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Theorem tfisg 23538
Description: A closed form of tfis 4582. (Contributed by Scott Fenton, 8-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
tfisg  |-  ( A. x  e.  On  ( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ph 
->  ph )  ->  A. x  e.  On  ph )
Distinct variable groups:    ph, y    x, y
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem tfisg
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3200 . . . 4  |-  { x  e.  On  |  ph }  C_  On
2 dfss3 3112 . . . . . . . . 9  |-  ( z 
C_  { x  e.  On  |  ph }  <->  A. y  e.  z  y  e.  { x  e.  On  |  ph }
)
3 nfcv 2392 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x On
43elrabsf 2973 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  { x  e.  On  |  ph }  <->  ( y  e.  On  /\  [. y  /  x ]. ph ) )
54simprbi 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  { x  e.  On  |  ph }  ->  [. y  /  x ]. ph )
65ralimi 2589 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  z  y  e.  { x  e.  On  |  ph }  ->  A. y  e.  z  [. y  /  x ]. ph )
72, 6sylbi 189 . . . . . . . 8  |-  ( z 
C_  { x  e.  On  |  ph }  ->  A. y  e.  z 
[. y  /  x ]. ph )
8 nfcv 2392 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
z
9 nfsbc1v 2954 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x [. y  /  x ]. ph
108, 9nfral 2567 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x A. y  e.  z  [. y  /  x ]. ph
11 nfsbc1v 2954 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x [. z  /  x ]. ph
1210, 11nfim 1735 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( A. y  e.  z  [. y  /  x ]. ph  ->  [. z  /  x ]. ph )
13 raleq 2698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ph  <->  A. y  e.  z  [. y  /  x ]. ph )
)
14 sbceq1a 2945 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  ( ph 
<-> 
[. z  /  x ]. ph ) )
1513, 14imbi12d 313 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ph  ->  ph )  <->  ( A. y  e.  z 
[. y  /  x ]. ph  ->  [. z  /  x ]. ph ) ) )
1612, 15rcla4 2829 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  On  ->  ( A. x  e.  On  ( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ph 
->  ph )  ->  ( A. y  e.  z  [. y  /  x ]. ph  ->  [. z  /  x ]. ph ) ) )
1716impcom 421 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  On  ( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ph 
->  ph )  /\  z  e.  On )  ->  ( A. y  e.  z  [. y  /  x ]. ph  ->  [. z  /  x ]. ph ) )
187, 17syl5 30 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  On  ( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ph 
->  ph )  /\  z  e.  On )  ->  (
z  C_  { x  e.  On  |  ph }  ->  [. z  /  x ]. ph ) )
19 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  On  ( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ph 
->  ph )  /\  z  e.  On )  ->  z  e.  On )
2018, 19jctild 529 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  On  ( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ph 
->  ph )  /\  z  e.  On )  ->  (
z  C_  { x  e.  On  |  ph }  ->  ( z  e.  On  /\ 
[. z  /  x ]. ph ) ) )
213elrabsf 2973 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { x  e.  On  |  ph }  <->  ( z  e.  On  /\  [. z  /  x ]. ph ) )
2220, 21syl6ibr 220 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  On  ( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ph 
->  ph )  /\  z  e.  On )  ->  (
z  C_  { x  e.  On  |  ph }  ->  z  e.  { x  e.  On  |  ph }
) )
2322ralrimiva 2597 . . . 4  |-  ( A. x  e.  On  ( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ph 
->  ph )  ->  A. z  e.  On  ( z  C_  { x  e.  On  |  ph }  ->  z  e.  { x  e.  On  |  ph } ) )
24 tfi 4581 . . . 4  |-  ( ( { x  e.  On  |  ph }  C_  On  /\ 
A. z  e.  On  ( z  C_  { x  e.  On  |  ph }  ->  z  e.  { x  e.  On  |  ph }
) )  ->  { x  e.  On  |  ph }  =  On )
251, 23, 24sylancr 647 . . 3  |-  ( A. x  e.  On  ( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ph 
->  ph )  ->  { x  e.  On  |  ph }  =  On )
2625eqcomd 2261 . 2  |-  ( A. x  e.  On  ( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ph 
->  ph )  ->  On  =  { x  e.  On  |  ph } )
27 rabid2 2685 . 2  |-  ( On  =  { x  e.  On  |  ph }  <->  A. x  e.  On  ph )
2826, 27sylib 190 1  |-  ( A. x  e.  On  ( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ph 
->  ph )  ->  A. x  e.  On  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2516   {crab 2519   [.wsbc 2935    C_ wss 3094   Oncon0 4329
This theorem is referenced by:  soseq  23588
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pr 4152  ax-un 4449
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-br 3964  df-opab 4018  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333
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