Theorem tfis3 3120

Description: Transfinite Induction Schema with implicit substitution.

Hypotheses

Ref	Expression
tfis3.1	|- (x = y -> (ph <-> ps))
tfis3.2	|- (x = A -> (ph <-> ch))
tfis3.3	|- (x e. On -> (A.y e. x ps -> ph))

Assertion

Ref	Expression
tfis3	|- (A e. On -> ch)

Distinct variable groups:   ps,x   ph,y   ch,x   x,A   x,y

Proof of Theorem tfis3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfis3.2	. 2 |- (x = A -> (ph <-> ch))
2		tfis3.1	. . 3 |- (x = y -> (ph <-> ps))
3		tfis3.3	. . 3 |- (x e. On -> (A.y e. x ps -> ph))
4	2, 3	tfis2 3119	. 2 |- (x e. On -> ph)
5	1, 4	vtoclga 1843	1 |- (A e. On -> ch)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   = wceq 953   e. wcel 955  A.wral 1637  Oncon0 2938

This theorem is referenced by:  tfinds 3151  rankonid 4667  alephle 4856

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942

Copyright terms: Public domain