MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tfinds2 Unicode version

Theorem tfinds2 4612
Description: Transfinite Induction (inference schema), using implicit substitutions. The first three hypotheses establish the substitutions we need. The last three are the basis and the induction hypotheses (for successor and limit ordinals respectively). Theorem Schema 4 of [Suppes] p. 197. The wff  ta is an auxiliary antecedent to help shorten proofs using this theorem. (Contributed by NM, 4-Sep-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
tfinds2.1  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ph  <->  ps ) )
tfinds2.2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
tfinds2.3  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ph  <->  th ) )
tfinds2.4  |-  ( ta 
->  ps )
tfinds2.5  |-  ( y  e.  On  ->  ( ta  ->  ( ch  ->  th ) ) )
tfinds2.6  |-  ( Lim  x  ->  ( ta  ->  ( A. y  e.  x  ch  ->  ph )
) )
Assertion
Ref Expression
tfinds2  |-  ( x  e.  On  ->  ( ta  ->  ph ) )
Distinct variable groups:    x, y, ta    ps, x    ch, x    th, x    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)    ch( y)    th( y)

Proof of Theorem tfinds2
StepHypRef Expression
1 tfinds2.4 . . 3  |-  ( ta 
->  ps )
2 0ex 4110 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
3 tfinds2.1 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ph  <->  ps ) )
43imbi2d 309 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( ta  ->  ph )  <->  ( ta  ->  ps ) ) )
52, 4sbcie 2986 . . 3  |-  ( [. (/)  /  x ]. ( ta 
->  ph )  <->  ( ta  ->  ps ) )
61, 5mpbir 202 . 2  |-  [. (/)  /  x ]. ( ta  ->  ph )
7 vex 2760 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
8 tfinds2.5 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  On  ->  ( ta  ->  ( ch  ->  th ) ) )
98a2d 25 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  On  ->  (
( ta  ->  ch )  ->  ( ta  ->  th ) ) )
109sbcth 2966 . . . . . 6  |-  ( x  e.  _V  ->  [. x  /  y ]. (
y  e.  On  ->  ( ( ta  ->  ch )  ->  ( ta  ->  th ) ) ) )
117, 10ax-mp 10 . . . . 5  |-  [. x  /  y ]. (
y  e.  On  ->  ( ( ta  ->  ch )  ->  ( ta  ->  th ) ) )
12 sbcimg 2993 . . . . . 6  |-  ( x  e.  _V  ->  ( [. x  /  y ]. ( y  e.  On  ->  ( ( ta  ->  ch )  ->  ( ta  ->  th ) ) )  <-> 
( [. x  /  y ]. y  e.  On  ->  [. x  /  y ]. ( ( ta  ->  ch )  ->  ( ta  ->  th ) ) ) ) )
137, 12ax-mp 10 . . . . 5  |-  ( [. x  /  y ]. (
y  e.  On  ->  ( ( ta  ->  ch )  ->  ( ta  ->  th ) ) )  <->  ( [. x  /  y ]. y  e.  On  ->  [. x  / 
y ]. ( ( ta 
->  ch )  ->  ( ta  ->  th ) ) ) )
1411, 13mpbi 201 . . . 4  |-  ( [. x  /  y ]. y  e.  On  ->  [. x  / 
y ]. ( ( ta 
->  ch )  ->  ( ta  ->  th ) ) )
15 sbcel1gv 3011 . . . . 5  |-  ( x  e.  _V  ->  ( [. x  /  y ]. y  e.  On  <->  x  e.  On ) )
167, 15ax-mp 10 . . . 4  |-  ( [. x  /  y ]. y  e.  On  <->  x  e.  On )
17 sbcimg 2993 . . . . 5  |-  ( x  e.  _V  ->  ( [. x  /  y ]. ( ( ta  ->  ch )  ->  ( ta  ->  th ) )  <->  ( [. x  /  y ]. ( ta  ->  ch )  ->  [. x  /  y ]. ( ta  ->  th )
) ) )
187, 17ax-mp 10 . . . 4  |-  ( [. x  /  y ]. (
( ta  ->  ch )  ->  ( ta  ->  th ) )  <->  ( [. x  /  y ]. ( ta  ->  ch )  ->  [. x  /  y ]. ( ta  ->  th )
) )
1914, 16, 183imtr3i 258 . . 3  |-  ( x  e.  On  ->  ( [. x  /  y ]. ( ta  ->  ch )  ->  [. x  /  y ]. ( ta  ->  th )
) )
20 tfinds2.2 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
2120bicomd 194 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( ch 
<-> 
ph ) )
2221equcoms 1825 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  ( ch 
<-> 
ph ) )
2322imbi2d 309 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  (
( ta  ->  ch ) 
<->  ( ta  ->  ph )
) )
247, 23sbcie 2986 . . 3  |-  ( [. x  /  y ]. ( ta  ->  ch )  <->  ( ta  ->  ph ) )
25 vex 2760 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
2625sucex 4560 . . . . . 6  |-  suc  y  e.  _V
27 tfinds2.3 . . . . . . 7  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ph  <->  th ) )
2827imbi2d 309 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( ta  ->  ph )  <->  ( ta  ->  th ) ) )
2926, 28sbcie 2986 . . . . 5  |-  ( [. suc  y  /  x ]. ( ta  ->  ph )  <->  ( ta  ->  th )
)
3029sbcbii 3007 . . . 4  |-  ( [. x  /  y ]. [. suc  y  /  x ]. ( ta  ->  ph )  <->  [. x  / 
y ]. ( ta  ->  th ) )
31 suceq 4415 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  suc  x  =  suc  y )
3231sbcco2 2975 . . . 4  |-  ( [. x  /  y ]. [. suc  y  /  x ]. ( ta  ->  ph )  <->  [. suc  x  /  x ]. ( ta 
->  ph ) )
3330, 32bitr3i 244 . . 3  |-  ( [. x  /  y ]. ( ta  ->  th )  <->  [. suc  x  /  x ]. ( ta 
->  ph ) )
3419, 24, 333imtr3g 262 . 2  |-  ( x  e.  On  ->  (
( ta  ->  ph )  ->  [. suc  x  /  x ]. ( ta  ->  ph ) ) )
35 sbsbc 2956 . . . 4  |-  ( [ y  /  x ] A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  <->  [. y  /  x ]. A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )
)
3623sbralie 2746 . . . 4  |-  ( [ y  /  x ] A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  <->  A. x  e.  y  ( ta  ->  ph ) )
3735, 36bitr3i 244 . . 3  |-  ( [. y  /  x ]. A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  <->  A. x  e.  y  ( ta  ->  ph ) )
38 r19.21v 2603 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  <->  ( ta  ->  A. y  e.  x  ch ) )
39 tfinds2.6 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim  x  ->  ( ta  ->  ( A. y  e.  x  ch  ->  ph )
) )
4039a2d 25 . . . . . . . 8  |-  ( Lim  x  ->  ( ( ta  ->  A. y  e.  x  ch )  ->  ( ta 
->  ph ) ) )
4138, 40syl5bi 210 . . . . . . 7  |-  ( Lim  x  ->  ( A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  -> 
( ta  ->  ph )
) )
4241sbcth 2966 . . . . . 6  |-  ( y  e.  _V  ->  [. y  /  x ]. ( Lim  x  ->  ( A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  -> 
( ta  ->  ph )
) ) )
4325, 42ax-mp 10 . . . . 5  |-  [. y  /  x ]. ( Lim  x  ->  ( A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  -> 
( ta  ->  ph )
) )
44 sbcimg 2993 . . . . . 6  |-  ( y  e.  _V  ->  ( [. y  /  x ]. ( Lim  x  -> 
( A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  ->  ( ta  ->  ph ) ) )  <-> 
( [. y  /  x ]. Lim  x  ->  [. y  /  x ]. ( A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  -> 
( ta  ->  ph )
) ) ) )
4525, 44ax-mp 10 . . . . 5  |-  ( [. y  /  x ]. ( Lim  x  ->  ( A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  -> 
( ta  ->  ph )
) )  <->  ( [. y  /  x ]. Lim  x  ->  [. y  /  x ]. ( A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  ->  ( ta  ->  ph ) ) ) )
4643, 45mpbi 201 . . . 4  |-  ( [. y  /  x ]. Lim  x  ->  [. y  /  x ]. ( A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  ->  ( ta  ->  ph ) ) )
47 limeq 4362 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( Lim  x  <->  Lim  y ) )
4825, 47sbcie 2986 . . . 4  |-  ( [. y  /  x ]. Lim  x 
<->  Lim  y )
49 sbcimg 2993 . . . . 5  |-  ( y  e.  _V  ->  ( [. y  /  x ]. ( A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  ->  ( ta  ->  ph ) )  <->  ( [. y  /  x ]. A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  ->  [. y  /  x ]. ( ta  ->  ph )
) ) )
5025, 49ax-mp 10 . . . 4  |-  ( [. y  /  x ]. ( A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  ->  ( ta  ->  ph )
)  <->  ( [. y  /  x ]. A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  ->  [. y  /  x ]. ( ta 
->  ph ) ) )
5146, 48, 503imtr3i 258 . . 3  |-  ( Lim  y  ->  ( [. y  /  x ]. A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  ->  [. y  /  x ]. ( ta  ->  ph )
) )
5237, 51syl5bir 211 . 2  |-  ( Lim  y  ->  ( A. x  e.  y  ( ta  ->  ph )  ->  [. y  /  x ]. ( ta 
->  ph ) ) )
536, 34, 52tfindes 4611 1  |-  ( x  e.  On  ->  ( ta  ->  ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    = wceq 1619    e. wcel 1621   [wsb 1883   A.wral 2516   _Vcvv 2757   [.wsbc 2952   (/)c0 3416   Oncon0 4350   Lim wlim 4351   suc csuc 4352
This theorem is referenced by:  abianfplem  6424  inar1  8351  grur1a  8395
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pr 4172  ax-un 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2521  df-rex 2522  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-br 3984  df-opab 4038  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356
  Copyright terms: Public domain W3C validator