Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tfr3 Structured version   Unicode version

Theorem tfr3 6661
 Description: Principle of Transfinite Recursion, part 3 of 3. Theorem 7.41(3) of [TakeutiZaring] p. 47. Finally, we show that is unique. We do this by showing that any class with the same properties of that we showed in parts 1 and 2 is identical to . (Contributed by NM, 18-Aug-1994.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
tfr.1 recs
Assertion
Ref Expression
tfr3
Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem tfr3
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1630 . . . 4
2 nfra1 2757 . . . 4
31, 2nfan 1847 . . 3
4 nfv 1630 . . . . . 6
53, 4nfim 1833 . . . . 5
6 fveq2 5729 . . . . . . 7
7 fveq2 5729 . . . . . . 7
86, 7eqeq12d 2451 . . . . . 6
98imbi2d 309 . . . . 5
10 r19.21v 2794 . . . . . 6
11 rsp 2767 . . . . . . . . . 10
12 onss 4772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
13 tfr.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 recs
1413tfr1 6659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
15 fvreseq 5834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1614, 15mpanl2 664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
17 fveq2 5729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1816, 17syl6bir 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1912, 18sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2019ancoms 441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2120imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2221adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15
2313tfr2 6660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2423jctr 528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
25 jcab 835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2624, 25sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
27 eqeq12 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2826, 27syl6 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2928imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3029adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . 15
3122, 30mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . 14
3231exp43 597 . . . . . . . . . . . . 13
3332com4t 82 . . . . . . . . . . . 12
3433exp4a 591 . . . . . . . . . . 11
3534pm2.43d 47 . . . . . . . . . 10
3611, 35syl 16 . . . . . . . . 9
3736com3l 78 . . . . . . . 8
3837imp3a 422 . . . . . . 7
3938a2d 25 . . . . . 6
4010, 39syl5bi 210 . . . . 5
415, 9, 40tfis2f 4836 . . . 4
4241com12 30 . . 3
433, 42ralrimi 2788 . 2
44 eqfnfv 5828 . . . 4
4514, 44mpan2 654 . . 3
4645biimpar 473 . 2
4743, 46syldan 458 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wral 2706   wss 3321  con0 4582   cres 4881   wfn 5450  cfv 5455  recscrecs 6633 This theorem is referenced by:  tfrALTlem  25558 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-suc 4588  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-recs 6634
 Copyright terms: Public domain W3C validator