MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgcl Unicode version

Theorem tgcl 16993
Description: Show that a basis generates a topology. Remark in [Munkres] p. 79. (Contributed by NM, 17-Jul-2006.)
Assertion
Ref Expression
tgcl  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( topGen `  B
)  e.  Top )

Proof of Theorem tgcl
Dummy variables  x  y  z  u  t 
v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniss 4000 . . . . . . . 8  |-  ( u 
C_  ( topGen `  B
)  ->  U. u  C_ 
U. ( topGen `  B
) )
21adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  u  C_  ( topGen `  B )
)  ->  U. u  C_ 
U. ( topGen `  B
) )
3 unitg 16991 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  TopBases  ->  U. ( topGen `  B
)  =  U. B
)
43adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  u  C_  ( topGen `  B )
)  ->  U. ( topGen `
 B )  = 
U. B )
52, 4sseqtrd 3348 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  u  C_  ( topGen `  B )
)  ->  U. u  C_ 
U. B )
6 eluni2 3983 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  U. u  <->  E. t  e.  u  x  e.  t )
7 ssel2 3307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  C_  ( topGen `  B )  /\  t  e.  u )  ->  t  e.  ( topGen `  B )
)
8 eltg2b 16983 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( t  e.  ( topGen `  B )  <->  A. x  e.  t  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  y  C_  t ) ) )
9 rsp 2730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  t  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  y  C_  t )  -> 
( x  e.  t  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  t ) ) )
108, 9syl6bi 220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( t  e.  ( topGen `  B )  ->  ( x  e.  t  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  t ) ) ) )
1110imp31 422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  t  e.  ( topGen `  B ) )  /\  x  e.  t )  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  t ) )
1211an32s 780 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  x  e.  t )  /\  t  e.  ( topGen `
 B ) )  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  t ) )
137, 12sylan2 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  x  e.  t )  /\  ( u  C_  ( topGen `
 B )  /\  t  e.  u )
)  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  t ) )
1413an42s 801 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  u  C_  ( topGen `  B
) )  /\  (
t  e.  u  /\  x  e.  t )
)  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  t ) )
15 elssuni 4007 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  e.  u  ->  t  C_ 
U. u )
16 sstr2 3319 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y 
C_  t  ->  (
t  C_  U. u  ->  y  C_  U. u
) )
1715, 16syl5com 28 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  u  ->  (
y  C_  t  ->  y 
C_  U. u ) )
1817anim2d 549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  e.  u  ->  (
( x  e.  y  /\  y  C_  t
)  ->  ( x  e.  y  /\  y  C_ 
U. u ) ) )
1918reximdv 2781 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  u  ->  ( E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  t )  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  U. u
) ) )
2019ad2antrl 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  u  C_  ( topGen `  B
) )  /\  (
t  e.  u  /\  x  e.  t )
)  ->  ( E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  y  C_  t )  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  U. u
) ) )
2114, 20mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  u  C_  ( topGen `  B
) )  /\  (
t  e.  u  /\  x  e.  t )
)  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_ 
U. u ) )
2221rexlimdvaa 2795 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  u  C_  ( topGen `  B )
)  ->  ( E. t  e.  u  x  e.  t  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_ 
U. u ) ) )
236, 22syl5bi 209 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  u  C_  ( topGen `  B )
)  ->  ( x  e.  U. u  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_ 
U. u ) ) )
2423ralrimiv 2752 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  u  C_  ( topGen `  B )
)  ->  A. x  e.  U. u E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_ 
U. u ) )
255, 24jca 519 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  u  C_  ( topGen `  B )
)  ->  ( U. u  C_  U. B  /\  A. x  e.  U. u E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  U. u
) ) )
2625ex 424 . . . 4  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( u  C_  ( topGen `  B )  ->  ( U. u  C_  U. B  /\  A. x  e.  U. u E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_ 
U. u ) ) ) )
27 eltg2 16982 . . . 4  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( U. u  e.  ( topGen `  B )  <->  ( U. u  C_  U. B  /\  A. x  e.  U. u E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  U. u
) ) ) )
2826, 27sylibrd 226 . . 3  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( u  C_  ( topGen `  B )  ->  U. u  e.  (
topGen `  B ) ) )
2928alrimiv 1638 . 2  |-  ( B  e.  TopBases  ->  A. u ( u 
C_  ( topGen `  B
)  ->  U. u  e.  ( topGen `  B )
) )
30 inss1 3525 . . . . . . . 8  |-  ( u  i^i  v )  C_  u
31 tg1 16988 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( topGen `  B
)  ->  u  C_  U. B
)
3230, 31syl5ss 3323 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( topGen `  B
)  ->  ( u  i^i  v )  C_  U. B
)
3332ad2antrl 709 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  (
u  e.  ( topGen `  B )  /\  v  e.  ( topGen `  B )
) )  ->  (
u  i^i  v )  C_ 
U. B )
34 eltg2 16982 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( u  e.  ( topGen `  B )  <->  ( u  C_  U. B  /\  A. x  e.  u  E. z  e.  B  (
x  e.  z  /\  z  C_  u ) ) ) )
3534simplbda 608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  u  e.  ( topGen `  B )
)  ->  A. x  e.  u  E. z  e.  B  ( x  e.  z  /\  z  C_  u ) )
36 rsp 2730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  u  E. z  e.  B  (
x  e.  z  /\  z  C_  u )  -> 
( x  e.  u  ->  E. z  e.  B  ( x  e.  z  /\  z  C_  u ) ) )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  u  e.  ( topGen `  B )
)  ->  ( x  e.  u  ->  E. z  e.  B  ( x  e.  z  /\  z  C_  u ) ) )
38 eltg2 16982 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( v  e.  ( topGen `  B )  <->  ( v  C_  U. B  /\  A. x  e.  v  E. w  e.  B  (
x  e.  w  /\  w  C_  v ) ) ) )
3938simplbda 608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  v  e.  ( topGen `  B )
)  ->  A. x  e.  v  E. w  e.  B  ( x  e.  w  /\  w  C_  v ) )
40 rsp 2730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  v  E. w  e.  B  (
x  e.  w  /\  w  C_  v )  -> 
( x  e.  v  ->  E. w  e.  B  ( x  e.  w  /\  w  C_  v ) ) )
4139, 40syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  v  e.  ( topGen `  B )
)  ->  ( x  e.  v  ->  E. w  e.  B  ( x  e.  w  /\  w  C_  v ) ) )
4237, 41im2anan9 809 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  u  e.  ( topGen `  B ) )  /\  ( B  e.  TopBases  /\  v  e.  ( topGen `  B )
) )  ->  (
( x  e.  u  /\  x  e.  v
)  ->  ( E. z  e.  B  (
x  e.  z  /\  z  C_  u )  /\  E. w  e.  B  ( x  e.  w  /\  w  C_  v ) ) ) )
43 elin 3494 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( u  i^i  v )  <->  ( x  e.  u  /\  x  e.  v ) )
44 reeanv 2839 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  e.  B  E. w  e.  B  (
( x  e.  z  /\  z  C_  u
)  /\  ( x  e.  w  /\  w  C_  v ) )  <->  ( E. z  e.  B  (
x  e.  z  /\  z  C_  u )  /\  E. w  e.  B  ( x  e.  w  /\  w  C_  v ) ) )
4542, 43, 443imtr4g 262 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  u  e.  ( topGen `  B ) )  /\  ( B  e.  TopBases  /\  v  e.  ( topGen `  B )
) )  ->  (
x  e.  ( u  i^i  v )  ->  E. z  e.  B  E. w  e.  B  ( ( x  e.  z  /\  z  C_  u )  /\  (
x  e.  w  /\  w  C_  v ) ) ) )
4645anandis 804 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  (
u  e.  ( topGen `  B )  /\  v  e.  ( topGen `  B )
) )  ->  (
x  e.  ( u  i^i  v )  ->  E. z  e.  B  E. w  e.  B  ( ( x  e.  z  /\  z  C_  u )  /\  (
x  e.  w  /\  w  C_  v ) ) ) )
47 elin 3494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( z  i^i  w )  <->  ( x  e.  z  /\  x  e.  w ) )
4847biimpri 198 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  z  /\  x  e.  w )  ->  x  e.  ( z  i^i  w ) )
49 ss2in 3532 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  C_  u  /\  w  C_  v )  -> 
( z  i^i  w
)  C_  ( u  i^i  v ) )
5048, 49anim12i 550 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  z  /\  x  e.  w
)  /\  ( z  C_  u  /\  w  C_  v ) )  -> 
( x  e.  ( z  i^i  w )  /\  ( z  i^i  w )  C_  (
u  i^i  v )
) )
5150an4s 800 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  z  /\  z  C_  u
)  /\  ( x  e.  w  /\  w  C_  v ) )  -> 
( x  e.  ( z  i^i  w )  /\  ( z  i^i  w )  C_  (
u  i^i  v )
) )
52 basis2 16975 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  z  e.  B )  /\  ( w  e.  B  /\  x  e.  (
z  i^i  w )
) )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( z  i^i  w
) ) )
5352adantllr 700 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  x  e.  ( u  i^i  v ) )  /\  z  e.  B )  /\  (
w  e.  B  /\  x  e.  ( z  i^i  w ) ) )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( z  i^i  w ) ) )
5453adantrrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  x  e.  ( u  i^i  v ) )  /\  z  e.  B )  /\  (
w  e.  B  /\  ( x  e.  (
z  i^i  w )  /\  ( z  i^i  w
)  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( z  i^i  w
) ) )
55 sstr2 3319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( t 
C_  ( z  i^i  w )  ->  (
( z  i^i  w
)  C_  ( u  i^i  v )  ->  t  C_  ( u  i^i  v
) ) )
5655com12 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  i^i  w ) 
C_  ( u  i^i  v )  ->  (
t  C_  ( z  i^i  w )  ->  t  C_  ( u  i^i  v
) ) )
5756anim2d 549 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  i^i  w ) 
C_  ( u  i^i  v )  ->  (
( x  e.  t  /\  t  C_  (
z  i^i  w )
)  ->  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v
) ) ) )
5857reximdv 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  i^i  w ) 
C_  ( u  i^i  v )  ->  ( E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( z  i^i  w ) )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )
5958adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( z  i^i  w )  /\  ( z  i^i  w
)  C_  ( u  i^i  v ) )  -> 
( E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( z  i^i  w
) )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v
) ) ) )
6059ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  x  e.  ( u  i^i  v ) )  /\  z  e.  B )  /\  (
w  e.  B  /\  ( x  e.  (
z  i^i  w )  /\  ( z  i^i  w
)  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )  ->  ( E. t  e.  B  (
x  e.  t  /\  t  C_  ( z  i^i  w ) )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )
6154, 60mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  x  e.  ( u  i^i  v ) )  /\  z  e.  B )  /\  (
w  e.  B  /\  ( x  e.  (
z  i^i  w )  /\  ( z  i^i  w
)  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v
) ) )
6251, 61sylanr2 635 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  x  e.  ( u  i^i  v ) )  /\  z  e.  B )  /\  (
w  e.  B  /\  ( ( x  e.  z  /\  z  C_  u )  /\  (
x  e.  w  /\  w  C_  v ) ) ) )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v
) ) )
6362rexlimdvaa 2795 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  x  e.  ( u  i^i  v ) )  /\  z  e.  B )  ->  ( E. w  e.  B  ( ( x  e.  z  /\  z  C_  u )  /\  (
x  e.  w  /\  w  C_  v ) )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )
6463rexlimdva 2794 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  x  e.  ( u  i^i  v
) )  ->  ( E. z  e.  B  E. w  e.  B  ( ( x  e.  z  /\  z  C_  u )  /\  (
x  e.  w  /\  w  C_  v ) )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )
6564ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( x  e.  ( u  i^i  v
)  ->  ( E. z  e.  B  E. w  e.  B  (
( x  e.  z  /\  z  C_  u
)  /\  ( x  e.  w  /\  w  C_  v ) )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) ) )
6665a2d 24 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( ( x  e.  ( u  i^i  v )  ->  E. z  e.  B  E. w  e.  B  ( (
x  e.  z  /\  z  C_  u )  /\  ( x  e.  w  /\  w  C_  v ) ) )  ->  (
x  e.  ( u  i^i  v )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) ) )
6766imp 419 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  (
x  e.  ( u  i^i  v )  ->  E. z  e.  B  E. w  e.  B  ( ( x  e.  z  /\  z  C_  u )  /\  (
x  e.  w  /\  w  C_  v ) ) ) )  ->  (
x  e.  ( u  i^i  v )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )
6846, 67syldan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  (
u  e.  ( topGen `  B )  /\  v  e.  ( topGen `  B )
) )  ->  (
x  e.  ( u  i^i  v )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )
6968ralrimiv 2752 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  (
u  e.  ( topGen `  B )  /\  v  e.  ( topGen `  B )
) )  ->  A. x  e.  ( u  i^i  v
) E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v
) ) )
7033, 69jca 519 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  (
u  e.  ( topGen `  B )  /\  v  e.  ( topGen `  B )
) )  ->  (
( u  i^i  v
)  C_  U. B  /\  A. x  e.  ( u  i^i  v ) E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )
7170ex 424 . . . 4  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( ( u  e.  ( topGen `  B
)  /\  v  e.  ( topGen `  B )
)  ->  ( (
u  i^i  v )  C_ 
U. B  /\  A. x  e.  ( u  i^i  v ) E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v
) ) ) ) )
72 eltg2 16982 . . . 4  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( ( u  i^i  v )  e.  ( topGen `  B )  <->  ( ( u  i^i  v
)  C_  U. B  /\  A. x  e.  ( u  i^i  v ) E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) ) )
7371, 72sylibrd 226 . . 3  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( ( u  e.  ( topGen `  B
)  /\  v  e.  ( topGen `  B )
)  ->  ( u  i^i  v )  e.  (
topGen `  B ) ) )
7473ralrimivv 2761 . 2  |-  ( B  e.  TopBases  ->  A. u  e.  (
topGen `  B ) A. v  e.  ( topGen `  B ) ( u  i^i  v )  e.  ( topGen `  B )
)
75 fvex 5705 . . 3  |-  ( topGen `  B )  e.  _V
76 istopg 16927 . . 3  |-  ( (
topGen `  B )  e. 
_V  ->  ( ( topGen `  B )  e.  Top  <->  ( A. u ( u  C_  ( topGen `  B )  ->  U. u  e.  (
topGen `  B ) )  /\  A. u  e.  ( topGen `  B ) A. v  e.  ( topGen `
 B ) ( u  i^i  v )  e.  ( topGen `  B
) ) ) )
7775, 76ax-mp 8 . 2  |-  ( (
topGen `  B )  e. 
Top 
<->  ( A. u ( u  C_  ( topGen `  B )  ->  U. u  e.  ( topGen `  B )
)  /\  A. u  e.  ( topGen `  B ) A. v  e.  ( topGen `
 B ) ( u  i^i  v )  e.  ( topGen `  B
) ) )
7829, 74, 77sylanbrc 646 1  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( topGen `  B
)  e.  Top )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1546    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2670   E.wrex 2671   _Vcvv 2920    i^i cin 3283    C_ wss 3284   U.cuni 3979   ` cfv 5417   topGenctg 13624   Topctop 16917   TopBasesctb 16921
This theorem is referenced by:  tgclb  16994  tgtopon  16995  bastop  17005  elcls3  17106  resttop  17182  leordtval2  17234  tgcmp  17422  2ndctop  17467  2ndcsb  17469  2ndcsep  17479  txtop  17558  pttop  17571  xkotop  17577  alexsubALT  18039  retop  18752  onsuctop  26091  kelac2lem  27034
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-ral 2675  df-rex 2676  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-op 3787  df-uni 3980  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-id 4462  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fv 5425  df-topgen 13626  df-top 16922  df-bases 16924
  Copyright terms: Public domain W3C validator