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Theorem tendoex 30315
Description: Generalization of Lemma K of [Crawley] p. 118, cdlemk 30314. TODO: can this be used to shorten uses of cdlemk 30314? (Contributed by NM, 15-Oct-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoex.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
tendoex.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
tendoex.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
tendoex.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
tendoex.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
tendoex  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N )  .<_  ( R `  F
) )  ->  E. u  e.  E  ( u `  F )  =  N )
Distinct variable groups:    u, E    u, F    u, K    u, N    u, R    u, T    u, W
Allowed substitution hints:    H( u)    .<_ ( u)

Proof of Theorem tendoex
StepHypRef Expression
1 simpl1l 1011 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K
) )  ->  K  e.  HL )
2 hlop 28703 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
31, 2syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K
) )  ->  K  e.  OP )
4 simpl1 963 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
5 simpl2r 1014 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K
) )  ->  N  e.  T )
6 eqid 2256 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
7 tendoex.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
8 tendoex.t . . . . . . . 8  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
9 tendoex.r . . . . . . . 8  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
106, 7, 8, 9trlcl 29504 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  N  e.  T
)  ->  ( R `  N )  e.  (
Base `  K )
)
114, 5, 10syl2anc 645 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K
) )  ->  ( R `  N )  e.  ( Base `  K
) )
12 simpr 449 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K
) )  ->  ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K )
)
13 simpl3 965 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K
) )  ->  ( R `  N )  .<_  ( R `  F
) )
14 tendoex.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  K )
15 eqid 2256 . . . . . . 7  |-  ( 0.
`  K )  =  ( 0. `  K
)
16 eqid 2256 . . . . . . 7  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
176, 14, 15, 16leat 28634 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  OP  /\  ( R `  N
)  e.  ( Base `  K )  /\  ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( R `  N )  .<_  ( R `
 F ) )  ->  ( ( R `
 N )  =  ( R `  F
)  \/  ( R `
 N )  =  ( 0. `  K
) ) )
183, 11, 12, 13, 17syl31anc 1190 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K
) )  ->  (
( R `  N
)  =  ( R `
 F )  \/  ( R `  N
)  =  ( 0.
`  K ) ) )
19 simp3 962 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N )  .<_  ( R `  F
) )  ->  ( R `  N )  .<_  ( R `  F
) )
20 breq2 3987 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R `  F )  =  ( 0. `  K )  ->  (
( R `  N
)  .<_  ( R `  F )  <->  ( R `  N )  .<_  ( 0.
`  K ) ) )
2119, 20syl5ibcom 213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N )  .<_  ( R `  F
) )  ->  (
( R `  F
)  =  ( 0.
`  K )  -> 
( R `  N
)  .<_  ( 0. `  K ) ) )
2221imp 420 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =  ( 0. `  K ) )  -> 
( R `  N
)  .<_  ( 0. `  K ) )
23 simpl1l 1011 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =  ( 0. `  K ) )  ->  K  e.  HL )
2423, 2syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =  ( 0. `  K ) )  ->  K  e.  OP )
25 simpl1 963 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =  ( 0. `  K ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
26 simpl2r 1014 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =  ( 0. `  K ) )  ->  N  e.  T )
2725, 26, 10syl2anc 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =  ( 0. `  K ) )  -> 
( R `  N
)  e.  ( Base `  K ) )
286, 14, 15ople0 28528 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( R `  N )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( R `  N
)  .<_  ( 0. `  K )  <->  ( R `  N )  =  ( 0. `  K ) ) )
2924, 27, 28syl2anc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =  ( 0. `  K ) )  -> 
( ( R `  N )  .<_  ( 0.
`  K )  <->  ( R `  N )  =  ( 0. `  K ) ) )
3022, 29mpbid 203 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =  ( 0. `  K ) )  -> 
( R `  N
)  =  ( 0.
`  K ) )
3130olcd 384 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =  ( 0. `  K ) )  -> 
( ( R `  N )  =  ( R `  F )  \/  ( R `  N )  =  ( 0. `  K ) ) )
32 simp1 960 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N )  .<_  ( R `  F
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
33 simp2l 986 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N )  .<_  ( R `  F
) )  ->  F  e.  T )
3415, 16, 7, 8, 9trlator0 29511 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K )  \/  ( R `  F
)  =  ( 0.
`  K ) ) )
3532, 33, 34syl2anc 645 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N )  .<_  ( R `  F
) )  ->  (
( R `  F
)  e.  ( Atoms `  K )  \/  ( R `  F )  =  ( 0. `  K ) ) )
3618, 31, 35mpjaodan 764 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N )  .<_  ( R `  F
) )  ->  (
( R `  N
)  =  ( R `
 F )  \/  ( R `  N
)  =  ( 0.
`  K ) ) )
37363expa 1156 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )
)  /\  ( R `  N )  .<_  ( R `
 F ) )  ->  ( ( R `
 N )  =  ( R `  F
)  \/  ( R `
 N )  =  ( 0. `  K
) ) )
38 eqcom 2258 . . . . 5  |-  ( ( R `  N )  =  ( R `  F )  <->  ( R `  F )  =  ( R `  N ) )
39 tendoex.e . . . . . . 7  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
407, 8, 9, 39cdlemk 30314 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  N ) )  ->  E. u  e.  E  ( u `  F
)  =  N )
41403expa 1156 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )
)  /\  ( R `  F )  =  ( R `  N ) )  ->  E. u  e.  E  ( u `  F )  =  N )
4238, 41sylan2b 463 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )
)  /\  ( R `  N )  =  ( R `  F ) )  ->  E. u  e.  E  ( u `  F )  =  N )
43 eqid 2256 . . . . . . 7  |-  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) )  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
446, 7, 8, 39, 43tendo0cl 30130 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  e.  E )
4544ad2antrr 709 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )
)  /\  ( R `  N )  =  ( 0. `  K ) )  ->  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) )  e.  E )
46 simplrl 739 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )
)  /\  ( R `  N )  =  ( 0. `  K ) )  ->  F  e.  T )
4743, 6tendo02 30127 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  T  ->  (
( h  e.  T  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) `  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
4846, 47syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )
)  /\  ( R `  N )  =  ( 0. `  K ) )  ->  ( (
h  e.  T  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) `
 F )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
496, 15, 7, 8, 9trlid0b 29518 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  N  e.  T
)  ->  ( N  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  <-> 
( R `  N
)  =  ( 0.
`  K ) ) )
5049adantrl 699 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T ) )  -> 
( N  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  <->  ( R `  N )  =  ( 0. `  K ) ) )
5150biimpar 473 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )
)  /\  ( R `  N )  =  ( 0. `  K ) )  ->  N  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
5248, 51eqtr4d 2291 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )
)  /\  ( R `  N )  =  ( 0. `  K ) )  ->  ( (
h  e.  T  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) `
 F )  =  N )
53 fveq1 5443 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( u `  F )  =  ( ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) `  F ) )
5453eqeq1d 2264 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( (
u `  F )  =  N  <->  ( ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) `  F )  =  N ) )
5554rcla4ev 2852 . . . . 5  |-  ( ( ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  e.  E  /\  ( ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) `  F )  =  N )  ->  E. u  e.  E  ( u `  F
)  =  N )
5645, 52, 55syl2anc 645 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )
)  /\  ( R `  N )  =  ( 0. `  K ) )  ->  E. u  e.  E  ( u `  F )  =  N )
5742, 56jaodan 763 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )
)  /\  ( ( R `  N )  =  ( R `  F )  \/  ( R `  N )  =  ( 0. `  K ) ) )  ->  E. u  e.  E  ( u `  F
)  =  N )
5837, 57syldan 458 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )
)  /\  ( R `  N )  .<_  ( R `
 F ) )  ->  E. u  e.  E  ( u `  F
)  =  N )
59583impa 1151 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N )  .<_  ( R `  F
) )  ->  E. u  e.  E  ( u `  F )  =  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   E.wrex 2517   class class class wbr 3983    e. cmpt 4037    _I cid 4262    |` cres 4649   ` cfv 4659   Basecbs 13096   lecple 13163   0.cp0 14091   OPcops 28513   Atomscatm 28604   HLchlt 28691   LHypclh 29324   LTrncltrn 29441   trLctrl 29498   TEndoctendo 30092
This theorem is referenced by:  dva1dim  30325  dihjatcclem4  30762
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4091  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rmo 2524  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-op 3609  df-uni 3788  df-iun 3867  df-iin 3868  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4267  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-iota 6211  df-undef 6250  df-riota 6258  df-map 6728  df-poset 14028  df-plt 14040  df-lub 14056  df-glb 14057  df-join 14058  df-meet 14059  df-p0 14093  df-p1 14094  df-lat 14100  df-clat 14162  df-oposet 28517  df-ol 28519  df-oml 28520  df-covers 28607  df-ats 28608  df-atl 28639  df-cvlat 28663  df-hlat 28692  df-llines 28838  df-lplanes 28839  df-lvols 28840  df-lines 28841  df-psubsp 28843  df-pmap 28844  df-padd 29136  df-lhyp 29328  df-laut 29329  df-ldil 29444  df-ltrn 29445  df-trl 29499  df-tendo 30095
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