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Theorem tfindsg 4588
Description: Transfinite Induction (inference schema), using implicit substitutions. The first four hypotheses establish the substitutions we need. The last three are the basis, the induction hypothesis for successors, and the induction hypothesis for limit ordinals. The basis of this version is an arbitrary ordinal  B instead of zero. Remark in [TakeutiZaring] p. 57. (Contributed by NM, 5-Mar-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
tfindsg.1  |-  ( x  =  B  ->  ( ph 
<->  ps ) )
tfindsg.2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
tfindsg.3  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ph  <->  th ) )
tfindsg.4  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
tfindsg.5  |-  ( B  e.  On  ->  ps )
tfindsg.6  |-  ( ( ( y  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  B  C_  y
)  ->  ( ch  ->  th ) )
tfindsg.7  |-  ( ( ( Lim  x  /\  B  e.  On )  /\  B  C_  x )  ->  ( A. y  e.  x  ( B  C_  y  ->  ch )  ->  ph ) )
Assertion
Ref Expression
tfindsg  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  B  C_  A
)  ->  ta )
Distinct variable groups:    x, A    x, y, B    ch, x    th, x    ta, x    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( x, y)    ch( y)    th( y)    ta( y)    A( y)

Proof of Theorem tfindsg
StepHypRef Expression
1 sseq2 3142 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( B 
C_  x  <->  B  C_  (/) ) )
21adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( B  =  (/)  /\  x  =  (/) )  ->  ( B  C_  x  <->  B  C_  (/) ) )
3 eqeq2 2265 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  (/)  ->  ( x  =  B  <->  x  =  (/) ) )
4 tfindsg.1 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  B  ->  ( ph 
<->  ps ) )
53, 4syl6bir 222 . . . . . . 7  |-  ( B  =  (/)  ->  ( x  =  (/)  ->  ( ph  <->  ps ) ) )
65imp 420 . . . . . 6  |-  ( ( B  =  (/)  /\  x  =  (/) )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
72, 6imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( ( B  =  (/)  /\  x  =  (/) )  ->  (
( B  C_  x  ->  ph )  <->  ( B  C_  (/)  ->  ps ) ) )
81imbi1d 310 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( B  C_  x  ->  ph )  <->  ( B  C_  (/) 
->  ph ) ) )
9 ss0 3427 . . . . . . . . 9  |-  ( B 
C_  (/)  ->  B  =  (/) )
109con3i 129 . . . . . . . 8  |-  ( -.  B  =  (/)  ->  -.  B  C_  (/) )
1110pm2.21d 100 . . . . . . 7  |-  ( -.  B  =  (/)  ->  ( B  C_  (/)  ->  ( ph  <->  ps ) ) )
1211pm5.74d 240 . . . . . 6  |-  ( -.  B  =  (/)  ->  (
( B  C_  (/)  ->  ph )  <->  ( B  C_  (/)  ->  ps ) ) )
138, 12sylan9bbr 684 . . . . 5  |-  ( ( -.  B  =  (/)  /\  x  =  (/) )  -> 
( ( B  C_  x  ->  ph )  <->  ( B  C_  (/)  ->  ps ) ) )
147, 13pm2.61ian 768 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( B  C_  x  ->  ph )  <->  ( B  C_  (/) 
->  ps ) ) )
1514imbi2d 309 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( B  e.  On  ->  ( B  C_  x  ->  ph ) )  <->  ( B  e.  On  ->  ( B  C_  (/)  ->  ps ) ) ) )
16 sseq2 3142 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( B  C_  x  <->  B  C_  y
) )
17 tfindsg.2 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
1816, 17imbi12d 313 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( B  C_  x  ->  ph )  <->  ( B  C_  y  ->  ch )
) )
1918imbi2d 309 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( B  e.  On  ->  ( B  C_  x  ->  ph ) )  <->  ( B  e.  On  ->  ( B  C_  y  ->  ch )
) ) )
20 sseq2 3142 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( B  C_  x  <->  B 
C_  suc  y )
)
21 tfindsg.3 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ph  <->  th ) )
2220, 21imbi12d 313 . . . 4  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( B  C_  x  ->  ph )  <->  ( B  C_ 
suc  y  ->  th )
) )
2322imbi2d 309 . . 3  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( B  e.  On  ->  ( B  C_  x  ->  ph ) )  <-> 
( B  e.  On  ->  ( B  C_  suc  y  ->  th ) ) ) )
24 sseq2 3142 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( B  C_  x  <->  B  C_  A
) )
25 tfindsg.4 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
2624, 25imbi12d 313 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( B  C_  x  ->  ph )  <->  ( B  C_  A  ->  ta )
) )
2726imbi2d 309 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( B  e.  On  ->  ( B  C_  x  ->  ph ) )  <->  ( B  e.  On  ->  ( B  C_  A  ->  ta )
) ) )
28 tfindsg.5 . . . 4  |-  ( B  e.  On  ->  ps )
2928a1d 24 . . 3  |-  ( B  e.  On  ->  ( B  C_  (/)  ->  ps )
)
30 vex 2743 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  y  e. 
_V
3130sucex 4539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  suc  y  e.  _V
3231eqvinc 2846 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( suc  y  =  B  <->  E. x
( x  =  suc  y  /\  x  =  B ) )
3328, 4syl5ibr 214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  B  ->  ( B  e.  On  ->  ph ) )
3421biimpd 200 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ph  ->  th )
)
3533, 34sylan9r 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  suc  y  /\  x  =  B
)  ->  ( B  e.  On  ->  th )
)
3635exlimiv 2024 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. x ( x  =  suc  y  /\  x  =  B )  ->  ( B  e.  On  ->  th ) )
3732, 36sylbi 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( suc  y  =  B  -> 
( B  e.  On  ->  th ) )
3837eqcoms 2259 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  =  suc  y  -> 
( B  e.  On  ->  th ) )
3938imim2i 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  C_  suc  y  ->  B  =  suc  y )  ->  ( B  C_  suc  y  ->  ( B  e.  On  ->  th )
) )
4039a1d 24 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  C_  suc  y  ->  B  =  suc  y )  ->  ( ( B 
C_  y  ->  ch )  ->  ( B  C_  suc  y  ->  ( B  e.  On  ->  th )
) ) )
4140com4r 82 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  On  ->  (
( B  C_  suc  y  ->  B  =  suc  y )  ->  (
( B  C_  y  ->  ch )  ->  ( B  C_  suc  y  ->  th ) ) ) )
4241adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( B  C_  suc  y  ->  B  =  suc  y )  -> 
( ( B  C_  y  ->  ch )  -> 
( B  C_  suc  y  ->  th ) ) ) )
43 df-ne 2421 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =/=  suc  y  <->  -.  B  =  suc  y )
4443anbi2i 678 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  C_  suc  y  /\  B  =/=  suc  y )  <->  ( B  C_  suc  y  /\  -.  B  =  suc  y ) )
45 annim 416 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  C_  suc  y  /\  -.  B  =  suc  y )  <->  -.  ( B  C_  suc  y  ->  B  =  suc  y ) )
4644, 45bitri 242 . . . . . . 7  |-  ( ( B  C_  suc  y  /\  B  =/=  suc  y )  <->  -.  ( B  C_  suc  y  ->  B  =  suc  y ) )
47 onsssuc 4417 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  C_  y  <->  B  e.  suc  y ) )
48 suceloni 4541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  On  ->  suc  y  e.  On )
49 onelpss 4369 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  On  /\  suc  y  e.  On )  ->  ( B  e. 
suc  y  <->  ( B  C_ 
suc  y  /\  B  =/=  suc  y ) ) )
5048, 49sylan2 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  e.  suc  y 
<->  ( B  C_  suc  y  /\  B  =/=  suc  y ) ) )
5147, 50bitrd 246 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  C_  y  <->  ( B  C_  suc  y  /\  B  =/=  suc  y )
) )
5251ancoms 441 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( B  C_  y  <->  ( B  C_  suc  y  /\  B  =/=  suc  y )
) )
53 tfindsg.6 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  B  C_  y
)  ->  ( ch  ->  th ) )
5453ex 425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( B  C_  y  ->  ( ch  ->  th )
) )
55 ax-1 7 . . . . . . . . . . 11  |-  ( th 
->  ( B  C_  suc  y  ->  th ) )
5654, 55syl8 67 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( B  C_  y  ->  ( ch  ->  ( B  C_  suc  y  ->  th ) ) ) )
5756a2d 25 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( B  C_  y  ->  ch )  -> 
( B  C_  y  ->  ( B  C_  suc  y  ->  th ) ) ) )
5857com23 74 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( B  C_  y  ->  ( ( B  C_  y  ->  ch )  -> 
( B  C_  suc  y  ->  th ) ) ) )
5952, 58sylbird 228 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( B  C_  suc  y  /\  B  =/= 
suc  y )  -> 
( ( B  C_  y  ->  ch )  -> 
( B  C_  suc  y  ->  th ) ) ) )
6046, 59syl5bir 211 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( -.  ( B 
C_  suc  y  ->  B  =  suc  y )  ->  ( ( B 
C_  y  ->  ch )  ->  ( B  C_  suc  y  ->  th )
) ) )
6142, 60pm2.61d 152 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( B  C_  y  ->  ch )  -> 
( B  C_  suc  y  ->  th ) ) )
6261ex 425 . . . 4  |-  ( y  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( ( B  C_  y  ->  ch )  ->  ( B  C_  suc  y  ->  th ) ) ) )
6362a2d 25 . . 3  |-  ( y  e.  On  ->  (
( B  e.  On  ->  ( B  C_  y  ->  ch ) )  -> 
( B  e.  On  ->  ( B  C_  suc  y  ->  th ) ) ) )
64 pm2.27 37 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  On  ->  (
( B  e.  On  ->  ( B  C_  y  ->  ch ) )  -> 
( B  C_  y  ->  ch ) ) )
6564ralimdv 2593 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  On  ->  ( A. y  e.  x  ( B  e.  On  ->  ( B  C_  y  ->  ch ) )  ->  A. y  e.  x  ( B  C_  y  ->  ch ) ) )
6665ad2antlr 710 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Lim  x  /\  B  e.  On )  /\  B  C_  x )  ->  ( A. y  e.  x  ( B  e.  On  ->  ( B  C_  y  ->  ch )
)  ->  A. y  e.  x  ( B  C_  y  ->  ch )
) )
67 tfindsg.7 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Lim  x  /\  B  e.  On )  /\  B  C_  x )  ->  ( A. y  e.  x  ( B  C_  y  ->  ch )  ->  ph ) )
6866, 67syld 42 . . . . . 6  |-  ( ( ( Lim  x  /\  B  e.  On )  /\  B  C_  x )  ->  ( A. y  e.  x  ( B  e.  On  ->  ( B  C_  y  ->  ch )
)  ->  ph ) )
6968exp31 590 . . . . 5  |-  ( Lim  x  ->  ( B  e.  On  ->  ( B  C_  x  ->  ( A. y  e.  x  ( B  e.  On  ->  ( B  C_  y  ->  ch ) )  ->  ph )
) ) )
7069com3l 77 . . . 4  |-  ( B  e.  On  ->  ( B  C_  x  ->  ( Lim  x  ->  ( A. y  e.  x  ( B  e.  On  ->  ( B  C_  y  ->  ch ) )  ->  ph )
) ) )
7170com4t 81 . . 3  |-  ( Lim  x  ->  ( A. y  e.  x  ( B  e.  On  ->  ( B  C_  y  ->  ch ) )  ->  ( B  e.  On  ->  ( B  C_  x  ->  ph ) ) ) )
7215, 19, 23, 27, 29, 63, 71tfinds 4587 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( B  C_  A  ->  ta ) ) )
7372imp31 423 1  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  B  C_  A
)  ->  ta )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2419   A.wral 2516    C_ wss 3094   (/)c0 3397   Oncon0 4329   Lim wlim 4330   suc csuc 4331
This theorem is referenced by:  tfindsg2  4589  oaordi  6477  infensuc  6972  r1ordg  7383
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pr 4152  ax-un 4449
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-br 3964  df-opab 4018  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335
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