Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendoex Unicode version

Theorem tendoex 30294
Description: Generalization of Lemma K of [Crawley] p. 118, cdlemk 30293. TODO: can this be used to shorten uses of cdlemk 30293? (Contributed by NM, 15-Oct-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoex.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
tendoex.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
tendoex.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
tendoex.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
tendoex.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
tendoex  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N )  .<_  ( R `  F
) )  ->  E. u  e.  E  ( u `  F )  =  N )
Distinct variable groups:    u, E    u, F    u, K    u, N    u, R    u, T    u, W
Allowed substitution hints:    H( u)    .<_ ( u)

Proof of Theorem tendoex
StepHypRef Expression
1 simpl1l 1011 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K
) )  ->  K  e.  HL )
2 hlop 28682 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
31, 2syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K
) )  ->  K  e.  OP )
4 simpl1 963 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
5 simpl2r 1014 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K
) )  ->  N  e.  T )
6 eqid 2256 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
7 tendoex.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
8 tendoex.t . . . . . . . 8  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
9 tendoex.r . . . . . . . 8  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
106, 7, 8, 9trlcl 29483 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  N  e.  T
)  ->  ( R `  N )  e.  (
Base `  K )
)
114, 5, 10syl2anc 645 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K
) )  ->  ( R `  N )  e.  ( Base `  K
) )
12 simpr 449 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K
) )  ->  ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K )
)
13 simpl3 965 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K
) )  ->  ( R `  N )  .<_  ( R `  F
) )
14 tendoex.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  K )
15 eqid 2256 . . . . . . 7  |-  ( 0.
`  K )  =  ( 0. `  K
)
16 eqid 2256 . . . . . . 7  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
176, 14, 15, 16leat 28613 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  OP  /\  ( R `  N
)  e.  ( Base `  K )  /\  ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( R `  N )  .<_  ( R `
 F ) )  ->  ( ( R `
 N )  =  ( R `  F
)  \/  ( R `
 N )  =  ( 0. `  K
) ) )
183, 11, 12, 13, 17syl31anc 1190 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K
) )  ->  (
( R `  N
)  =  ( R `
 F )  \/  ( R `  N
)  =  ( 0.
`  K ) ) )
19 simp3 962 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N )  .<_  ( R `  F
) )  ->  ( R `  N )  .<_  ( R `  F
) )
20 breq2 3967 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R `  F )  =  ( 0. `  K )  ->  (
( R `  N
)  .<_  ( R `  F )  <->  ( R `  N )  .<_  ( 0.
`  K ) ) )
2119, 20syl5ibcom 213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N )  .<_  ( R `  F
) )  ->  (
( R `  F
)  =  ( 0.
`  K )  -> 
( R `  N
)  .<_  ( 0. `  K ) ) )
2221imp 420 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =  ( 0. `  K ) )  -> 
( R `  N
)  .<_  ( 0. `  K ) )
23 simpl1l 1011 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =  ( 0. `  K ) )  ->  K  e.  HL )
2423, 2syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =  ( 0. `  K ) )  ->  K  e.  OP )
25 simpl1 963 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =  ( 0. `  K ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
26 simpl2r 1014 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =  ( 0. `  K ) )  ->  N  e.  T )
2725, 26, 10syl2anc 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =  ( 0. `  K ) )  -> 
( R `  N
)  e.  ( Base `  K ) )
286, 14, 15ople0 28507 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( R `  N )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( R `  N
)  .<_  ( 0. `  K )  <->  ( R `  N )  =  ( 0. `  K ) ) )
2924, 27, 28syl2anc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =  ( 0. `  K ) )  -> 
( ( R `  N )  .<_  ( 0.
`  K )  <->  ( R `  N )  =  ( 0. `  K ) ) )
3022, 29mpbid 203 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =  ( 0. `  K ) )  -> 
( R `  N
)  =  ( 0.
`  K ) )
3130olcd 384 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =  ( 0. `  K ) )  -> 
( ( R `  N )  =  ( R `  F )  \/  ( R `  N )  =  ( 0. `  K ) ) )
32 simp1 960 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N )  .<_  ( R `  F
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
33 simp2l 986 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N )  .<_  ( R `  F
) )  ->  F  e.  T )
3415, 16, 7, 8, 9trlator0 29490 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K )  \/  ( R `  F
)  =  ( 0.
`  K ) ) )
3532, 33, 34syl2anc 645 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N )  .<_  ( R `  F
) )  ->  (
( R `  F
)  e.  ( Atoms `  K )  \/  ( R `  F )  =  ( 0. `  K ) ) )
3618, 31, 35mpjaodan 764 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N )  .<_  ( R `  F
) )  ->  (
( R `  N
)  =  ( R `
 F )  \/  ( R `  N
)  =  ( 0.
`  K ) ) )
37363expa 1156 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )
)  /\  ( R `  N )  .<_  ( R `
 F ) )  ->  ( ( R `
 N )  =  ( R `  F
)  \/  ( R `
 N )  =  ( 0. `  K
) ) )
38 eqcom 2258 . . . . 5  |-  ( ( R `  N )  =  ( R `  F )  <->  ( R `  F )  =  ( R `  N ) )
39 tendoex.e . . . . . . 7  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
407, 8, 9, 39cdlemk 30293 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  N ) )  ->  E. u  e.  E  ( u `  F
)  =  N )
41403expa 1156 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )
)  /\  ( R `  F )  =  ( R `  N ) )  ->  E. u  e.  E  ( u `  F )  =  N )
4238, 41sylan2b 463 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )
)  /\  ( R `  N )  =  ( R `  F ) )  ->  E. u  e.  E  ( u `  F )  =  N )
43 eqid 2256 . . . . . . 7  |-  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) )  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
446, 7, 8, 39, 43tendo0cl 30109 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  e.  E )
4544ad2antrr 709 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )
)  /\  ( R `  N )  =  ( 0. `  K ) )  ->  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) )  e.  E )
46 simplrl 739 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )
)  /\  ( R `  N )  =  ( 0. `  K ) )  ->  F  e.  T )
4743, 6tendo02 30106 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  T  ->  (
( h  e.  T  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) `  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
4846, 47syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )
)  /\  ( R `  N )  =  ( 0. `  K ) )  ->  ( (
h  e.  T  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) `
 F )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
496, 15, 7, 8, 9trlid0b 29497 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  N  e.  T
)  ->  ( N  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  <-> 
( R `  N
)  =  ( 0.
`  K ) ) )
5049adantrl 699 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T ) )  -> 
( N  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  <->  ( R `  N )  =  ( 0. `  K ) ) )
5150biimpar 473 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )
)  /\  ( R `  N )  =  ( 0. `  K ) )  ->  N  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
5248, 51eqtr4d 2291 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )
)  /\  ( R `  N )  =  ( 0. `  K ) )  ->  ( (
h  e.  T  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) `
 F )  =  N )
53 fveq1 5422 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( u `  F )  =  ( ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) `  F ) )
5453eqeq1d 2264 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( (
u `  F )  =  N  <->  ( ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) `  F )  =  N ) )
5554rcla4ev 2835 . . . . 5  |-  ( ( ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  e.  E  /\  ( ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) `  F )  =  N )  ->  E. u  e.  E  ( u `  F
)  =  N )
5645, 52, 55syl2anc 645 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )
)  /\  ( R `  N )  =  ( 0. `  K ) )  ->  E. u  e.  E  ( u `  F )  =  N )
5742, 56jaodan 763 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )
)  /\  ( ( R `  N )  =  ( R `  F )  \/  ( R `  N )  =  ( 0. `  K ) ) )  ->  E. u  e.  E  ( u `  F
)  =  N )
5837, 57syldan 458 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )
)  /\  ( R `  N )  .<_  ( R `
 F ) )  ->  E. u  e.  E  ( u `  F
)  =  N )
59583impa 1151 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N )  .<_  ( R `  F
) )  ->  E. u  e.  E  ( u `  F )  =  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   E.wrex 2517   class class class wbr 3963    e. cmpt 4017    _I cid 4241    |` cres 4628   ` cfv 4638   Basecbs 13075   lecple 13142   0.cp0 14070   OPcops 28492   Atomscatm 28583   HLchlt 28670   LHypclh 29303   LTrncltrn 29420   trLctrl 29477   TEndoctendo 30071
This theorem is referenced by:  dva1dim  30304  dihjatcclem4  30741
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3769  df-iun 3848  df-iin 3849  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-id 4246  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-iota 6190  df-undef 6229  df-riota 6237  df-map 6707  df-poset 14007  df-plt 14019  df-lub 14035  df-glb 14036  df-join 14037  df-meet 14038  df-p0 14072  df-p1 14073  df-lat 14079  df-clat 14141  df-oposet 28496  df-ol 28498  df-oml 28499  df-covers 28586  df-ats 28587  df-atl 28618  df-cvlat 28642  df-hlat 28671  df-llines 28817  df-lplanes 28818  df-lvols 28819  df-lines 28820  df-psubsp 28822  df-pmap 28823  df-padd 29115  df-lhyp 29307  df-laut 29308  df-ldil 29423  df-ltrn 29424  df-trl 29478  df-tendo 30074
  Copyright terms: Public domain W3C validator