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Theorem tfisg 23573
Description: A closed form of tfis 4617. (Contributed by Scott Fenton, 8-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
tfisg  |-  ( A. x  e.  On  ( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ph 
->  ph )  ->  A. x  e.  On  ph )
Distinct variable groups:    ph, y    x, y
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem tfisg
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3233 . . . 4  |-  { x  e.  On  |  ph }  C_  On
2 dfss3 3145 . . . . . . . . 9  |-  ( z 
C_  { x  e.  On  |  ph }  <->  A. y  e.  z  y  e.  { x  e.  On  |  ph }
)
3 nfcv 2394 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x On
43elrabsf 3004 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  { x  e.  On  |  ph }  <->  ( y  e.  On  /\  [. y  /  x ]. ph ) )
54simprbi 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  { x  e.  On  |  ph }  ->  [. y  /  x ]. ph )
65ralimi 2593 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  z  y  e.  { x  e.  On  |  ph }  ->  A. y  e.  z  [. y  /  x ]. ph )
72, 6sylbi 189 . . . . . . . 8  |-  ( z 
C_  { x  e.  On  |  ph }  ->  A. y  e.  z 
[. y  /  x ]. ph )
8 nfcv 2394 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
z
9 nfsbc1v 2985 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x [. y  /  x ]. ph
108, 9nfral 2571 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x A. y  e.  z  [. y  /  x ]. ph
11 nfsbc1v 2985 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x [. z  /  x ]. ph
1210, 11nfim 1735 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( A. y  e.  z  [. y  /  x ]. ph  ->  [. z  /  x ]. ph )
13 raleq 2711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ph  <->  A. y  e.  z  [. y  /  x ]. ph )
)
14 sbceq1a 2976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  ( ph 
<-> 
[. z  /  x ]. ph ) )
1513, 14imbi12d 313 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ph  ->  ph )  <->  ( A. y  e.  z 
[. y  /  x ]. ph  ->  [. z  /  x ]. ph ) ) )
1612, 15rcla4 2853 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  On  ->  ( A. x  e.  On  ( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ph 
->  ph )  ->  ( A. y  e.  z  [. y  /  x ]. ph  ->  [. z  /  x ]. ph ) ) )
1716impcom 421 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  On  ( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ph 
->  ph )  /\  z  e.  On )  ->  ( A. y  e.  z  [. y  /  x ]. ph  ->  [. z  /  x ]. ph ) )
187, 17syl5 30 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  On  ( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ph 
->  ph )  /\  z  e.  On )  ->  (
z  C_  { x  e.  On  |  ph }  ->  [. z  /  x ]. ph ) )
19 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  On  ( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ph 
->  ph )  /\  z  e.  On )  ->  z  e.  On )
2018, 19jctild 529 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  On  ( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ph 
->  ph )  /\  z  e.  On )  ->  (
z  C_  { x  e.  On  |  ph }  ->  ( z  e.  On  /\ 
[. z  /  x ]. ph ) ) )
213elrabsf 3004 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { x  e.  On  |  ph }  <->  ( z  e.  On  /\  [. z  /  x ]. ph ) )
2220, 21syl6ibr 220 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  On  ( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ph 
->  ph )  /\  z  e.  On )  ->  (
z  C_  { x  e.  On  |  ph }  ->  z  e.  { x  e.  On  |  ph }
) )
2322ralrimiva 2601 . . . 4  |-  ( A. x  e.  On  ( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ph 
->  ph )  ->  A. z  e.  On  ( z  C_  { x  e.  On  |  ph }  ->  z  e.  { x  e.  On  |  ph } ) )
24 tfi 4616 . . . 4  |-  ( ( { x  e.  On  |  ph }  C_  On  /\ 
A. z  e.  On  ( z  C_  { x  e.  On  |  ph }  ->  z  e.  { x  e.  On  |  ph }
) )  ->  { x  e.  On  |  ph }  =  On )
251, 23, 24sylancr 647 . . 3  |-  ( A. x  e.  On  ( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ph 
->  ph )  ->  { x  e.  On  |  ph }  =  On )
2625eqcomd 2263 . 2  |-  ( A. x  e.  On  ( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ph 
->  ph )  ->  On  =  { x  e.  On  |  ph } )
27 rabid2 2692 . 2  |-  ( On  =  { x  e.  On  |  ph }  <->  A. x  e.  On  ph )
2826, 27sylib 190 1  |-  ( A. x  e.  On  ( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ph 
->  ph )  ->  A. x  e.  On  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2518   {crab 2522   [.wsbc 2966    C_ wss 3127   Oncon0 4364
This theorem is referenced by:  soseq  23623
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pr 4186  ax-un 4484
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-br 3998  df-opab 4052  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368
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