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Theorem tgcmp 17379
Description: A topology generated by a basis is compact iff open covers drawn from the basis have finite subcovers. (See also alexsub 17990, which further specializes to subbases, assuming the ultrafilter lemma.) (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgcmp  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  -> 
( ( topGen `  B
)  e.  Comp  <->  A. y  e.  ~P  B ( X  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z
) ) )
Distinct variable groups:    y, z, B    y, X, z

Proof of Theorem tgcmp
Dummy variables  t 
f  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2380 . . . . 5  |-  U. ( topGen `
 B )  = 
U. ( topGen `  B
)
21iscmp 17366 . . . 4  |-  ( (
topGen `  B )  e. 
Comp 
<->  ( ( topGen `  B
)  e.  Top  /\  A. y  e.  ~P  ( topGen `
 B ) ( U. ( topGen `  B
)  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) U. ( topGen `  B
)  =  U. z
) ) )
32simprbi 451 . . 3  |-  ( (
topGen `  B )  e. 
Comp  ->  A. y  e.  ~P  ( topGen `  B )
( U. ( topGen `  B )  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) U. ( topGen `  B
)  =  U. z
) )
4 unitg 16948 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  TopBases  ->  U. ( topGen `  B
)  =  U. B
)
5 eqtr3 2399 . . . . . . . 8  |-  ( ( U. ( topGen `  B
)  =  U. B  /\  X  =  U. B )  ->  U. ( topGen `
 B )  =  X )
64, 5sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  ->  U. ( topGen `  B )  =  X )
76eqeq1d 2388 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  -> 
( U. ( topGen `  B )  =  U. y 
<->  X  =  U. y
) )
86eqeq1d 2388 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  -> 
( U. ( topGen `  B )  =  U. z 
<->  X  =  U. z
) )
98rexbidv 2663 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  -> 
( E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. ( topGen `
 B )  = 
U. z  <->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) X  = 
U. z ) )
107, 9imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  -> 
( ( U. ( topGen `
 B )  = 
U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. ( topGen `
 B )  = 
U. z )  <->  ( X  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) X  = 
U. z ) ) )
1110ralbidv 2662 . . . 4  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  -> 
( A. y  e. 
~P  ( topGen `  B
) ( U. ( topGen `
 B )  = 
U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. ( topGen `
 B )  = 
U. z )  <->  A. y  e.  ~P  ( topGen `  B
) ( X  = 
U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) X  = 
U. z ) ) )
12 bastg 16947 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  TopBases  ->  B  C_  ( topGen `
 B ) )
1312adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  ->  B  C_  ( topGen `  B
) )
14 sspwb 4347 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  ( topGen `  B
)  <->  ~P B  C_  ~P ( topGen `  B )
)
1513, 14sylib 189 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  ->  ~P B  C_  ~P ( topGen `
 B ) )
16 ssralv 3343 . . . . 5  |-  ( ~P B  C_  ~P ( topGen `
 B )  -> 
( A. y  e. 
~P  ( topGen `  B
) ( X  = 
U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) X  = 
U. z )  ->  A. y  e.  ~P  B ( X  = 
U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) X  = 
U. z ) ) )
1715, 16syl 16 . . . 4  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  -> 
( A. y  e. 
~P  ( topGen `  B
) ( X  = 
U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) X  = 
U. z )  ->  A. y  e.  ~P  B ( X  = 
U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) X  = 
U. z ) ) )
1811, 17sylbid 207 . . 3  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  -> 
( A. y  e. 
~P  ( topGen `  B
) ( U. ( topGen `
 B )  = 
U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. ( topGen `
 B )  = 
U. z )  ->  A. y  e.  ~P  B ( X  = 
U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) X  = 
U. z ) ) )
193, 18syl5 30 . 2  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  -> 
( ( topGen `  B
)  e.  Comp  ->  A. y  e.  ~P  B
( X  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z ) ) )
20 elpwi 3743 . . . . 5  |-  ( u  e.  ~P ( topGen `  B )  ->  u  C_  ( topGen `  B )
)
21 simprr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  /\  ( u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  ->  X  =  U. u
)
22 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  /\  ( u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  ->  u  C_  ( topGen `  B
) )
2322sselda 3284 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  X  =  U. B )  /\  (
u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  /\  t  e.  u
)  ->  t  e.  ( topGen `  B )
)
2423adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  X  =  U. B )  /\  (
u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  /\  ( t  e.  u  /\  y  e.  t ) )  -> 
t  e.  ( topGen `  B ) )
25 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  X  =  U. B )  /\  (
u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  /\  ( t  e.  u  /\  y  e.  t ) )  -> 
y  e.  t )
26 tg2 16946 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( t  e.  ( topGen `  B )  /\  y  e.  t )  ->  E. w  e.  B  ( y  e.  w  /\  w  C_  t ) )
2724, 25, 26syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  X  =  U. B )  /\  (
u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  /\  ( t  e.  u  /\  y  e.  t ) )  ->  E. w  e.  B  ( y  e.  w  /\  w  C_  t ) )
2827expr 599 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  X  =  U. B )  /\  (
u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  /\  t  e.  u
)  ->  ( y  e.  t  ->  E. w  e.  B  ( y  e.  w  /\  w  C_  t ) ) )
2928reximdva 2754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  /\  ( u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  -> 
( E. t  e.  u  y  e.  t  ->  E. t  e.  u  E. w  e.  B  ( y  e.  w  /\  w  C_  t ) ) )
30 eluni2 3954 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  U. u  <->  E. t  e.  u  y  e.  t )
31 elunirab 3963 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  U. { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  <->  E. w  e.  B  ( y  e.  w  /\  E. t  e.  u  w  C_  t
) )
32 r19.42v 2798 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. t  e.  u  ( y  e.  w  /\  w  C_  t )  <->  ( y  e.  w  /\  E. t  e.  u  w  C_  t
) )
3332rexbii 2667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. w  e.  B  E. t  e.  u  (
y  e.  w  /\  w  C_  t )  <->  E. w  e.  B  ( y  e.  w  /\  E. t  e.  u  w  C_  t
) )
34 rexcom 2805 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. w  e.  B  E. t  e.  u  (
y  e.  w  /\  w  C_  t )  <->  E. t  e.  u  E. w  e.  B  ( y  e.  w  /\  w  C_  t ) )
3531, 33, 343bitr2i 265 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  U. { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  <->  E. t  e.  u  E. w  e.  B  ( y  e.  w  /\  w  C_  t ) )
3629, 30, 353imtr4g 262 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  /\  ( u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  -> 
( y  e.  U. u  ->  y  e.  U. { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t } ) )
3736ssrdv 3290 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  /\  ( u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  ->  U. u  C_  U. {
w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t } )
3821, 37eqsstrd 3318 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  /\  ( u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  ->  X  C_  U. { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t } )
39 ssrab2 3364 . . . . . . . . . . . 12  |-  { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  C_  B
4039unissi 3973 . . . . . . . . . . 11  |-  U. {
w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  C_  U. B
41 simplr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  /\  ( u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  ->  X  =  U. B )
4240, 41syl5sseqr 3333 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  /\  ( u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  ->  U. { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  C_  X )
4338, 42eqssd 3301 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  /\  ( u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  ->  X  =  U. { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t } )
44 elpw2g 4297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  e.  ~P B 
<->  { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  C_  B ) )
4544ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  /\  ( u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  -> 
( { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  e.  ~P B  <->  { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  C_  B ) )
4639, 45mpbiri 225 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  /\  ( u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  ->  { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  e.  ~P B )
47 unieq 3959 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  ->  U. y  =  U. { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t } )
4847eqeq2d 2391 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  ->  ( X  = 
U. y  <->  X  =  U. { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t } ) )
49 pweq 3738 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  ->  ~P y  =  ~P { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t } )
5049ineq1d 3477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  ->  ( ~P y  i^i  Fin )  =  ( ~P { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  i^i  Fin ) )
5150rexeqdv 2847 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  ->  ( E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) X  = 
U. z  <->  E. z  e.  ( ~P { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  i^i  Fin ) X  =  U. z ) )
5248, 51imbi12d 312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  ->  ( ( X  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z
)  <->  ( X  = 
U. { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  ->  E. z  e.  ( ~P { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  i^i  Fin ) X  =  U. z ) ) )
5352rspcv 2984 . . . . . . . . . 10  |-  ( { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  e.  ~P B  ->  ( A. y  e.  ~P  B
( X  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z )  ->  ( X  =  U. { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  ->  E. z  e.  ( ~P { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  i^i  Fin ) X  =  U. z ) ) )
5446, 53syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  /\  ( u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  -> 
( A. y  e. 
~P  B ( X  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z
)  ->  ( X  =  U. { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  ->  E. z  e.  ( ~P { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  i^i  Fin ) X  =  U. z ) ) )
5543, 54mpid 39 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  /\  ( u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  -> 
( A. y  e. 
~P  B ( X  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z
)  ->  E. z  e.  ( ~P { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  i^i  Fin ) X  =  U. z ) )
56 elfpw 7336 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( ~P {
w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  i^i  Fin )  <->  ( z  C_  { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  /\  z  e.  Fin )
)
5756simprbi 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( ~P {
w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  i^i  Fin )  ->  z  e.  Fin )
5857ad2antrl 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  X  =  U. B )  /\  (
u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  /\  ( z  e.  ( ~P { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  i^i  Fin )  /\  X  =  U. z ) )  -> 
z  e.  Fin )
5956simplbi 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( ~P {
w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  i^i  Fin )  ->  z  C_  { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t } )
6059ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  X  =  U. B )  /\  (
u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  /\  ( z  e.  ( ~P { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  i^i  Fin )  /\  X  =  U. z ) )  -> 
z  C_  { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t } )
61 ssrab 3357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z 
C_  { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t } 
<->  ( z  C_  B  /\  A. w  e.  z  E. t  e.  u  w  C_  t ) )
6261simprbi 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z 
C_  { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  ->  A. w  e.  z  E. t  e.  u  w  C_  t )
6360, 62syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  X  =  U. B )  /\  (
u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  /\  ( z  e.  ( ~P { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  i^i  Fin )  /\  X  =  U. z ) )  ->  A. w  e.  z  E. t  e.  u  w  C_  t )
64 sseq2 3306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  ( f `  w )  ->  (
w  C_  t  <->  w  C_  (
f `  w )
) )
6564ac6sfi 7280 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  Fin  /\  A. w  e.  z  E. t  e.  u  w  C_  t )  ->  E. f
( f : z --> u  /\  A. w  e.  z  w  C_  (
f `  w )
) )
6658, 63, 65syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  X  =  U. B )  /\  (
u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  /\  ( z  e.  ( ~P { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  i^i  Fin )  /\  X  =  U. z ) )  ->  E. f ( f : z --> u  /\  A. w  e.  z  w  C_  ( f `  w
) ) )
67 frn 5530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : z --> u  ->  ran  f  C_  u )
6867ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  /\  (
u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  /\  ( z  e.  ( ~P { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  i^i  Fin )  /\  X  =  U. z ) )  /\  ( f : z --> u  /\  A. w  e.  z  w  C_  (
f `  w )
) )  ->  ran  f  C_  u )
69 ffn 5524 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : z --> u  -> 
f  Fn  z )
70 dffn4 5592 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  Fn  z  <->  f :
z -onto-> ran  f )
7169, 70sylib 189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : z --> u  -> 
f : z -onto-> ran  f )
7271adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : z --> u  /\  A. w  e.  z  w  C_  (
f `  w )
)  ->  f :
z -onto-> ran  f )
73 fofi 7321 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  Fin  /\  f : z -onto-> ran  f
)  ->  ran  f  e. 
Fin )
7458, 72, 73syl2an 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  /\  (
u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  /\  ( z  e.  ( ~P { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  i^i  Fin )  /\  X  =  U. z ) )  /\  ( f : z --> u  /\  A. w  e.  z  w  C_  (
f `  w )
) )  ->  ran  f  e.  Fin )
75 elfpw 7336 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran  f  e.  ( ~P u  i^i  Fin )  <->  ( ran  f  C_  u  /\  ran  f  e.  Fin ) )
7668, 74, 75sylanbrc 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  /\  (
u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  /\  ( z  e.  ( ~P { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  i^i  Fin )  /\  X  =  U. z ) )  /\  ( f : z --> u  /\  A. w  e.  z  w  C_  (
f `  w )
) )  ->  ran  f  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) )
77 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  /\  (
u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  /\  ( z  e.  ( ~P { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  i^i  Fin )  /\  X  =  U. z ) )  /\  ( f : z --> u  /\  A. w  e.  z  w  C_  (
f `  w )
) )  ->  X  =  U. z )
78 uniiun 4078 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U. z  =  U_ w  e.  z  w
79 ss2iun 4043 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. w  e.  z  w  C_  ( f `  w
)  ->  U_ w  e.  z  w  C_  U_ w  e.  z  ( f `  w ) )
8078, 79syl5eqss 3328 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. w  e.  z  w  C_  ( f `  w
)  ->  U. z  C_ 
U_ w  e.  z  ( f `  w
) )
8180ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  /\  (
u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  /\  ( z  e.  ( ~P { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  i^i  Fin )  /\  X  =  U. z ) )  /\  ( f : z --> u  /\  A. w  e.  z  w  C_  (
f `  w )
) )  ->  U. z  C_ 
U_ w  e.  z  ( f `  w
) )
82 fniunfv 5926 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  Fn  z  ->  U_ w  e.  z  ( f `  w )  =  U. ran  f )
8369, 82syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : z --> u  ->  U_ w  e.  z 
( f `  w
)  =  U. ran  f )
8483ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  /\  (
u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  /\  ( z  e.  ( ~P { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  i^i  Fin )  /\  X  =  U. z ) )  /\  ( f : z --> u  /\  A. w  e.  z  w  C_  (
f `  w )
) )  ->  U_ w  e.  z  ( f `  w )  =  U. ran  f )
8581, 84sseqtrd 3320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  /\  (
u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  /\  ( z  e.  ( ~P { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  i^i  Fin )  /\  X  =  U. z ) )  /\  ( f : z --> u  /\  A. w  e.  z  w  C_  (
f `  w )
) )  ->  U. z  C_ 
U. ran  f )
8677, 85eqsstrd 3318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  /\  (
u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  /\  ( z  e.  ( ~P { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  i^i  Fin )  /\  X  =  U. z ) )  /\  ( f : z --> u  /\  A. w  e.  z  w  C_  (
f `  w )
) )  ->  X  C_ 
U. ran  f )
8768unissd 3974 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  /\  (
u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  /\  ( z  e.  ( ~P { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  i^i  Fin )  /\  X  =  U. z ) )  /\  ( f : z --> u  /\  A. w  e.  z  w  C_  (
f `  w )
) )  ->  U. ran  f  C_  U. u )
8821ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  /\  (
u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  /\  ( z  e.  ( ~P { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  i^i  Fin )  /\  X  =  U. z ) )  /\  ( f : z --> u  /\  A. w  e.  z  w  C_  (
f `  w )
) )  ->  X  =  U. u )
8987, 88sseqtr4d 3321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  /\  (
u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  /\  ( z  e.  ( ~P { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  i^i  Fin )  /\  X  =  U. z ) )  /\  ( f : z --> u  /\  A. w  e.  z  w  C_  (
f `  w )
) )  ->  U. ran  f  C_  X )
9086, 89eqssd 3301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  /\  (
u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  /\  ( z  e.  ( ~P { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  i^i  Fin )  /\  X  =  U. z ) )  /\  ( f : z --> u  /\  A. w  e.  z  w  C_  (
f `  w )
) )  ->  X  =  U. ran  f )
91 unieq 3959 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  ran  f  ->  U. v  =  U. ran  f )
9291eqeq2d 2391 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ran  f  -> 
( X  =  U. v 
<->  X  =  U. ran  f ) )
9392rspcev 2988 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ran  f  e.  ( ~P u  i^i  Fin )  /\  X  =  U. ran  f )  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) X  = 
U. v )
9476, 90, 93syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  /\  (
u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  /\  ( z  e.  ( ~P { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  i^i  Fin )  /\  X  =  U. z ) )  /\  ( f : z --> u  /\  A. w  e.  z  w  C_  (
f `  w )
) )  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) X  = 
U. v )
9566, 94exlimddv 1645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  X  =  U. B )  /\  (
u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  /\  ( z  e.  ( ~P { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  i^i  Fin )  /\  X  =  U. z ) )  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) X  =  U. v
)
9695rexlimdvaa 2767 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  /\  ( u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  -> 
( E. z  e.  ( ~P { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  i^i  Fin ) X  =  U. z  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) X  =  U. v ) )
9755, 96syld 42 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  /\  ( u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  -> 
( A. y  e. 
~P  B ( X  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z
)  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) X  = 
U. v ) )
9897expr 599 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  /\  u  C_  ( topGen `
 B ) )  ->  ( X  = 
U. u  ->  ( A. y  e.  ~P  B ( X  = 
U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) X  = 
U. z )  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) X  =  U. v
) ) )
9998com23 74 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  /\  u  C_  ( topGen `
 B ) )  ->  ( A. y  e.  ~P  B ( X  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z
)  ->  ( X  =  U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) X  = 
U. v ) ) )
10020, 99sylan2 461 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  /\  u  e.  ~P ( topGen `  B )
)  ->  ( A. y  e.  ~P  B
( X  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z )  ->  ( X  =  U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) X  =  U. v ) ) )
101100ralrimdva 2732 . . 3  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  -> 
( A. y  e. 
~P  B ( X  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z
)  ->  A. u  e.  ~P  ( topGen `  B
) ( X  = 
U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) X  = 
U. v ) ) )
102 tgcl 16950 . . . . . 6  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( topGen `  B
)  e.  Top )
103102adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  -> 
( topGen `  B )  e.  Top )
1041iscmp 17366 . . . . . 6  |-  ( (
topGen `  B )  e. 
Comp 
<->  ( ( topGen `  B
)  e.  Top  /\  A. u  e.  ~P  ( topGen `
 B ) ( U. ( topGen `  B
)  =  U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) U. ( topGen `  B
)  =  U. v
) ) )
105104baib 872 . . . . 5  |-  ( (
topGen `  B )  e. 
Top  ->  ( ( topGen `  B )  e.  Comp  <->  A. u  e.  ~P  ( topGen `
 B ) ( U. ( topGen `  B
)  =  U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) U. ( topGen `  B
)  =  U. v
) ) )
106103, 105syl 16 . . . 4  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  -> 
( ( topGen `  B
)  e.  Comp  <->  A. u  e.  ~P  ( topGen `  B
) ( U. ( topGen `
 B )  = 
U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) U. ( topGen `
 B )  = 
U. v ) ) )
1076eqeq1d 2388 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  -> 
( U. ( topGen `  B )  =  U. u 
<->  X  =  U. u
) )
1086eqeq1d 2388 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  -> 
( U. ( topGen `  B )  =  U. v 
<->  X  =  U. v
) )
109108rexbidv 2663 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  -> 
( E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) U. ( topGen `
 B )  = 
U. v  <->  E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) X  = 
U. v ) )
110107, 109imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  -> 
( ( U. ( topGen `
 B )  = 
U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) U. ( topGen `
 B )  = 
U. v )  <->  ( X  =  U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) X  = 
U. v ) ) )
111110ralbidv 2662 . . . 4  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  -> 
( A. u  e. 
~P  ( topGen `  B
) ( U. ( topGen `
 B )  = 
U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) U. ( topGen `
 B )  = 
U. v )  <->  A. u  e.  ~P  ( topGen `  B
) ( X  = 
U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) X  = 
U. v ) ) )
112106, 111bitrd 245 . . 3  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  -> 
( ( topGen `  B
)  e.  Comp  <->  A. u  e.  ~P  ( topGen `  B
) ( X  = 
U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) X  = 
U. v ) ) )
113101, 112sylibrd 226 . 2  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  -> 
( A. y  e. 
~P  B ( X  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z
)  ->  ( topGen `  B )  e.  Comp ) )
11419, 113impbid 184 1  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  -> 
( ( topGen `  B
)  e.  Comp  <->  A. y  e.  ~P  B ( X  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2642   E.wrex 2643   {crab 2646    i^i cin 3255    C_ wss 3256   ~Pcpw 3735   U.cuni 3950   U_ciun 4028   ran crn 4812    Fn wfn 5382   -->wf 5383   -onto->wfo 5385   ` cfv 5387   Fincfn 7038   topGenctg 13585   Topctop 16874   TopBasesctb 16878   Compccmp 17364
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-1o 6653  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-fin 7042  df-topgen 13587  df-top 16879  df-bases 16881  df-cmp 17365
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