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Theorem tendocnv 31658
Description: Converse of a trace-preserving endomorphism value. (Contributed by NM, 7-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
tendosp.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
tendosp.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
tendosp.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
tendocnv  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  `' ( S `  F )  =  ( S `  `' F ) )

Proof of Theorem tendocnv
StepHypRef Expression
1 simp1 957 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 tendosp.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 tendosp.t . . . . . 6  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
4 tendosp.e . . . . . 6  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
52, 3, 4tendocl 31403 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( S `  F )  e.  T
)
6 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
76, 2, 3ltrn1o 30760 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S `  F )  e.  T
)  ->  ( S `  F ) : (
Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
81, 5, 7syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( S `  F ) : (
Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
9 f1ococnv1 5695 . . . 4  |-  ( ( S `  F ) : ( Base `  K
)
-1-1-onto-> ( Base `  K )  ->  ( `' ( S `
 F )  o.  ( S `  F
) )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
108, 9syl 16 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( `' ( S `  F )  o.  ( S `  F ) )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
1110coeq1d 5025 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( ( `' ( S `  F )  o.  ( S `  F )
)  o.  `' ( S `  F ) )  =  ( (  _I  |`  ( Base `  K ) )  o.  `' ( S `  F ) ) )
12 simp2 958 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  S  e.  E )
136, 2, 4tendoid 31409 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  ( S `  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  =  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) )
141, 12, 13syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( S `  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  =  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) )
156, 2, 3ltrn1o 30760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  F :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
16153adant2 976 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  F :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
17 f1ococnv2 5693 . . . . . . . . 9  |-  ( F : ( Base `  K
)
-1-1-onto-> ( Base `  K )  ->  ( F  o.  `' F )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
1816, 17syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( F  o.  `' F )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
1918fveq2d 5723 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( S `  ( F  o.  `' F ) )  =  ( S `  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) )
20 f1ococnv2 5693 . . . . . . . 8  |-  ( ( S `  F ) : ( Base `  K
)
-1-1-onto-> ( Base `  K )  ->  ( ( S `  F )  o.  `' ( S `  F ) )  =  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) )
218, 20syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( ( S `  F )  o.  `' ( S `  F ) )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
2214, 19, 213eqtr4rd 2478 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( ( S `  F )  o.  `' ( S `  F ) )  =  ( S `  ( F  o.  `' F
) ) )
23 simp3 959 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  F  e.  T )
242, 3ltrncnv 30782 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  `' F  e.  T )
25243adant2 976 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  `' F  e.  T )
262, 3, 4tendospdi1 31657 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  F  e.  T  /\  `' F  e.  T ) )  -> 
( S `  ( F  o.  `' F
) )  =  ( ( S `  F
)  o.  ( S `
 `' F ) ) )
271, 12, 23, 25, 26syl13anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( S `  ( F  o.  `' F ) )  =  ( ( S `  F )  o.  ( S `  `' F
) ) )
2822, 27eqtrd 2467 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( ( S `  F )  o.  `' ( S `  F ) )  =  ( ( S `  F )  o.  ( S `  `' F
) ) )
2928coeq2d 5026 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( `' ( S `  F )  o.  ( ( S `
 F )  o.  `' ( S `  F ) ) )  =  ( `' ( S `  F )  o.  ( ( S `
 F )  o.  ( S `  `' F ) ) ) )
30 coass 5379 . . . 4  |-  ( ( `' ( S `  F )  o.  ( S `  F )
)  o.  `' ( S `  F ) )  =  ( `' ( S `  F
)  o.  ( ( S `  F )  o.  `' ( S `
 F ) ) )
31 coass 5379 . . . 4  |-  ( ( `' ( S `  F )  o.  ( S `  F )
)  o.  ( S `
 `' F ) )  =  ( `' ( S `  F
)  o.  ( ( S `  F )  o.  ( S `  `' F ) ) )
3229, 30, 313eqtr4g 2492 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( ( `' ( S `  F )  o.  ( S `  F )
)  o.  `' ( S `  F ) )  =  ( ( `' ( S `  F )  o.  ( S `  F )
)  o.  ( S `
 `' F ) ) )
3310coeq1d 5025 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( ( `' ( S `  F )  o.  ( S `  F )
)  o.  ( S `
 `' F ) )  =  ( (  _I  |`  ( Base `  K ) )  o.  ( S `  `' F ) ) )
342, 3, 4tendocl 31403 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  `' F  e.  T
)  ->  ( S `  `' F )  e.  T
)
3525, 34syld3an3 1229 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( S `  `' F )  e.  T
)
366, 2, 3ltrn1o 30760 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S `  `' F )  e.  T
)  ->  ( S `  `' F ) : (
Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
371, 35, 36syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( S `  `' F ) : (
Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
38 f1of 5665 . . . 4  |-  ( ( S `  `' F
) : ( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K
)  ->  ( S `  `' F ) : (
Base `  K ) --> ( Base `  K )
)
39 fcoi2 5609 . . . 4  |-  ( ( S `  `' F
) : ( Base `  K ) --> ( Base `  K )  ->  (
(  _I  |`  ( Base `  K ) )  o.  ( S `  `' F ) )  =  ( S `  `' F ) )
4037, 38, 393syl 19 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( (  _I  |`  ( Base `  K
) )  o.  ( S `  `' F
) )  =  ( S `  `' F
) )
4132, 33, 403eqtrd 2471 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( ( `' ( S `  F )  o.  ( S `  F )
)  o.  `' ( S `  F ) )  =  ( S `
 `' F ) )
422, 3ltrncnv 30782 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S `  F )  e.  T
)  ->  `' ( S `  F )  e.  T )
431, 5, 42syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  `' ( S `  F )  e.  T )
446, 2, 3ltrn1o 30760 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  `' ( S `
 F )  e.  T )  ->  `' ( S `  F ) : ( Base `  K
)
-1-1-onto-> ( Base `  K )
)
451, 43, 44syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  `' ( S `  F ) : ( Base `  K
)
-1-1-onto-> ( Base `  K )
)
46 f1of 5665 . . 3  |-  ( `' ( S `  F
) : ( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K
)  ->  `' ( S `  F ) : ( Base `  K
) --> ( Base `  K
) )
47 fcoi2 5609 . . 3  |-  ( `' ( S `  F
) : ( Base `  K ) --> ( Base `  K )  ->  (
(  _I  |`  ( Base `  K ) )  o.  `' ( S `
 F ) )  =  `' ( S `
 F ) )
4845, 46, 473syl 19 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( (  _I  |`  ( Base `  K
) )  o.  `' ( S `  F ) )  =  `' ( S `  F ) )
4911, 41, 483eqtr3rd 2476 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  `' ( S `  F )  =  ( S `  `' F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    _I cid 4485   `'ccnv 4868    |` cres 4871    o. ccom 4873   -->wf 5441   -1-1-onto->wf1o 5444   ` cfv 5445   Basecbs 13457   HLchlt 29987   LHypclh 30620   LTrncltrn 30737   TEndoctendo 31388
This theorem is referenced by:  tendospcanN  31660  dihjatcclem4  32058
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-undef 6534  df-riota 6540  df-map 7011  df-poset 14391  df-plt 14403  df-lub 14419  df-glb 14420  df-join 14421  df-meet 14422  df-p0 14456  df-p1 14457  df-lat 14463  df-clat 14525  df-oposet 29813  df-ol 29815  df-oml 29816  df-covers 29903  df-ats 29904  df-atl 29935  df-cvlat 29959  df-hlat 29988  df-lhyp 30624  df-laut 30625  df-ldil 30740  df-ltrn 30741  df-trl 30795  df-tendo 31391
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