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Theorem tfrlem1 6628
Description: A technical lemma for transfinite recursion. Compare Lemma 1 of [TakeutiZaring] p. 47. (Contributed by NM, 23-Mar-1995.) (Revised by David Abernethy, 19-Jun-2012.)
Assertion
Ref Expression
tfrlem1  |-  ( A  e.  On  ->  (
( F  Fn  A  /\  G  Fn  A
)  ->  ( A. x  e.  A  (
( F `  x
)  =  ( B `
 ( F  |`  x ) )  /\  ( G `  x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) )  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, F    x, G
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem tfrlem1
Dummy variables  y 
z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3359 . 2  |-  A  C_  A
2 sseq1 3361 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  (
y  C_  A  <->  A  C_  A
) )
3 raleq 2896 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  ( A. x  e.  y 
( ( F `  x )  =  ( B `  ( F  |`  x ) )  /\  ( G `  x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) )  <->  A. x  e.  A  ( ( F `  x )  =  ( B `  ( F  |`  x ) )  /\  ( G `
 x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) ) ) )
4 raleq 2896 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  ( A. x  e.  y 
( F `  x
)  =  ( G `
 x )  <->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )
53, 4imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  (
( A. x  e.  y  ( ( F `
 x )  =  ( B `  ( F  |`  x ) )  /\  ( G `  x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) )  ->  A. x  e.  y  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) )  <-> 
( A. x  e.  A  ( ( F `
 x )  =  ( B `  ( F  |`  x ) )  /\  ( G `  x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) )  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) ) )
62, 5imbi12d 312 . . . 4  |-  ( y  =  A  ->  (
( y  C_  A  ->  ( A. x  e.  y  ( ( F `
 x )  =  ( B `  ( F  |`  x ) )  /\  ( G `  x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) )  ->  A. x  e.  y  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  <->  ( A  C_  A  ->  ( A. x  e.  A  ( ( F `  x )  =  ( B `  ( F  |`  x ) )  /\  ( G `
 x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) )  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) ) ) )
76imbi2d 308 . . 3  |-  ( y  =  A  ->  (
( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A
)  ->  ( y  C_  A  ->  ( A. x  e.  y  (
( F `  x
)  =  ( B `
 ( F  |`  x ) )  /\  ( G `  x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) )  ->  A. x  e.  y  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) ) )  <->  ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A )  ->  ( A  C_  A  ->  ( A. x  e.  A  ( ( F `
 x )  =  ( B `  ( F  |`  x ) )  /\  ( G `  x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) )  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) ) ) ) )
8 sseq1 3361 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  (
y  C_  A  <->  z  C_  A ) )
98anbi2d 685 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A
)  /\  y  C_  A )  <->  ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A )  /\  z  C_  A ) ) )
10 raleq 2896 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  ( A. x  e.  y 
( ( F `  x )  =  ( B `  ( F  |`  x ) )  /\  ( G `  x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) )  <->  A. x  e.  z  ( ( F `  x )  =  ( B `  ( F  |`  x ) )  /\  ( G `
 x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) ) ) )
119, 10anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  (
( ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A )  /\  y  C_  A )  /\  A. x  e.  y  (
( F `  x
)  =  ( B `
 ( F  |`  x ) )  /\  ( G `  x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) ) )  <->  ( (
( F  Fn  A  /\  G  Fn  A
)  /\  z  C_  A )  /\  A. x  e.  z  (
( F `  x
)  =  ( B `
 ( F  |`  x ) )  /\  ( G `  x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) ) ) ) )
12 raleq 2896 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  ( A. x  e.  y 
( F `  x
)  =  ( G `
 x )  <->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )
1311, 12imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  (
( ( ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A )  /\  y  C_  A )  /\  A. x  e.  y  ( ( F `
 x )  =  ( B `  ( F  |`  x ) )  /\  ( G `  x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) ) )  ->  A. x  e.  y  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )  <->  ( ( ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A
)  /\  z  C_  A )  /\  A. x  e.  z  (
( F `  x
)  =  ( B `
 ( F  |`  x ) )  /\  ( G `  x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) ) )  ->  A. x  e.  z 
( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) ) )
14 ralim 2769 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  y  (
( ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A )  /\  z  C_  A )  /\  A. x  e.  z  (
( F `  x
)  =  ( B `
 ( F  |`  x ) )  /\  ( G `  x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) ) )  ->  A. x  e.  z 
( F `  x
)  =  ( G `
 x ) )  ->  ( A. z  e.  y  ( (
( F  Fn  A  /\  G  Fn  A
)  /\  z  C_  A )  /\  A. x  e.  z  (
( F `  x
)  =  ( B `
 ( F  |`  x ) )  /\  ( G `  x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) ) )  ->  A. z  e.  y  A. x  e.  z 
( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )
15 onelss 4615 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  On  ->  (
z  e.  y  -> 
z  C_  y )
)
16 sstr2 3347 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z 
C_  y  ->  (
y  C_  A  ->  z 
C_  A ) )
1716anim2d 549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z 
C_  y  ->  (
( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A
)  /\  y  C_  A )  ->  (
( F  Fn  A  /\  G  Fn  A
)  /\  z  C_  A ) ) )
18 ssralv 3399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z 
C_  y  ->  ( A. x  e.  y 
( ( F `  x )  =  ( B `  ( F  |`  x ) )  /\  ( G `  x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) )  ->  A. x  e.  z  ( ( F `  x )  =  ( B `  ( F  |`  x ) )  /\  ( G `
 x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) ) ) )
1917, 18anim12d 547 . . . . . . . . . 10  |-  ( z 
C_  y  ->  (
( ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A )  /\  y  C_  A )  /\  A. x  e.  y  (
( F `  x
)  =  ( B `
 ( F  |`  x ) )  /\  ( G `  x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) ) )  -> 
( ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A )  /\  z  C_  A )  /\  A. x  e.  z  (
( F `  x
)  =  ( B `
 ( F  |`  x ) )  /\  ( G `  x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) ) ) ) )
2015, 19syl6 31 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  On  ->  (
z  e.  y  -> 
( ( ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A )  /\  y  C_  A )  /\  A. x  e.  y  ( ( F `
 x )  =  ( B `  ( F  |`  x ) )  /\  ( G `  x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) ) )  ->  ( (
( F  Fn  A  /\  G  Fn  A
)  /\  z  C_  A )  /\  A. x  e.  z  (
( F `  x
)  =  ( B `
 ( F  |`  x ) )  /\  ( G `  x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) ) ) ) ) )
2120com23 74 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  On  ->  (
( ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A )  /\  y  C_  A )  /\  A. x  e.  y  (
( F `  x
)  =  ( B `
 ( F  |`  x ) )  /\  ( G `  x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) ) )  -> 
( z  e.  y  ->  ( ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A )  /\  z  C_  A )  /\  A. x  e.  z  ( ( F `
 x )  =  ( B `  ( F  |`  x ) )  /\  ( G `  x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) ) ) ) ) )
2221ralrimdv 2787 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  On  ->  (
( ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A )  /\  y  C_  A )  /\  A. x  e.  y  (
( F `  x
)  =  ( B `
 ( F  |`  x ) )  /\  ( G `  x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) ) )  ->  A. z  e.  y 
( ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A )  /\  z  C_  A )  /\  A. x  e.  z  (
( F `  x
)  =  ( B `
 ( F  |`  x ) )  /\  ( G `  x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) ) ) ) )
23 nfra1 2748 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x A. x  e.  z 
( F `  x
)  =  ( G `
 x )
24 nfv 1629 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ z A. w  e.  x  ( F `  w )  =  ( G `  w )
25 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  w  ->  ( F `  x )  =  ( F `  w ) )
26 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  w  ->  ( G `  x )  =  ( G `  w ) )
2725, 26eqeq12d 2449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  (
( F `  x
)  =  ( G `
 x )  <->  ( F `  w )  =  ( G `  w ) ) )
2827cbvralv 2924 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x )  <->  A. w  e.  z  ( F `  w )  =  ( G `  w ) )
29 raleq 2896 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  x  ->  ( A. w  e.  z 
( F `  w
)  =  ( G `
 w )  <->  A. w  e.  x  ( F `  w )  =  ( G `  w ) ) )
3028, 29syl5bb 249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  x  ->  ( A. x  e.  z 
( F `  x
)  =  ( G `
 x )  <->  A. w  e.  x  ( F `  w )  =  ( G `  w ) ) )
3123, 24, 30cbvral 2920 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z  e.  y  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x )  <->  A. x  e.  y  A. w  e.  x  ( F `  w )  =  ( G `  w ) )
32 onelss 4615 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  On  ->  (
x  e.  y  ->  x  C_  y ) )
33 sstr2 3347 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x 
C_  y  ->  (
y  C_  A  ->  x 
C_  A ) )
34 fvreseq 5825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A
)  /\  x  C_  A
)  ->  ( ( F  |`  x )  =  ( G  |`  x
)  <->  A. w  e.  x  ( F `  w )  =  ( G `  w ) ) )
3534biimpar 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A
)  /\  x  C_  A
)  /\  A. w  e.  x  ( F `  w )  =  ( G `  w ) )  ->  ( F  |`  x )  =  ( G  |`  x )
)
3635fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A
)  /\  x  C_  A
)  /\  A. w  e.  x  ( F `  w )  =  ( G `  w ) )  ->  ( B `  ( F  |`  x
) )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) )
37 eqeq12 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( F `  x
)  =  ( B `
 ( F  |`  x ) )  /\  ( G `  x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) )  ->  (
( F `  x
)  =  ( G `
 x )  <->  ( B `  ( F  |`  x
) )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) ) )
3836, 37syl5ibr 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F `  x
)  =  ( B `
 ( F  |`  x ) )  /\  ( G `  x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) )  ->  (
( ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A )  /\  x  C_  A )  /\  A. w  e.  x  ( F `  w )  =  ( G `  w ) )  -> 
( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )
3938exp4c 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F `  x
)  =  ( B `
 ( F  |`  x ) )  /\  ( G `  x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) )  ->  (
( F  Fn  A  /\  G  Fn  A
)  ->  ( x  C_  A  ->  ( A. w  e.  x  ( F `  w )  =  ( G `  w )  ->  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) ) ) )
4039com4l 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A )  ->  ( x  C_  A  ->  ( A. w  e.  x  ( F `  w )  =  ( G `  w )  ->  ( ( ( F `  x )  =  ( B `  ( F  |`  x ) )  /\  ( G `
 x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) )  ->  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) ) ) )
4133, 40syl9 68 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x 
C_  y  ->  (
( F  Fn  A  /\  G  Fn  A
)  ->  ( y  C_  A  ->  ( A. w  e.  x  ( F `  w )  =  ( G `  w )  ->  (
( ( F `  x )  =  ( B `  ( F  |`  x ) )  /\  ( G `  x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) )  ->  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) ) ) ) )
4232, 41syl6 31 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  On  ->  (
x  e.  y  -> 
( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A
)  ->  ( y  C_  A  ->  ( A. w  e.  x  ( F `  w )  =  ( G `  w )  ->  (
( ( F `  x )  =  ( B `  ( F  |`  x ) )  /\  ( G `  x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) )  ->  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) ) ) ) ) )
4342imp4a 573 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  On  ->  (
x  e.  y  -> 
( ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A )  /\  y  C_  A )  ->  ( A. w  e.  x  ( F `  w )  =  ( G `  w )  ->  (
( ( F `  x )  =  ( B `  ( F  |`  x ) )  /\  ( G `  x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) )  ->  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) ) ) ) )
4443com23 74 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  On  ->  (
( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A
)  /\  y  C_  A )  ->  (
x  e.  y  -> 
( A. w  e.  x  ( F `  w )  =  ( G `  w )  ->  ( ( ( F `  x )  =  ( B `  ( F  |`  x ) )  /\  ( G `
 x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) )  ->  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) ) ) ) )
4544imp31 422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  On  /\  ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A
)  /\  y  C_  A ) )  /\  x  e.  y )  ->  ( A. w  e.  x  ( F `  w )  =  ( G `  w )  ->  ( ( ( F `  x )  =  ( B `  ( F  |`  x ) )  /\  ( G `
 x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) )  ->  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) ) )
4645ralimdva 2776 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  On  /\  ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A
)  /\  y  C_  A ) )  -> 
( A. x  e.  y  A. w  e.  x  ( F `  w )  =  ( G `  w )  ->  A. x  e.  y  ( ( ( F `
 x )  =  ( B `  ( F  |`  x ) )  /\  ( G `  x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) )  ->  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) ) )
47 ralim 2769 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  y  (
( ( F `  x )  =  ( B `  ( F  |`  x ) )  /\  ( G `  x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) )  ->  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )  -> 
( A. x  e.  y  ( ( F `
 x )  =  ( B `  ( F  |`  x ) )  /\  ( G `  x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) )  ->  A. x  e.  y  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )
4846, 47syl6 31 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  On  /\  ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A
)  /\  y  C_  A ) )  -> 
( A. x  e.  y  A. w  e.  x  ( F `  w )  =  ( G `  w )  ->  ( A. x  e.  y  ( ( F `  x )  =  ( B `  ( F  |`  x ) )  /\  ( G `
 x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) )  ->  A. x  e.  y  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) ) )
4931, 48syl5bi 209 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  On  /\  ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A
)  /\  y  C_  A ) )  -> 
( A. z  e.  y  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x )  ->  ( A. x  e.  y  ( ( F `  x )  =  ( B `  ( F  |`  x ) )  /\  ( G `
 x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) )  ->  A. x  e.  y  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) ) )
5049ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  On  ->  (
( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A
)  /\  y  C_  A )  ->  ( A. z  e.  y  A. x  e.  z 
( F `  x
)  =  ( G `
 x )  -> 
( A. x  e.  y  ( ( F `
 x )  =  ( B `  ( F  |`  x ) )  /\  ( G `  x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) )  ->  A. x  e.  y  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) ) ) )
5150com23 74 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  On  ->  ( A. z  e.  y  A. x  e.  z 
( F `  x
)  =  ( G `
 x )  -> 
( ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A )  /\  y  C_  A )  ->  ( A. x  e.  y 
( ( F `  x )  =  ( B `  ( F  |`  x ) )  /\  ( G `  x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) )  ->  A. x  e.  y  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) ) ) )
5251imp4a 573 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  On  ->  ( A. z  e.  y  A. x  e.  z 
( F `  x
)  =  ( G `
 x )  -> 
( ( ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A )  /\  y  C_  A )  /\  A. x  e.  y  ( ( F `
 x )  =  ( B `  ( F  |`  x ) )  /\  ( G `  x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) ) )  ->  A. x  e.  y  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) ) )
5322, 52imim12d 70 . . . . . 6  |-  ( y  e.  On  ->  (
( A. z  e.  y  ( ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A )  /\  z  C_  A )  /\  A. x  e.  z  ( ( F `
 x )  =  ( B `  ( F  |`  x ) )  /\  ( G `  x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) ) )  ->  A. z  e.  y  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )  ->  ( (
( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A
)  /\  y  C_  A )  /\  A. x  e.  y  (
( F `  x
)  =  ( B `
 ( F  |`  x ) )  /\  ( G `  x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) ) )  -> 
( ( ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A )  /\  y  C_  A )  /\  A. x  e.  y  ( ( F `
 x )  =  ( B `  ( F  |`  x ) )  /\  ( G `  x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) ) )  ->  A. x  e.  y  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) ) ) )
54 pm2.43 49 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A )  /\  y  C_  A )  /\  A. x  e.  y  (
( F `  x
)  =  ( B `
 ( F  |`  x ) )  /\  ( G `  x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) ) )  -> 
( ( ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A )  /\  y  C_  A )  /\  A. x  e.  y  ( ( F `
 x )  =  ( B `  ( F  |`  x ) )  /\  ( G `  x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) ) )  ->  A. x  e.  y  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  ->  (
( ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A )  /\  y  C_  A )  /\  A. x  e.  y  (
( F `  x
)  =  ( B `
 ( F  |`  x ) )  /\  ( G `  x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) ) )  ->  A. x  e.  y 
( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )
5514, 53, 54syl56 32 . . . . 5  |-  ( y  e.  On  ->  ( A. z  e.  y 
( ( ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A )  /\  z  C_  A )  /\  A. x  e.  z  ( ( F `
 x )  =  ( B `  ( F  |`  x ) )  /\  ( G `  x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) ) )  ->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )  ->  ( (
( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A
)  /\  y  C_  A )  /\  A. x  e.  y  (
( F `  x
)  =  ( B `
 ( F  |`  x ) )  /\  ( G `  x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) ) )  ->  A. x  e.  y 
( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) ) )
5613, 55tfis2 4828 . . . 4  |-  ( y  e.  On  ->  (
( ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A )  /\  y  C_  A )  /\  A. x  e.  y  (
( F `  x
)  =  ( B `
 ( F  |`  x ) )  /\  ( G `  x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) ) )  ->  A. x  e.  y 
( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )
5756exp4c 592 . . 3  |-  ( y  e.  On  ->  (
( F  Fn  A  /\  G  Fn  A
)  ->  ( y  C_  A  ->  ( A. x  e.  y  (
( F `  x
)  =  ( B `
 ( F  |`  x ) )  /\  ( G `  x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) )  ->  A. x  e.  y  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) ) ) )
587, 57vtoclga 3009 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  (
( F  Fn  A  /\  G  Fn  A
)  ->  ( A  C_  A  ->  ( A. x  e.  A  (
( F `  x
)  =  ( B `
 ( F  |`  x ) )  /\  ( G `  x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) )  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) ) ) )
591, 58mpii 41 1  |-  ( A  e.  On  ->  (
( F  Fn  A  /\  G  Fn  A
)  ->  ( A. x  e.  A  (
( F `  x
)  =  ( B `
 ( F  |`  x ) )  /\  ( G `  x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) )  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697    C_ wss 3312   Oncon0 4573    |` cres 4872    Fn wfn 5441   ` cfv 5446
This theorem is referenced by:  tfrlem2  6629
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-fv 5454
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