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Theorem tfinds2 4591
Description: Transfinite Induction (inference schema), using implicit substitutions. The first three hypotheses establish the substitutions we need. The last three are the basis and the induction hypotheses (for successor and limit ordinals respectively). Theorem Schema 4 of [Suppes] p. 197. The wff  ta is an auxiliary antecedent to help shorten proofs using this theorem. (Contributed by NM, 4-Sep-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
tfinds2.1  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ph  <->  ps ) )
tfinds2.2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
tfinds2.3  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ph  <->  th ) )
tfinds2.4  |-  ( ta 
->  ps )
tfinds2.5  |-  ( y  e.  On  ->  ( ta  ->  ( ch  ->  th ) ) )
tfinds2.6  |-  ( Lim  x  ->  ( ta  ->  ( A. y  e.  x  ch  ->  ph )
) )
Assertion
Ref Expression
tfinds2  |-  ( x  e.  On  ->  ( ta  ->  ph ) )
Distinct variable groups:    x, y, ta    ps, x    ch, x    th, x    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)    ch( y)    th( y)

Proof of Theorem tfinds2
StepHypRef Expression
1 tfinds2.4 . . 3  |-  ( ta 
->  ps )
2 0ex 4090 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
3 tfinds2.1 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ph  <->  ps ) )
43imbi2d 309 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( ta  ->  ph )  <->  ( ta  ->  ps ) ) )
52, 4sbcie 2969 . . 3  |-  ( [. (/)  /  x ]. ( ta 
->  ph )  <->  ( ta  ->  ps ) )
61, 5mpbir 202 . 2  |-  [. (/)  /  x ]. ( ta  ->  ph )
7 vex 2743 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
8 tfinds2.5 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  On  ->  ( ta  ->  ( ch  ->  th ) ) )
98a2d 25 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  On  ->  (
( ta  ->  ch )  ->  ( ta  ->  th ) ) )
109sbcth 2949 . . . . . 6  |-  ( x  e.  _V  ->  [. x  /  y ]. (
y  e.  On  ->  ( ( ta  ->  ch )  ->  ( ta  ->  th ) ) ) )
117, 10ax-mp 10 . . . . 5  |-  [. x  /  y ]. (
y  e.  On  ->  ( ( ta  ->  ch )  ->  ( ta  ->  th ) ) )
12 sbcimg 2976 . . . . . 6  |-  ( x  e.  _V  ->  ( [. x  /  y ]. ( y  e.  On  ->  ( ( ta  ->  ch )  ->  ( ta  ->  th ) ) )  <-> 
( [. x  /  y ]. y  e.  On  ->  [. x  /  y ]. ( ( ta  ->  ch )  ->  ( ta  ->  th ) ) ) ) )
137, 12ax-mp 10 . . . . 5  |-  ( [. x  /  y ]. (
y  e.  On  ->  ( ( ta  ->  ch )  ->  ( ta  ->  th ) ) )  <->  ( [. x  /  y ]. y  e.  On  ->  [. x  / 
y ]. ( ( ta 
->  ch )  ->  ( ta  ->  th ) ) ) )
1411, 13mpbi 201 . . . 4  |-  ( [. x  /  y ]. y  e.  On  ->  [. x  / 
y ]. ( ( ta 
->  ch )  ->  ( ta  ->  th ) ) )
15 sbcel1gv 2994 . . . . 5  |-  ( x  e.  _V  ->  ( [. x  /  y ]. y  e.  On  <->  x  e.  On ) )
167, 15ax-mp 10 . . . 4  |-  ( [. x  /  y ]. y  e.  On  <->  x  e.  On )
17 sbcimg 2976 . . . . 5  |-  ( x  e.  _V  ->  ( [. x  /  y ]. ( ( ta  ->  ch )  ->  ( ta  ->  th ) )  <->  ( [. x  /  y ]. ( ta  ->  ch )  ->  [. x  /  y ]. ( ta  ->  th )
) ) )
187, 17ax-mp 10 . . . 4  |-  ( [. x  /  y ]. (
( ta  ->  ch )  ->  ( ta  ->  th ) )  <->  ( [. x  /  y ]. ( ta  ->  ch )  ->  [. x  /  y ]. ( ta  ->  th )
) )
1914, 16, 183imtr3i 258 . . 3  |-  ( x  e.  On  ->  ( [. x  /  y ]. ( ta  ->  ch )  ->  [. x  /  y ]. ( ta  ->  th )
) )
20 tfinds2.2 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
2120bicomd 194 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( ch 
<-> 
ph ) )
2221equcoms 1825 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  ( ch 
<-> 
ph ) )
2322imbi2d 309 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  (
( ta  ->  ch ) 
<->  ( ta  ->  ph )
) )
247, 23sbcie 2969 . . 3  |-  ( [. x  /  y ]. ( ta  ->  ch )  <->  ( ta  ->  ph ) )
25 vex 2743 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
2625sucex 4539 . . . . . 6  |-  suc  y  e.  _V
27 tfinds2.3 . . . . . . 7  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ph  <->  th ) )
2827imbi2d 309 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( ta  ->  ph )  <->  ( ta  ->  th ) ) )
2926, 28sbcie 2969 . . . . 5  |-  ( [. suc  y  /  x ]. ( ta  ->  ph )  <->  ( ta  ->  th )
)
3029sbcbii 2990 . . . 4  |-  ( [. x  /  y ]. [. suc  y  /  x ]. ( ta  ->  ph )  <->  [. x  / 
y ]. ( ta  ->  th ) )
31 suceq 4394 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  suc  x  =  suc  y )
3231sbcco2 2958 . . . 4  |-  ( [. x  /  y ]. [. suc  y  /  x ]. ( ta  ->  ph )  <->  [. suc  x  /  x ]. ( ta 
->  ph ) )
3330, 32bitr3i 244 . . 3  |-  ( [. x  /  y ]. ( ta  ->  th )  <->  [. suc  x  /  x ]. ( ta 
->  ph ) )
3419, 24, 333imtr3g 262 . 2  |-  ( x  e.  On  ->  (
( ta  ->  ph )  ->  [. suc  x  /  x ]. ( ta  ->  ph ) ) )
35 sbsbc 2939 . . . 4  |-  ( [ y  /  x ] A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  <->  [. y  /  x ]. A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )
)
3623sbralie 2729 . . . 4  |-  ( [ y  /  x ] A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  <->  A. x  e.  y  ( ta  ->  ph ) )
3735, 36bitr3i 244 . . 3  |-  ( [. y  /  x ]. A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  <->  A. x  e.  y  ( ta  ->  ph ) )
38 r19.21v 2601 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  <->  ( ta  ->  A. y  e.  x  ch ) )
39 tfinds2.6 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim  x  ->  ( ta  ->  ( A. y  e.  x  ch  ->  ph )
) )
4039a2d 25 . . . . . . . 8  |-  ( Lim  x  ->  ( ( ta  ->  A. y  e.  x  ch )  ->  ( ta 
->  ph ) ) )
4138, 40syl5bi 210 . . . . . . 7  |-  ( Lim  x  ->  ( A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  -> 
( ta  ->  ph )
) )
4241sbcth 2949 . . . . . 6  |-  ( y  e.  _V  ->  [. y  /  x ]. ( Lim  x  ->  ( A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  -> 
( ta  ->  ph )
) ) )
4325, 42ax-mp 10 . . . . 5  |-  [. y  /  x ]. ( Lim  x  ->  ( A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  -> 
( ta  ->  ph )
) )
44 sbcimg 2976 . . . . . 6  |-  ( y  e.  _V  ->  ( [. y  /  x ]. ( Lim  x  -> 
( A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  ->  ( ta  ->  ph ) ) )  <-> 
( [. y  /  x ]. Lim  x  ->  [. y  /  x ]. ( A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  -> 
( ta  ->  ph )
) ) ) )
4525, 44ax-mp 10 . . . . 5  |-  ( [. y  /  x ]. ( Lim  x  ->  ( A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  -> 
( ta  ->  ph )
) )  <->  ( [. y  /  x ]. Lim  x  ->  [. y  /  x ]. ( A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  ->  ( ta  ->  ph ) ) ) )
4643, 45mpbi 201 . . . 4  |-  ( [. y  /  x ]. Lim  x  ->  [. y  /  x ]. ( A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  ->  ( ta  ->  ph ) ) )
47 limeq 4341 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( Lim  x  <->  Lim  y ) )
4825, 47sbcie 2969 . . . 4  |-  ( [. y  /  x ]. Lim  x 
<->  Lim  y )
49 sbcimg 2976 . . . . 5  |-  ( y  e.  _V  ->  ( [. y  /  x ]. ( A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  ->  ( ta  ->  ph ) )  <->  ( [. y  /  x ]. A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  ->  [. y  /  x ]. ( ta  ->  ph )
) ) )
5025, 49ax-mp 10 . . . 4  |-  ( [. y  /  x ]. ( A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  ->  ( ta  ->  ph )
)  <->  ( [. y  /  x ]. A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  ->  [. y  /  x ]. ( ta 
->  ph ) ) )
5146, 48, 503imtr3i 258 . . 3  |-  ( Lim  y  ->  ( [. y  /  x ]. A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  ->  [. y  /  x ]. ( ta  ->  ph )
) )
5237, 51syl5bir 211 . 2  |-  ( Lim  y  ->  ( A. x  e.  y  ( ta  ->  ph )  ->  [. y  /  x ]. ( ta 
->  ph ) ) )
536, 34, 52tfindes 4590 1  |-  ( x  e.  On  ->  ( ta  ->  ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    = wceq 1619    e. wcel 1621   [wsb 1883   A.wral 2516   _Vcvv 2740   [.wsbc 2935   (/)c0 3397   Oncon0 4329   Lim wlim 4330   suc csuc 4331
This theorem is referenced by:  abianfplem  6403  inar1  8330  grur1a  8374
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pr 4152  ax-un 4449
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-br 3964  df-opab 4018  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335
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