Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tgrpabl Unicode version

Theorem tgrpabl 29741
Description: The translation group is an Abelian group. Lemma G of [Crawley] p. 116. (Contributed by NM, 6-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tgrpgrp.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
tgrpgrp.g  |-  G  =  ( ( TGrp `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
tgrpabl  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  G  e.  Abel )

Proof of Theorem tgrpabl
StepHypRef Expression
1 tgrpgrp.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 eqid 2253 . . . 4  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
3 tgrpgrp.g . . . 4  |-  G  =  ( ( TGrp `  K
) `  W )
4 eqid 2253 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
51, 2, 3, 4tgrpbase 29736 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( Base `  G
)  =  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )
65eqcomd 2258 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( LTrn `  K
) `  W )  =  ( Base `  G
) )
7 eqidd 2254 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( +g  `  G
)  =  ( +g  `  G ) )
81, 3tgrpgrp 29740 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  G  e.  Grp )
91, 2ltrncom 29728 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( f  o.  g
)  =  ( g  o.  f ) )
10 eqid 2253 . . . . . 6  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
111, 2, 3, 10tgrpov 29738 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) )  ->  ( f ( +g  `  G ) g )  =  ( f  o.  g ) )
12113expa 1156 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) )  ->  ( f ( +g  `  G ) g )  =  ( f  o.  g ) )
13123impb 1152 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( f ( +g  `  G ) g )  =  ( f  o.  g ) )
141, 2, 3, 10tgrpov 29738 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  ( g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  f  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) )  ->  ( g ( +g  `  G ) f )  =  ( g  o.  f ) )
15143expa 1156 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  f  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) )  ->  ( g ( +g  `  G ) f )  =  ( g  o.  f ) )
16153impb 1152 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  f  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( g ( +g  `  G ) f )  =  ( g  o.  f ) )
17163com23 1162 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( g ( +g  `  G ) f )  =  ( g  o.  f ) )
189, 13, 173eqtr4d 2295 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( f ( +g  `  G ) g )  =  ( g ( +g  `  G ) f ) )
196, 7, 8, 18isabld 14937 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  G  e.  Abel )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    o. ccom 4584   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   Basecbs 13022   +g cplusg 13082   Abelcabel 14925   HLchlt 28341   LHypclh 28974   LTrncltrn 29091   TGrpctgrp 29732
This theorem is referenced by:  dvaabl  30015
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-iin 3806  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-undef 6182  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-er 6546  df-map 6660  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-n 9627  df-2 9684  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-fz 10661  df-struct 13024  df-ndx 13025  df-slot 13026  df-base 13027  df-plusg 13095  df-0g 13278  df-poset 13924  df-plt 13936  df-lub 13952  df-glb 13953  df-join 13954  df-meet 13955  df-p0 13989  df-p1 13990  df-lat 13996  df-clat 14058  df-mnd 14202  df-grp 14324  df-cmn 14926  df-abl 14927  df-oposet 28167  df-ol 28169  df-oml 28170  df-covers 28257  df-ats 28258  df-atl 28289  df-cvlat 28313  df-hlat 28342  df-llines 28488  df-lplanes 28489  df-lvols 28490  df-lines 28491  df-psubsp 28493  df-pmap 28494  df-padd 28786  df-lhyp 28978  df-laut 28979  df-ldil 29094  df-ltrn 29095  df-trl 29149  df-tgrp 29733
  Copyright terms: Public domain W3C validator