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Theorem tendoex 29923
Description: Generalization of Lemma K of [Crawley] p. 118, cdlemk 29922. TODO: can this be used to shorten uses of cdlemk 29922? (Contributed by NM, 15-Oct-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoex.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
tendoex.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
tendoex.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
tendoex.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
tendoex.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
tendoex  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N )  .<_  ( R `  F
) )  ->  E. u  e.  E  ( u `  F )  =  N )
Distinct variable groups:    u, E    u, F    u, K    u, N    u, R    u, T    u, W
Allowed substitution hints:    H( u)    .<_ ( u)

Proof of Theorem tendoex
StepHypRef Expression
1 simpl1l 1011 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K
) )  ->  K  e.  HL )
2 hlop 28311 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
31, 2syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K
) )  ->  K  e.  OP )
4 simpl1 963 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
5 simpl2r 1014 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K
) )  ->  N  e.  T )
6 eqid 2253 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
7 tendoex.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
8 tendoex.t . . . . . . . 8  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
9 tendoex.r . . . . . . . 8  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
106, 7, 8, 9trlcl 29112 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  N  e.  T
)  ->  ( R `  N )  e.  (
Base `  K )
)
114, 5, 10syl2anc 645 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K
) )  ->  ( R `  N )  e.  ( Base `  K
) )
12 simpr 449 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K
) )  ->  ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K )
)
13 simpl3 965 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K
) )  ->  ( R `  N )  .<_  ( R `  F
) )
14 tendoex.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  K )
15 eqid 2253 . . . . . . 7  |-  ( 0.
`  K )  =  ( 0. `  K
)
16 eqid 2253 . . . . . . 7  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
176, 14, 15, 16leat 28242 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  OP  /\  ( R `  N
)  e.  ( Base `  K )  /\  ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( R `  N )  .<_  ( R `
 F ) )  ->  ( ( R `
 N )  =  ( R `  F
)  \/  ( R `
 N )  =  ( 0. `  K
) ) )
183, 11, 12, 13, 17syl31anc 1190 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K
) )  ->  (
( R `  N
)  =  ( R `
 F )  \/  ( R `  N
)  =  ( 0.
`  K ) ) )
19 simp3 962 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N )  .<_  ( R `  F
) )  ->  ( R `  N )  .<_  ( R `  F
) )
20 breq2 3924 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R `  F )  =  ( 0. `  K )  ->  (
( R `  N
)  .<_  ( R `  F )  <->  ( R `  N )  .<_  ( 0.
`  K ) ) )
2119, 20syl5ibcom 213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N )  .<_  ( R `  F
) )  ->  (
( R `  F
)  =  ( 0.
`  K )  -> 
( R `  N
)  .<_  ( 0. `  K ) ) )
2221imp 420 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =  ( 0. `  K ) )  -> 
( R `  N
)  .<_  ( 0. `  K ) )
23 simpl1l 1011 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =  ( 0. `  K ) )  ->  K  e.  HL )
2423, 2syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =  ( 0. `  K ) )  ->  K  e.  OP )
25 simpl1 963 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =  ( 0. `  K ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
26 simpl2r 1014 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =  ( 0. `  K ) )  ->  N  e.  T )
2725, 26, 10syl2anc 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =  ( 0. `  K ) )  -> 
( R `  N
)  e.  ( Base `  K ) )
286, 14, 15ople0 28136 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( R `  N )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( R `  N
)  .<_  ( 0. `  K )  <->  ( R `  N )  =  ( 0. `  K ) ) )
2924, 27, 28syl2anc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =  ( 0. `  K ) )  -> 
( ( R `  N )  .<_  ( 0.
`  K )  <->  ( R `  N )  =  ( 0. `  K ) ) )
3022, 29mpbid 203 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =  ( 0. `  K ) )  -> 
( R `  N
)  =  ( 0.
`  K ) )
3130olcd 384 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =  ( 0. `  K ) )  -> 
( ( R `  N )  =  ( R `  F )  \/  ( R `  N )  =  ( 0. `  K ) ) )
32 simp1 960 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N )  .<_  ( R `  F
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
33 simp2l 986 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N )  .<_  ( R `  F
) )  ->  F  e.  T )
3415, 16, 7, 8, 9trlator0 29119 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K )  \/  ( R `  F
)  =  ( 0.
`  K ) ) )
3532, 33, 34syl2anc 645 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N )  .<_  ( R `  F
) )  ->  (
( R `  F
)  e.  ( Atoms `  K )  \/  ( R `  F )  =  ( 0. `  K ) ) )
3618, 31, 35mpjaodan 764 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N )  .<_  ( R `  F
) )  ->  (
( R `  N
)  =  ( R `
 F )  \/  ( R `  N
)  =  ( 0.
`  K ) ) )
37363expa 1156 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )
)  /\  ( R `  N )  .<_  ( R `
 F ) )  ->  ( ( R `
 N )  =  ( R `  F
)  \/  ( R `
 N )  =  ( 0. `  K
) ) )
38 eqcom 2255 . . . . 5  |-  ( ( R `  N )  =  ( R `  F )  <->  ( R `  F )  =  ( R `  N ) )
39 tendoex.e . . . . . . 7  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
407, 8, 9, 39cdlemk 29922 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  N ) )  ->  E. u  e.  E  ( u `  F
)  =  N )
41403expa 1156 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )
)  /\  ( R `  F )  =  ( R `  N ) )  ->  E. u  e.  E  ( u `  F )  =  N )
4238, 41sylan2b 463 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )
)  /\  ( R `  N )  =  ( R `  F ) )  ->  E. u  e.  E  ( u `  F )  =  N )
43 eqid 2253 . . . . . . 7  |-  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) )  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
446, 7, 8, 39, 43tendo0cl 29738 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  e.  E )
4544ad2antrr 709 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )
)  /\  ( R `  N )  =  ( 0. `  K ) )  ->  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) )  e.  E )
46 simplrl 739 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )
)  /\  ( R `  N )  =  ( 0. `  K ) )  ->  F  e.  T )
4743, 6tendo02 29735 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  T  ->  (
( h  e.  T  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) `  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
4846, 47syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )
)  /\  ( R `  N )  =  ( 0. `  K ) )  ->  ( (
h  e.  T  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) `
 F )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
496, 15, 7, 8, 9trlid0b 29126 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  N  e.  T
)  ->  ( N  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  <-> 
( R `  N
)  =  ( 0.
`  K ) ) )
5049adantrl 699 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T ) )  -> 
( N  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  <->  ( R `  N )  =  ( 0. `  K ) ) )
5150biimpar 473 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )
)  /\  ( R `  N )  =  ( 0. `  K ) )  ->  N  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
5248, 51eqtr4d 2288 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )
)  /\  ( R `  N )  =  ( 0. `  K ) )  ->  ( (
h  e.  T  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) `
 F )  =  N )
53 fveq1 5376 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( u `  F )  =  ( ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) `  F ) )
5453eqeq1d 2261 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( (
u `  F )  =  N  <->  ( ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) `  F )  =  N ) )
5554rcla4ev 2821 . . . . 5  |-  ( ( ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  e.  E  /\  ( ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) `  F )  =  N )  ->  E. u  e.  E  ( u `  F
)  =  N )
5645, 52, 55syl2anc 645 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )
)  /\  ( R `  N )  =  ( 0. `  K ) )  ->  E. u  e.  E  ( u `  F )  =  N )
5742, 56jaodan 763 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )
)  /\  ( ( R `  N )  =  ( R `  F )  \/  ( R `  N )  =  ( 0. `  K ) ) )  ->  E. u  e.  E  ( u `  F
)  =  N )
5837, 57syldan 458 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )
)  /\  ( R `  N )  .<_  ( R `
 F ) )  ->  E. u  e.  E  ( u `  F
)  =  N )
59583impa 1151 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N )  .<_  ( R `  F
) )  ->  E. u  e.  E  ( u `  F )  =  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   E.wrex 2510   class class class wbr 3920    e. cmpt 3974    _I cid 4197    |` cres 4582   ` cfv 4592   Basecbs 13022   lecple 13089   0.cp0 13987   OPcops 28121   Atomscatm 28212   HLchlt 28299   LHypclh 28932   LTrncltrn 29049   trLctrl 29106   TEndoctendo 29700
This theorem is referenced by:  dva1dim  29933  dihjatcclem4  30370
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-iin 3806  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-undef 6182  df-riota 6190  df-map 6660  df-poset 13924  df-plt 13936  df-lub 13952  df-glb 13953  df-join 13954  df-meet 13955  df-p0 13989  df-p1 13990  df-lat 13996  df-clat 14058  df-oposet 28125  df-ol 28127  df-oml 28128  df-covers 28215  df-ats 28216  df-atl 28247  df-cvlat 28271  df-hlat 28300  df-llines 28446  df-lplanes 28447  df-lvols 28448  df-lines 28449  df-psubsp 28451  df-pmap 28452  df-padd 28744  df-lhyp 28936  df-laut 28937  df-ldil 29052  df-ltrn 29053  df-trl 29107  df-tendo 29703
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