ) ) )
103 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( * r `  F )  =  ( * r `
 F )
10412, 14, 7, 103ipcj 16857 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( * r `  F ) `  ( X  .,  Y ) )  =  ( Y  .,  X ) )
1051, 5, 6, 104syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( * r `
 F ) `  ( X  .,  Y ) )  =  ( Y 
.,  X ) )
106102, 105eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( * `  ( X  .,  Y ) )  =  ( Y  .,  X ) )
107106fveq2d 5724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
* `  ( X  .,  Y ) ) )  =  ( abs `  ( Y  .,  X ) ) )
10899, 107eqtr3d 2469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X  .,  Y ) )  =  ( abs `  ( Y  .,  X ) ) )
109108oveq2d 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X  .,  Y ) )  +  ( abs `  ( X  .,  Y ) ) )  =  ( ( abs `  ( X 
.,  Y ) )  +  ( abs `  ( Y  .,  X ) ) ) )
11098, 109eqtrd 2467 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( abs `  ( X  .,  Y ) ) )  =  ( ( abs `  ( X  .,  Y
) )  +  ( abs `  ( Y 
.,  X ) ) ) )
11196, 110breqtrrd 4230 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( X  .,  Y
)  +  ( Y 
.,  X ) ) )  <_  ( 2  x.  ( abs `  ( X  .,  Y ) ) ) )
112 tchcph.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )  -> 
( sqr `  x
)  e.  K )
113 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( norm `  G )  =  (
norm `  G )
114 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  .,  X )  /  ( Y  .,  Y ) )  =  ( ( Y  .,  X )  /  ( Y  .,  Y ) )
11511, 7, 12, 1, 13, 14, 112, 37, 23, 113, 114, 5, 6ipcau2 19183 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X  .,  Y ) )  <_  ( ( (
norm `  G ) `  X )  x.  (
( norm `  G ) `  Y ) ) )
11611, 113, 7, 14tchnmval 19179 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  X  e.  V )  ->  ( ( norm `  G
) `  X )  =  ( sqr `  ( X  .,  X ) ) )
1174, 5, 116syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( norm `  G
) `  X )  =  ( sqr `  ( X  .,  X ) ) )
11811, 113, 7, 14tchnmval 19179 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  Y  e.  V )  ->  ( ( norm `  G
) `  Y )  =  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) )
1194, 6, 118syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( norm `  G
) `  Y )  =  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) )
120117, 119oveq12d 6091 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( norm `  G ) `  X
)  x.  ( (
norm `  G ) `  Y ) )  =  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) )
121115, 120breqtrd 4228 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X  .,  Y ) )  <_  ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) )
12236a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
123 2pos 10074 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  2
124123a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  2 )
125 lemul2 9855 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs `  ( X  .,  Y ) )  e.  RR  /\  (
( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) )  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( abs `  ( X  .,  Y ) )  <_ 
( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) )  <->  ( 2  x.  ( abs `  ( X  .,  Y ) ) )  <_  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) ) )
12693, 51, 122, 124, 125syl112anc 1188 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X  .,  Y ) )  <_  ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) )  <-> 
( 2  x.  ( abs `  ( X  .,  Y ) ) )  <_  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) ) )
127121, 126mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( abs `  ( X  .,  Y ) ) )  <_  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) )
12833, 95, 53, 111, 127letrd 9219 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( X  .,  Y
)  +  ( Y 
.,  X ) ) )  <_  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) )
12933, 53, 21, 128leadd2dd 9633 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X 
.,  X )  +  ( Y  .,  Y
) )  +  ( abs `  ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) ) ) )  <_  ( (
( X  .,  X
)  +  ( Y 
.,  Y ) )  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) ) )
130129, 56breqtrrd 4230 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( X 
.,  X )  +  ( Y  .,  Y
) )  +  ( abs `  ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) ) ) )  <_  ( (
( X  .,  X
)  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) )  +  ( Y  .,  Y ) ) )
13116, 34, 58, 92, 130letrd 9219 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) )  <_  ( ( ( X  .,  X )  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) )  +  ( Y  .,  Y
) ) )
13216recnd 9106 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) )  e.  CC )
133132sqsqrd 12233 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  (
( X  .-  Y
)  .,  ( X  .-  Y ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) ) )
13435sqrcld 12231 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sqr `  ( X  .,  X ) )  e.  CC )
13550recnd 9106 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) )  e.  CC )
136 binom2 11488 . . . . 5  |-  ( ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  e.  CC  /\  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) )  e.  CC )  ->  (
( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  +  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( sqr `  ( X  .,  X ) ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) )  +  ( ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ^ 2 ) ) )
137134, 135, 136syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  +  ( sqr `  ( Y 
.,  Y ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( sqr `  ( X  .,  X ) ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) )  +  ( ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ^ 2 ) ) )
13835sqsqrd 12233 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) ) ^ 2 )  =  ( X  .,  X
) )
139138oveq1d 6088 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  ( X  .,  X
) ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) )  =  ( ( X  .,  X
)  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) ) )
14055sqsqrd 12233 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ^ 2 )  =  ( Y  .,  Y
) )
141139, 140oveq12d 6091 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( sqr `  ( X 
.,  X ) ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) )  +  ( ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( X  .,  X )  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) )  +  ( Y  .,  Y
) ) )
142137, 141eqtrd 2467 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  +  ( sqr `  ( Y 
.,  Y ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( X  .,  X )  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) )  +  ( Y  .,  Y
) ) )
143131, 133, 1423brtr4d 4234 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  (
( X  .-  Y
)  .,  ( X  .-  Y ) ) ) ^ 2 )  <_ 
( ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  +  ( sqr `  ( Y 
.,  Y ) ) ) ^ 2 ) )
14416, 63resqrcld 12212 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
( X  .-  Y
)  .,  ( X  .-  Y ) ) )  e.  RR )
14544, 50readdcld 9107 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  +  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) )  e.  RR )
14616, 63sqrge0d 12215 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sqr `  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) ) ) )
14718, 43sqrge0d 12215 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sqr `  ( X  .,  X
) ) )
14820, 49sqrge0d 12215 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sqr `  ( Y  .,  Y
) ) )
14944, 50, 147, 148addge0d 9594 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  +  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) )
150144, 145, 146, 149le2sqd 11550 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  (
( X  .-  Y
)  .,  ( X  .-  Y ) ) )  <_  ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  +  ( sqr `  ( Y 
.,  Y ) ) )  <->  ( ( sqr `  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) ) ) ^ 2 )  <_  ( ( ( sqr `  ( X 
.,  X ) )  +  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ^ 2 ) ) )
151143, 150mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
( X  .-  Y
)  .,  ( X  .-  Y ) ) )  <_  ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  +  ( sqr `  ( Y 
.,  Y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697    C_ wss 3312   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982    + caddc 8985    x. cmul 8987    < clt 9112    <_ cle 9113    - cmin 9283    / cdiv 9669   2c2 10041   ^cexp 11374   *ccj 11893   sqrcsqr 12030   abscabs 12031   Basecbs 13461   ↾s cress 13462   +g cplusg 13521   * rcstv 13523  Scalarcsca 13524   .icip 13526   Grpcgrp 14677   -gcsg 14680   LModclmod 15942  ℂfldccnfld 16695   PreHilcphl 16847   normcnm 18616  CModcclm 19079  toCHilctch 19122
This theorem is referenced by:  tchcph  19186
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fz 11036  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-mhm 14730  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-subg 14933  df-ghm 14996  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-cring 15656  df-ur 15657  df-oppr 15720  df-dvdsr 15738  df-unit 15739  df-invr 15769  df-dvr 15780  df-rnghom 15811  df-drng 15829  df-subrg 15858  df-staf 15925  df-srng 15926  df-lmod 15944  df-lmhm 16090  df-lvec 16167  df-sra 16236  df-rgmod 16237  df-cnfld 16696  df-phl 16849  df-nm 18622  df-tng 18624  df-clm 19080  df-tch 19124
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