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Theorem tfinds2 4670
Description: Transfinite Induction (inference schema), using implicit substitutions. The first three hypotheses establish the substitutions we need. The last three are the basis and the induction hypotheses (for successor and limit ordinals respectively). Theorem Schema 4 of [Suppes] p. 197. The wff  ta is an auxiliary antecedent to help shorten proofs using this theorem. (Contributed by NM, 4-Sep-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
tfinds2.1  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ph  <->  ps ) )
tfinds2.2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
tfinds2.3  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ph  <->  th ) )
tfinds2.4  |-  ( ta 
->  ps )
tfinds2.5  |-  ( y  e.  On  ->  ( ta  ->  ( ch  ->  th ) ) )
tfinds2.6  |-  ( Lim  x  ->  ( ta  ->  ( A. y  e.  x  ch  ->  ph )
) )
Assertion
Ref Expression
tfinds2  |-  ( x  e.  On  ->  ( ta  ->  ph ) )
Distinct variable groups:    x, y, ta    ps, x    ch, x    th, x    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)    ch( y)    th( y)

Proof of Theorem tfinds2
StepHypRef Expression
1 tfinds2.4 . . 3  |-  ( ta 
->  ps )
2 0ex 4166 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
3 tfinds2.1 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ph  <->  ps ) )
43imbi2d 307 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( ta  ->  ph )  <->  ( ta  ->  ps ) ) )
52, 4sbcie 3038 . . 3  |-  ( [. (/)  /  x ]. ( ta 
->  ph )  <->  ( ta  ->  ps ) )
61, 5mpbir 200 . 2  |-  [. (/)  /  x ]. ( ta  ->  ph )
7 vex 2804 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
8 tfinds2.5 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  On  ->  ( ta  ->  ( ch  ->  th ) ) )
98a2d 23 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  On  ->  (
( ta  ->  ch )  ->  ( ta  ->  th ) ) )
109sbcth 3018 . . . . . 6  |-  ( x  e.  _V  ->  [. x  /  y ]. (
y  e.  On  ->  ( ( ta  ->  ch )  ->  ( ta  ->  th ) ) ) )
117, 10ax-mp 8 . . . . 5  |-  [. x  /  y ]. (
y  e.  On  ->  ( ( ta  ->  ch )  ->  ( ta  ->  th ) ) )
12 sbcimg 3045 . . . . . 6  |-  ( x  e.  _V  ->  ( [. x  /  y ]. ( y  e.  On  ->  ( ( ta  ->  ch )  ->  ( ta  ->  th ) ) )  <-> 
( [. x  /  y ]. y  e.  On  ->  [. x  /  y ]. ( ( ta  ->  ch )  ->  ( ta  ->  th ) ) ) ) )
137, 12ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( [. x  /  y ]. (
y  e.  On  ->  ( ( ta  ->  ch )  ->  ( ta  ->  th ) ) )  <->  ( [. x  /  y ]. y  e.  On  ->  [. x  / 
y ]. ( ( ta 
->  ch )  ->  ( ta  ->  th ) ) ) )
1411, 13mpbi 199 . . . 4  |-  ( [. x  /  y ]. y  e.  On  ->  [. x  / 
y ]. ( ( ta 
->  ch )  ->  ( ta  ->  th ) ) )
15 sbcel1gv 3063 . . . . 5  |-  ( x  e.  _V  ->  ( [. x  /  y ]. y  e.  On  <->  x  e.  On ) )
167, 15ax-mp 8 . . . 4  |-  ( [. x  /  y ]. y  e.  On  <->  x  e.  On )
17 sbcimg 3045 . . . . 5  |-  ( x  e.  _V  ->  ( [. x  /  y ]. ( ( ta  ->  ch )  ->  ( ta  ->  th ) )  <->  ( [. x  /  y ]. ( ta  ->  ch )  ->  [. x  /  y ]. ( ta  ->  th )
) ) )
187, 17ax-mp 8 . . . 4  |-  ( [. x  /  y ]. (
( ta  ->  ch )  ->  ( ta  ->  th ) )  <->  ( [. x  /  y ]. ( ta  ->  ch )  ->  [. x  /  y ]. ( ta  ->  th )
) )
1914, 16, 183imtr3i 256 . . 3  |-  ( x  e.  On  ->  ( [. x  /  y ]. ( ta  ->  ch )  ->  [. x  /  y ]. ( ta  ->  th )
) )
20 tfinds2.2 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
2120bicomd 192 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( ch 
<-> 
ph ) )
2221equcoms 1666 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  ( ch 
<-> 
ph ) )
2322imbi2d 307 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  (
( ta  ->  ch ) 
<->  ( ta  ->  ph )
) )
247, 23sbcie 3038 . . 3  |-  ( [. x  /  y ]. ( ta  ->  ch )  <->  ( ta  ->  ph ) )
25 vex 2804 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
2625sucex 4618 . . . . . 6  |-  suc  y  e.  _V
27 tfinds2.3 . . . . . . 7  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ph  <->  th ) )
2827imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( ta  ->  ph )  <->  ( ta  ->  th ) ) )
2926, 28sbcie 3038 . . . . 5  |-  ( [. suc  y  /  x ]. ( ta  ->  ph )  <->  ( ta  ->  th )
)
3029sbcbii 3059 . . . 4  |-  ( [. x  /  y ]. [. suc  y  /  x ]. ( ta  ->  ph )  <->  [. x  / 
y ]. ( ta  ->  th ) )
31 suceq 4473 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  suc  x  =  suc  y )
3231sbcco2 3027 . . . 4  |-  ( [. x  /  y ]. [. suc  y  /  x ]. ( ta  ->  ph )  <->  [. suc  x  /  x ]. ( ta 
->  ph ) )
3330, 32bitr3i 242 . . 3  |-  ( [. x  /  y ]. ( ta  ->  th )  <->  [. suc  x  /  x ]. ( ta 
->  ph ) )
3419, 24, 333imtr3g 260 . 2  |-  ( x  e.  On  ->  (
( ta  ->  ph )  ->  [. suc  x  /  x ]. ( ta  ->  ph ) ) )
35 sbsbc 3008 . . . 4  |-  ( [ y  /  x ] A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  <->  [. y  /  x ]. A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )
)
3623sbralie 2790 . . . 4  |-  ( [ y  /  x ] A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  <->  A. x  e.  y  ( ta  ->  ph ) )
3735, 36bitr3i 242 . . 3  |-  ( [. y  /  x ]. A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  <->  A. x  e.  y  ( ta  ->  ph ) )
38 r19.21v 2643 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  <->  ( ta  ->  A. y  e.  x  ch ) )
39 tfinds2.6 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim  x  ->  ( ta  ->  ( A. y  e.  x  ch  ->  ph )
) )
4039a2d 23 . . . . . . . 8  |-  ( Lim  x  ->  ( ( ta  ->  A. y  e.  x  ch )  ->  ( ta 
->  ph ) ) )
4138, 40syl5bi 208 . . . . . . 7  |-  ( Lim  x  ->  ( A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  -> 
( ta  ->  ph )
) )
4241sbcth 3018 . . . . . 6  |-  ( y  e.  _V  ->  [. y  /  x ]. ( Lim  x  ->  ( A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  -> 
( ta  ->  ph )
) ) )
4325, 42ax-mp 8 . . . . 5  |-  [. y  /  x ]. ( Lim  x  ->  ( A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  -> 
( ta  ->  ph )
) )
44 sbcimg 3045 . . . . . 6  |-  ( y  e.  _V  ->  ( [. y  /  x ]. ( Lim  x  -> 
( A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  ->  ( ta  ->  ph ) ) )  <-> 
( [. y  /  x ]. Lim  x  ->  [. y  /  x ]. ( A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  -> 
( ta  ->  ph )
) ) ) )
4525, 44ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( [. y  /  x ]. ( Lim  x  ->  ( A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  -> 
( ta  ->  ph )
) )  <->  ( [. y  /  x ]. Lim  x  ->  [. y  /  x ]. ( A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  ->  ( ta  ->  ph ) ) ) )
4643, 45mpbi 199 . . . 4  |-  ( [. y  /  x ]. Lim  x  ->  [. y  /  x ]. ( A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  ->  ( ta  ->  ph ) ) )
47 limeq 4420 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( Lim  x  <->  Lim  y ) )
4825, 47sbcie 3038 . . . 4  |-  ( [. y  /  x ]. Lim  x 
<->  Lim  y )
49 sbcimg 3045 . . . . 5  |-  ( y  e.  _V  ->  ( [. y  /  x ]. ( A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  ->  ( ta  ->  ph ) )  <->  ( [. y  /  x ]. A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  ->  [. y  /  x ]. ( ta  ->  ph )
) ) )
5025, 49ax-mp 8 . . . 4  |-  ( [. y  /  x ]. ( A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  ->  ( ta  ->  ph )
)  <->  ( [. y  /  x ]. A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  ->  [. y  /  x ]. ( ta 
->  ph ) ) )
5146, 48, 503imtr3i 256 . . 3  |-  ( Lim  y  ->  ( [. y  /  x ]. A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  ->  [. y  /  x ]. ( ta  ->  ph )
) )
5237, 51syl5bir 209 . 2  |-  ( Lim  y  ->  ( A. x  e.  y  ( ta  ->  ph )  ->  [. y  /  x ]. ( ta 
->  ph ) ) )
536, 34, 52tfindes 4669 1  |-  ( x  e.  On  ->  ( ta  ->  ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1632   [wsb 1638    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801   [.wsbc 3004   (/)c0 3468   Oncon0 4408   Lim wlim 4409   suc csuc 4410
This theorem is referenced by:  abianfplem  6486  inar1  8413  grur1a  8457
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414
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