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Theorem tfrALTlem 23646
Description: Lemma for deriving transfinite recursion from well-founded recursion. (Contributed by Scott Fenton, 22-Apr-2011.)
Assertion
Ref Expression
tfrALTlem  |-  { f  |  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) ) }  =  { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  ( x  C_  On  /\  A. y  e.  x  Pred (  _E  ,  On ,  y )  C_  x )  /\  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred (  _E  ,  On ,  y ) ) ) ) }
Distinct variable group:    x, y
Allowed substitution hints:    G( x, y, f)

Proof of Theorem tfrALTlem
StepHypRef Expression
1 df-rex 2524 . . 3  |-  ( E. x  e.  On  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) )  <->  E. x
( x  e.  On  /\  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) ) ) ) )
2 onelon 4389 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  On )
3 predon 23563 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  On  ->  Pred (  _E  ,  On ,  y )  =  y )
43reseq2d 4943 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  On  ->  (
f  |`  Pred (  _E  ,  On ,  y )
)  =  ( f  |`  y ) )
54fveq2d 5462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  On  ->  ( G `  ( f  |` 
Pred (  _E  ,  On ,  y )
) )  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) )
65eqeq2d 2269 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  On  ->  (
( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  Pred (  _E  ,  On ,  y ) ) )  <->  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) ) )
72, 6syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  x )  ->  ( ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred (  _E  ,  On ,  y )
) )  <->  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) ) )
87ralbidva 2534 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  On  ->  ( A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  Pred (  _E  ,  On ,  y ) ) )  <->  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) ) ) )
98pm5.32i 621 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  On  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred (  _E  ,  On ,  y ) ) ) )  <-> 
( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) ) ) )
10 df-ord 4367 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Ord  x  <->  ( Tr  x  /\  _E  We  x ) )
11 ordsson 4553 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Ord  x  ->  x  C_  On )
1210, 11sylbir 206 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Tr  x  /\  _E  We  x )  ->  x  C_  On )
1312ex 425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Tr  x  ->  (  _E  We  x  ->  x  C_  On ) )
14 epweon 4547 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _E  We  On
15 wess 4352 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x 
C_  On  ->  (  _E  We  On  ->  _E  We  x ) )
1614, 15mpi 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x 
C_  On  ->  _E  We  x )
1713, 16impbid1 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Tr  x  ->  (  _E  We  x  <->  x  C_  On ) )
1817pm5.32i 621 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Tr  x  /\  _E  We  x )  <->  ( Tr  x  /\  x  C_  On ) )
19 ancom 439 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  C_  On  /\  Tr  x )  <->  ( Tr  x  /\  x  C_  On ) )
2018, 10, 193bitr4i 270 . . . . . . . . 9  |-  ( Ord  x  <->  ( x  C_  On  /\  Tr  x ) )
21 vex 2766 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
2221elon 4373 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  On  <->  Ord  x )
23 ssel2 3150 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  C_  On  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  On )
2423, 3syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  C_  On  /\  y  e.  x )  ->  Pred (  _E  ,  On ,  y )  =  y )
2524sseq1d 3180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  C_  On  /\  y  e.  x )  ->  ( Pred (  _E  ,  On ,  y )  C_  x 
<->  y  C_  x )
)
2625ralbidva 2534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x 
C_  On  ->  ( A. y  e.  x  Pred (  _E  ,  On ,  y )  C_  x 
<-> 
A. y  e.  x  y  C_  x ) )
27 dftr3 4091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Tr  x  <->  A. y  e.  x  y  C_  x )
2826, 27syl6bbr 256 . . . . . . . . . 10  |-  ( x 
C_  On  ->  ( A. y  e.  x  Pred (  _E  ,  On ,  y )  C_  x 
<->  Tr  x ) )
2928pm5.32i 621 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  C_  On  /\  A. y  e.  x  Pred (  _E  ,  On ,  y )  C_  x )  <->  ( x  C_  On  /\  Tr  x
) )
3020, 22, 293bitr4i 270 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  On  <->  ( x  C_  On  /\  A. y  e.  x  Pred (  _E  ,  On ,  y )  C_  x )
)
3130anbi1i 679 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  On  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred (  _E  ,  On ,  y ) ) ) )  <-> 
( ( x  C_  On  /\  A. y  e.  x  Pred (  _E  ,  On ,  y )  C_  x )  /\  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred (  _E  ,  On ,  y ) ) ) ) )
329, 31bitr3i 244 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  On  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) )  <->  ( (
x  C_  On  /\  A. y  e.  x  Pred (  _E  ,  On ,  y )  C_  x )  /\  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred (  _E  ,  On ,  y ) ) ) ) )
3332anbi2i 678 . . . . 5  |-  ( ( f  Fn  x  /\  ( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) ) ) )  <->  ( f  Fn  x  /\  ( ( x  C_  On  /\  A. y  e.  x  Pred (  _E  ,  On ,  y )  C_  x )  /\  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred (  _E  ,  On ,  y ) ) ) ) ) )
34 an12 775 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  On  /\  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) ) ) )  <->  ( f  Fn  x  /\  ( x  e.  On  /\  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) ) )
35 3anass 943 . . . . 5  |-  ( ( f  Fn  x  /\  ( x  C_  On  /\  A. y  e.  x  Pred (  _E  ,  On ,  y )  C_  x )  /\  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred (  _E  ,  On ,  y ) ) ) )  <-> 
( f  Fn  x  /\  ( ( x  C_  On  /\  A. y  e.  x  Pred (  _E  ,  On ,  y )  C_  x )  /\  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred (  _E  ,  On ,  y ) ) ) ) ) )
3633, 34, 353bitr4i 270 . . . 4  |-  ( ( x  e.  On  /\  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) ) ) )  <->  ( f  Fn  x  /\  ( x 
C_  On  /\  A. y  e.  x  Pred (  _E  ,  On ,  y )  C_  x )  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  Pred (  _E  ,  On ,  y ) ) ) ) )
3736exbii 1580 . . 3  |-  ( E. x ( x  e.  On  /\  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) )  <->  E. x ( f  Fn  x  /\  ( x 
C_  On  /\  A. y  e.  x  Pred (  _E  ,  On ,  y )  C_  x )  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  Pred (  _E  ,  On ,  y ) ) ) ) )
381, 37bitri 242 . 2  |-  ( E. x  e.  On  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) )  <->  E. x
( f  Fn  x  /\  ( x  C_  On  /\ 
A. y  e.  x  Pred (  _E  ,  On ,  y )  C_  x )  /\  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred (  _E  ,  On ,  y ) ) ) ) )
3938abbii 2370 1  |-  { f  |  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) ) }  =  { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  ( x  C_  On  /\  A. y  e.  x  Pred (  _E  ,  On ,  y )  C_  x )  /\  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred (  _E  ,  On ,  y ) ) ) ) }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   {cab 2244   A.wral 2518   E.wrex 2519    C_ wss 3127   Tr wtr 4087    _E cep 4275    We wwe 4323   Ord word 4363   Oncon0 4364    |` cres 4663    Fn wfn 4668   ` cfv 4673   Predcpred 23537
This theorem is referenced by:  tfr1ALT  23647  tfr2ALT  23648  tfr3ALT  23649
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pr 4186  ax-un 4484
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-br 3998  df-opab 4052  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fv 4689  df-pred 23538
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