Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tfrALTlem Unicode version

Theorem tfrALTlem 25490
Description: Lemma for deriving transfinite recursion from well-founded recursion. (Contributed by Scott Fenton, 22-Apr-2011.)
Assertion
Ref Expression
tfrALTlem  |-  { f  |  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) ) }  =  { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  ( x  C_  On  /\  A. y  e.  x  Pred (  _E  ,  On ,  y )  C_  x )  /\  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred (  _E  ,  On ,  y ) ) ) ) }
Distinct variable group:    x, y
Allowed substitution hints:    G( x, y, f)

Proof of Theorem tfrALTlem
StepHypRef Expression
1 df-rex 2672 . . 3  |-  ( E. x  e.  On  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) )  <->  E. x
( x  e.  On  /\  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) ) ) ) )
2 onelon 4566 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  On )
3 predon 25407 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  On  ->  Pred (  _E  ,  On ,  y )  =  y )
43reseq2d 5105 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  On  ->  (
f  |`  Pred (  _E  ,  On ,  y )
)  =  ( f  |`  y ) )
54fveq2d 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  On  ->  ( G `  ( f  |` 
Pred (  _E  ,  On ,  y )
) )  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) )
65eqeq2d 2415 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  On  ->  (
( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  Pred (  _E  ,  On ,  y ) ) )  <->  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) ) )
72, 6syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  x )  ->  ( ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred (  _E  ,  On ,  y )
) )  <->  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) ) )
87ralbidva 2682 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  On  ->  ( A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  Pred (  _E  ,  On ,  y ) ) )  <->  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) ) ) )
98pm5.32i 619 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  On  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred (  _E  ,  On ,  y ) ) ) )  <-> 
( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) ) ) )
10 df-ord 4544 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Ord  x  <->  ( Tr  x  /\  _E  We  x ) )
11 ordsson 4729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Ord  x  ->  x  C_  On )
1210, 11sylbir 205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Tr  x  /\  _E  We  x )  ->  x  C_  On )
1312ex 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Tr  x  ->  (  _E  We  x  ->  x  C_  On ) )
14 epweon 4723 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _E  We  On
15 wess 4529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x 
C_  On  ->  (  _E  We  On  ->  _E  We  x ) )
1614, 15mpi 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x 
C_  On  ->  _E  We  x )
1713, 16impbid1 195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Tr  x  ->  (  _E  We  x  <->  x  C_  On ) )
1817pm5.32i 619 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Tr  x  /\  _E  We  x )  <->  ( Tr  x  /\  x  C_  On ) )
19 ancom 438 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  C_  On  /\  Tr  x )  <->  ( Tr  x  /\  x  C_  On ) )
2018, 10, 193bitr4i 269 . . . . . . . . 9  |-  ( Ord  x  <->  ( x  C_  On  /\  Tr  x ) )
21 vex 2919 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
2221elon 4550 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  On  <->  Ord  x )
23 ssel2 3303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  C_  On  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  On )
2423, 3syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  C_  On  /\  y  e.  x )  ->  Pred (  _E  ,  On ,  y )  =  y )
2524sseq1d 3335 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  C_  On  /\  y  e.  x )  ->  ( Pred (  _E  ,  On ,  y )  C_  x 
<->  y  C_  x )
)
2625ralbidva 2682 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x 
C_  On  ->  ( A. y  e.  x  Pred (  _E  ,  On ,  y )  C_  x 
<-> 
A. y  e.  x  y  C_  x ) )
27 dftr3 4266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Tr  x  <->  A. y  e.  x  y  C_  x )
2826, 27syl6bbr 255 . . . . . . . . . 10  |-  ( x 
C_  On  ->  ( A. y  e.  x  Pred (  _E  ,  On ,  y )  C_  x 
<->  Tr  x ) )
2928pm5.32i 619 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  C_  On  /\  A. y  e.  x  Pred (  _E  ,  On ,  y )  C_  x )  <->  ( x  C_  On  /\  Tr  x
) )
3020, 22, 293bitr4i 269 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  On  <->  ( x  C_  On  /\  A. y  e.  x  Pred (  _E  ,  On ,  y )  C_  x )
)
3130anbi1i 677 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  On  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred (  _E  ,  On ,  y ) ) ) )  <-> 
( ( x  C_  On  /\  A. y  e.  x  Pred (  _E  ,  On ,  y )  C_  x )  /\  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred (  _E  ,  On ,  y ) ) ) ) )
329, 31bitr3i 243 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  On  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) )  <->  ( (
x  C_  On  /\  A. y  e.  x  Pred (  _E  ,  On ,  y )  C_  x )  /\  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred (  _E  ,  On ,  y ) ) ) ) )
3332anbi2i 676 . . . . 5  |-  ( ( f  Fn  x  /\  ( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) ) ) )  <->  ( f  Fn  x  /\  ( ( x  C_  On  /\  A. y  e.  x  Pred (  _E  ,  On ,  y )  C_  x )  /\  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred (  _E  ,  On ,  y ) ) ) ) ) )
34 an12 773 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  On  /\  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) ) ) )  <->  ( f  Fn  x  /\  ( x  e.  On  /\  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) ) )
35 3anass 940 . . . . 5  |-  ( ( f  Fn  x  /\  ( x  C_  On  /\  A. y  e.  x  Pred (  _E  ,  On ,  y )  C_  x )  /\  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred (  _E  ,  On ,  y ) ) ) )  <-> 
( f  Fn  x  /\  ( ( x  C_  On  /\  A. y  e.  x  Pred (  _E  ,  On ,  y )  C_  x )  /\  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred (  _E  ,  On ,  y ) ) ) ) ) )
3633, 34, 353bitr4i 269 . . . 4  |-  ( ( x  e.  On  /\  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) ) ) )  <->  ( f  Fn  x  /\  ( x 
C_  On  /\  A. y  e.  x  Pred (  _E  ,  On ,  y )  C_  x )  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  Pred (  _E  ,  On ,  y ) ) ) ) )
3736exbii 1589 . . 3  |-  ( E. x ( x  e.  On  /\  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) )  <->  E. x ( f  Fn  x  /\  ( x 
C_  On  /\  A. y  e.  x  Pred (  _E  ,  On ,  y )  C_  x )  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  Pred (  _E  ,  On ,  y ) ) ) ) )
381, 37bitri 241 . 2  |-  ( E. x  e.  On  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) )  <->  E. x
( f  Fn  x  /\  ( x  C_  On  /\ 
A. y  e.  x  Pred (  _E  ,  On ,  y )  C_  x )  /\  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred (  _E  ,  On ,  y ) ) ) ) )
3938abbii 2516 1  |-  { f  |  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) ) }  =  { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  ( x  C_  On  /\  A. y  e.  x  Pred (  _E  ,  On ,  y )  C_  x )  /\  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred (  _E  ,  On ,  y ) ) ) ) }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2390   A.wral 2666   E.wrex 2667    C_ wss 3280   Tr wtr 4262    _E cep 4452    We wwe 4500   Ord word 4540   Oncon0 4541    |` cres 4839    Fn wfn 5408   ` cfv 5413   Predcpred 25381
This theorem is referenced by:  tfr1ALT  25491  tfr2ALT  25492  tfr3ALT  25493
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fv 5421  df-pred 25382
  Copyright terms: Public domain W3C validator