MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgpsubcn Unicode version

Theorem tgpsubcn 17721
Description: In a topological group, the "subtraction" (or "division") is continuous. Axiom GT' of [BourbakiTop1] p. III.1 (Contributed by FL, 21-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpsubcn.2  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
tgpsubcn.3  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
tgpsubcn  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  .-  e.  (
( J  tX  J
)  Cn  J ) )

Proof of Theorem tgpsubcn
StepHypRef Expression
1 eqid 2256 . . 3  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
2 eqid 2256 . . 3  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
3 eqid 2256 . . 3  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
4 tgpsubcn.3 . . 3  |-  .-  =  ( -g `  G )
51, 2, 3, 4grpsubfval 14472 . 2  |-  .-  =  ( x  e.  ( Base `  G ) ,  y  e.  ( Base `  G )  |->  ( x ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 y ) ) )
6 tgpsubcn.2 . . 3  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
7 tgptmd 17710 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e. TopMnd )
86, 1tgptopon 17713 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G
) ) )
98, 8cnmpt1st 17310 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( x  e.  ( Base `  G
) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  x )  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )
108, 8cnmpt2nd 17311 . . . 4  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( x  e.  ( Base `  G
) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  y )  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )
116, 3tgpinv 17716 . . . 4  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( inv g `  G )  e.  ( J  Cn  J ) )
128, 8, 10, 11cnmpt21f 17314 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( x  e.  ( Base `  G
) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( inv g `  G ) `
 y ) )  e.  ( ( J 
tX  J )  Cn  J ) )
136, 2, 7, 8, 8, 9, 12cnmpt2plusg 17719 . 2  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( x  e.  ( Base `  G
) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( x ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G ) `  y
) ) )  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )
145, 13syl5eqel 2340 1  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  .-  e.  (
( J  tX  J
)  Cn  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621   ` cfv 4659  (class class class)co 5778    e. cmpt2 5780   Basecbs 13096   +g cplusg 13156   TopOpenctopn 13274   inv gcminusg 14311   -gcsg 14313    Cn ccn 16902    tX ctx 17203   TopGrpctgp 17702
This theorem is referenced by:  istgp2  17722  clssubg  17739  clsnsg  17740  tgphaus  17747  tgpt0  17749  divstgplem  17751
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4091  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-op 3609  df-uni 3788  df-iun 3867  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4267  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-map 6728  df-topgen 13292  df-plusf 14316  df-sbg 14439  df-top 16584  df-bases 16586  df-topon 16587  df-topsp 16588  df-cn 16905  df-tx 17205  df-tmd 17703  df-tgp 17704
  Copyright terms: Public domain W3C validator