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Theorem tendopltp 31266
Description: Trace-preserving property of endomorphism sum operation  P, based on theorem trlco 31213. Part of remark in [Crawley] p. 118, 2nd line, "it is clear from the second part of G (our trlco 31213) that Delta is a subring of E." (In our development, we will bypass their E and go directly to their Delta, whose base set is our  ( TEndo `  K
) `  W.) (Contributed by NM, 9-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendopl.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
tendopl.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
tendopl.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
tendopl.p  |-  P  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) )
tendopltp.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
tendopltp.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
tendopltp  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  F  e.  T )  ->  ( R `  ( ( U P V ) `  F ) )  .<_  ( R `  F ) )
Distinct variable groups:    t, s, E    f, s, t, T   
f, W, s, t
Allowed substitution hints:    P( t, f, s)    R( t, f, s)    U( t, f, s)    E( f)    F( t, f, s)    H( t, f, s)    K( t, f, s)    .<_ ( t, f, s)    V( t, f, s)

Proof of Theorem tendopltp
StepHypRef Expression
1 eqid 2408 . 2  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
2 tendopltp.l . 2  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 simp1l 981 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  F  e.  T )  ->  K  e.  HL )
4 hllat 29850 . . 3  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
53, 4syl 16 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  F  e.  T )  ->  K  e.  Lat )
6 simp1 957 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  F  e.  T )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
7 tendopl.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
8 tendopl.t . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
9 tendopl.e . . . 4  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
10 tendopl.p . . . 4  |-  P  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) )
117, 8, 9, 10tendoplcl2 31264 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  F  e.  T )  ->  (
( U P V ) `  F )  e.  T )
12 tendopltp.r . . . 4  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
131, 7, 8, 12trlcl 30650 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( U P V ) `  F )  e.  T
)  ->  ( R `  ( ( U P V ) `  F
) )  e.  (
Base `  K )
)
146, 11, 13syl2anc 643 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  F  e.  T )  ->  ( R `  ( ( U P V ) `  F ) )  e.  ( Base `  K
) )
157, 8, 9tendocl 31253 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( U `  F )  e.  T
)
16153adant2r 1179 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  F  e.  T )  ->  ( U `  F )  e.  T )
171, 7, 8, 12trlcl 30650 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U `  F )  e.  T
)  ->  ( R `  ( U `  F
) )  e.  (
Base `  K )
)
186, 16, 17syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  F  e.  T )  ->  ( R `  ( U `  F ) )  e.  ( Base `  K
) )
197, 8, 9tendocl 31253 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  V  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( V `  F )  e.  T
)
20193adant2l 1178 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  F  e.  T )  ->  ( V `  F )  e.  T )
211, 7, 8, 12trlcl 30650 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( V `  F )  e.  T
)  ->  ( R `  ( V `  F
) )  e.  (
Base `  K )
)
226, 20, 21syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  F  e.  T )  ->  ( R `  ( V `  F ) )  e.  ( Base `  K
) )
23 eqid 2408 . . . 4  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
241, 23latjcl 14438 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( R `  ( U `
 F ) )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( R `  ( V `  F
) )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( ( R `  ( U `  F ) ) (
join `  K )
( R `  ( V `  F )
) )  e.  (
Base `  K )
)
255, 18, 22, 24syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  F  e.  T )  ->  (
( R `  ( U `  F )
) ( join `  K
) ( R `  ( V `  F ) ) )  e.  (
Base `  K )
)
26 simp3 959 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  F  e.  T )  ->  F  e.  T )
271, 7, 8, 12trlcl 30650 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( R `  F )  e.  (
Base `  K )
)
286, 26, 27syl2anc 643 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  F  e.  T )  ->  ( R `  F )  e.  ( Base `  K
) )
29 simp2l 983 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  F  e.  T )  ->  U  e.  E )
30 simp2r 984 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  F  e.  T )  ->  V  e.  E )
3110, 8tendopl2 31263 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  E  /\  V  e.  E  /\  F  e.  T )  ->  ( ( U P V ) `  F
)  =  ( ( U `  F )  o.  ( V `  F ) ) )
3229, 30, 26, 31syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  F  e.  T )  ->  (
( U P V ) `  F )  =  ( ( U `
 F )  o.  ( V `  F
) ) )
3332fveq2d 5695 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  F  e.  T )  ->  ( R `  ( ( U P V ) `  F ) )  =  ( R `  (
( U `  F
)  o.  ( V `
 F ) ) ) )
342, 23, 7, 8, 12trlco 31213 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U `  F )  e.  T  /\  ( V `  F
)  e.  T )  ->  ( R `  ( ( U `  F )  o.  ( V `  F )
) )  .<_  ( ( R `  ( U `
 F ) ) ( join `  K
) ( R `  ( V `  F ) ) ) )
356, 16, 20, 34syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  F  e.  T )  ->  ( R `  ( ( U `  F )  o.  ( V `  F
) ) )  .<_  ( ( R `  ( U `  F ) ) ( join `  K
) ( R `  ( V `  F ) ) ) )
3633, 35eqbrtrd 4196 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  F  e.  T )  ->  ( R `  ( ( U P V ) `  F ) )  .<_  ( ( R `  ( U `  F ) ) ( join `  K
) ( R `  ( V `  F ) ) ) )
372, 7, 8, 12, 9tendotp 31247 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( R `  ( U `  F
) )  .<_  ( R `
 F ) )
38373adant2r 1179 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  F  e.  T )  ->  ( R `  ( U `  F ) )  .<_  ( R `  F ) )
392, 7, 8, 12, 9tendotp 31247 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  V  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( R `  ( V `  F
) )  .<_  ( R `
 F ) )
40393adant2l 1178 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  F  e.  T )  ->  ( R `  ( V `  F ) )  .<_  ( R `  F ) )
411, 2, 23latjle12 14450 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( R `  ( U `  F ) )  e.  ( Base `  K )  /\  ( R `  ( V `  F ) )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( R `  F )  e.  (
Base `  K )
) )  ->  (
( ( R `  ( U `  F ) )  .<_  ( R `  F )  /\  ( R `  ( V `  F ) )  .<_  ( R `  F ) )  <->  ( ( R `
 ( U `  F ) ) (
join `  K )
( R `  ( V `  F )
) )  .<_  ( R `
 F ) ) )
425, 18, 22, 28, 41syl13anc 1186 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  F  e.  T )  ->  (
( ( R `  ( U `  F ) )  .<_  ( R `  F )  /\  ( R `  ( V `  F ) )  .<_  ( R `  F ) )  <->  ( ( R `
 ( U `  F ) ) (
join `  K )
( R `  ( V `  F )
) )  .<_  ( R `
 F ) ) )
4338, 40, 42mpbi2and 888 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  F  e.  T )  ->  (
( R `  ( U `  F )
) ( join `  K
) ( R `  ( V `  F ) ) )  .<_  ( R `
 F ) )
441, 2, 5, 14, 25, 28, 36, 43lattrd 14446 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  F  e.  T )  ->  ( R `  ( ( U P V ) `  F ) )  .<_  ( R `  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   class class class wbr 4176    e. cmpt 4230    o. ccom 4845   ` cfv 5417  (class class class)co 6044    e. cmpt2 6046   Basecbs 13428   lecple 13495   joincjn 14360   Latclat 14433   HLchlt 29837   LHypclh 30470   LTrncltrn 30587   trLctrl 30644   TEndoctendo 31238
This theorem is referenced by:  tendoplcl  31267
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-iin 4060  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-id 4462  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-undef 6506  df-riota 6512  df-map 6983  df-poset 14362  df-plt 14374  df-lub 14390  df-glb 14391  df-join 14392  df-meet 14393  df-p0 14427  df-p1 14428  df-lat 14434  df-clat 14496  df-oposet 29663  df-ol 29665  df-oml 29666  df-covers 29753  df-ats 29754  df-atl 29785  df-cvlat 29809  df-hlat 29838  df-llines 29984  df-lplanes 29985  df-lvols 29986  df-lines 29987  df-psubsp 29989  df-pmap 29990  df-padd 30282  df-lhyp 30474  df-laut 30475  df-ldil 30590  df-ltrn 30591  df-trl 30645  df-tendo 31241
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