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Theorem tendoex 31786
Description: Generalization of Lemma K of [Crawley] p. 118, cdlemk 31785. TODO: can this be used to shorten uses of cdlemk 31785? (Contributed by NM, 15-Oct-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoex.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
tendoex.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
tendoex.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
tendoex.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
tendoex.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
tendoex  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N )  .<_  ( R `  F
) )  ->  E. u  e.  E  ( u `  F )  =  N )
Distinct variable groups:    u, E    u, F    u, K    u, N    u, R    u, T    u, W
Allowed substitution hints:    H( u)    .<_ ( u)

Proof of Theorem tendoex
Dummy variable  h is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1l 1006 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K
) )  ->  K  e.  HL )
2 hlop 30174 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
31, 2syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K
) )  ->  K  e.  OP )
4 simpl1 958 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
5 simpl2r 1009 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K
) )  ->  N  e.  T )
6 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
7 tendoex.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
8 tendoex.t . . . . . . . 8  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
9 tendoex.r . . . . . . . 8  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
106, 7, 8, 9trlcl 30975 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  N  e.  T
)  ->  ( R `  N )  e.  (
Base `  K )
)
114, 5, 10syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K
) )  ->  ( R `  N )  e.  ( Base `  K
) )
12 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K
) )  ->  ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K )
)
13 simpl3 960 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K
) )  ->  ( R `  N )  .<_  ( R `  F
) )
14 tendoex.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  K )
15 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( 0.
`  K )  =  ( 0. `  K
)
16 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
176, 14, 15, 16leat 30105 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  OP  /\  ( R `  N
)  e.  ( Base `  K )  /\  ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( R `  N )  .<_  ( R `
 F ) )  ->  ( ( R `
 N )  =  ( R `  F
)  \/  ( R `
 N )  =  ( 0. `  K
) ) )
183, 11, 12, 13, 17syl31anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K
) )  ->  (
( R `  N
)  =  ( R `
 F )  \/  ( R `  N
)  =  ( 0.
`  K ) ) )
19 simp3 957 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N )  .<_  ( R `  F
) )  ->  ( R `  N )  .<_  ( R `  F
) )
20 breq2 4043 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R `  F )  =  ( 0. `  K )  ->  (
( R `  N
)  .<_  ( R `  F )  <->  ( R `  N )  .<_  ( 0.
`  K ) ) )
2119, 20syl5ibcom 211 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N )  .<_  ( R `  F
) )  ->  (
( R `  F
)  =  ( 0.
`  K )  -> 
( R `  N
)  .<_  ( 0. `  K ) ) )
2221imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =  ( 0. `  K ) )  -> 
( R `  N
)  .<_  ( 0. `  K ) )
23 simpl1l 1006 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =  ( 0. `  K ) )  ->  K  e.  HL )
2423, 2syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =  ( 0. `  K ) )  ->  K  e.  OP )
25 simpl1 958 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =  ( 0. `  K ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
26 simpl2r 1009 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =  ( 0. `  K ) )  ->  N  e.  T )
2725, 26, 10syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =  ( 0. `  K ) )  -> 
( R `  N
)  e.  ( Base `  K ) )
286, 14, 15ople0 29999 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( R `  N )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( R `  N
)  .<_  ( 0. `  K )  <->  ( R `  N )  =  ( 0. `  K ) ) )
2924, 27, 28syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =  ( 0. `  K ) )  -> 
( ( R `  N )  .<_  ( 0.
`  K )  <->  ( R `  N )  =  ( 0. `  K ) ) )
3022, 29mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =  ( 0. `  K ) )  -> 
( R `  N
)  =  ( 0.
`  K ) )
3130olcd 382 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =  ( 0. `  K ) )  -> 
( ( R `  N )  =  ( R `  F )  \/  ( R `  N )  =  ( 0. `  K ) ) )
32 simp1 955 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N )  .<_  ( R `  F
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
33 simp2l 981 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N )  .<_  ( R `  F
) )  ->  F  e.  T )
3415, 16, 7, 8, 9trlator0 30982 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K )  \/  ( R `  F
)  =  ( 0.
`  K ) ) )
3532, 33, 34syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N )  .<_  ( R `  F
) )  ->  (
( R `  F
)  e.  ( Atoms `  K )  \/  ( R `  F )  =  ( 0. `  K ) ) )
3618, 31, 35mpjaodan 761 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N )  .<_  ( R `  F
) )  ->  (
( R `  N
)  =  ( R `
 F )  \/  ( R `  N
)  =  ( 0.
`  K ) ) )
37363expa 1151 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )
)  /\  ( R `  N )  .<_  ( R `
 F ) )  ->  ( ( R `
 N )  =  ( R `  F
)  \/  ( R `
 N )  =  ( 0. `  K
) ) )
38 eqcom 2298 . . . . 5  |-  ( ( R `  N )  =  ( R `  F )  <->  ( R `  F )  =  ( R `  N ) )
39 tendoex.e . . . . . . 7  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
407, 8, 9, 39cdlemk 31785 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  N ) )  ->  E. u  e.  E  ( u `  F
)  =  N )
41403expa 1151 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )
)  /\  ( R `  F )  =  ( R `  N ) )  ->  E. u  e.  E  ( u `  F )  =  N )
4238, 41sylan2b 461 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )
)  /\  ( R `  N )  =  ( R `  F ) )  ->  E. u  e.  E  ( u `  F )  =  N )
43 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) )  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
446, 7, 8, 39, 43tendo0cl 31601 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  e.  E )
4544ad2antrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )
)  /\  ( R `  N )  =  ( 0. `  K ) )  ->  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) )  e.  E )
46 simplrl 736 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )
)  /\  ( R `  N )  =  ( 0. `  K ) )  ->  F  e.  T )
4743, 6tendo02 31598 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  T  ->  (
( h  e.  T  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) `  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
4846, 47syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )
)  /\  ( R `  N )  =  ( 0. `  K ) )  ->  ( (
h  e.  T  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) `
 F )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
496, 15, 7, 8, 9trlid0b 30989 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  N  e.  T
)  ->  ( N  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  <-> 
( R `  N
)  =  ( 0.
`  K ) ) )
5049adantrl 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T ) )  -> 
( N  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  <->  ( R `  N )  =  ( 0. `  K ) ) )
5150biimpar 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )
)  /\  ( R `  N )  =  ( 0. `  K ) )  ->  N  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
5248, 51eqtr4d 2331 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )
)  /\  ( R `  N )  =  ( 0. `  K ) )  ->  ( (
h  e.  T  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) `
 F )  =  N )
53 fveq1 5540 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( u `  F )  =  ( ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) `  F ) )
5453eqeq1d 2304 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( (
u `  F )  =  N  <->  ( ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) `  F )  =  N ) )
5554rspcev 2897 . . . . 5  |-  ( ( ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  e.  E  /\  ( ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) `  F )  =  N )  ->  E. u  e.  E  ( u `  F
)  =  N )
5645, 52, 55syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )
)  /\  ( R `  N )  =  ( 0. `  K ) )  ->  E. u  e.  E  ( u `  F )  =  N )
5742, 56jaodan 760 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )
)  /\  ( ( R `  N )  =  ( R `  F )  \/  ( R `  N )  =  ( 0. `  K ) ) )  ->  E. u  e.  E  ( u `  F
)  =  N )
5837, 57syldan 456 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )
)  /\  ( R `  N )  .<_  ( R `
 F ) )  ->  E. u  e.  E  ( u `  F
)  =  N )
59583impa 1146 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N )  .<_  ( R `  F
) )  ->  E. u  e.  E  ( u `  F )  =  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    _I cid 4320    |` cres 4707   ` cfv 5271   Basecbs 13164   lecple 13231   0.cp0 14159   OPcops 29984   Atomscatm 30075   HLchlt 30162   LHypclh 30795   LTrncltrn 30912   trLctrl 30969   TEndoctendo 31563
This theorem is referenced by:  dva1dim  31796  dihjatcclem4  32233
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-map 6790  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-p0 14161  df-p1 14162  df-lat 14168  df-clat 14230  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163  df-llines 30309  df-lplanes 30310  df-lvols 30311  df-lines 30312  df-psubsp 30314  df-pmap 30315  df-padd 30607  df-lhyp 30799  df-laut 30800  df-ldil 30915  df-ltrn 30916  df-trl 30970  df-tendo 31566
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