Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tgrpabl Unicode version

Theorem tgrpabl 30219
Description: The translation group is an Abelian group. Lemma G of [Crawley] p. 116. (Contributed by NM, 6-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tgrpgrp.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
tgrpgrp.g  |-  G  =  ( ( TGrp `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
tgrpabl  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  G  e.  Abel )

Proof of Theorem tgrpabl
Dummy variables  f 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgrpgrp.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 eqid 2284 . . . 4  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
3 tgrpgrp.g . . . 4  |-  G  =  ( ( TGrp `  K
) `  W )
4 eqid 2284 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
51, 2, 3, 4tgrpbase 30214 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( Base `  G
)  =  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )
65eqcomd 2289 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( LTrn `  K
) `  W )  =  ( Base `  G
) )
7 eqidd 2285 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( +g  `  G
)  =  ( +g  `  G ) )
81, 3tgrpgrp 30218 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  G  e.  Grp )
91, 2ltrncom 30206 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( f  o.  g
)  =  ( g  o.  f ) )
10 eqid 2284 . . . . . 6  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
111, 2, 3, 10tgrpov 30216 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) )  ->  ( f ( +g  `  G ) g )  =  ( f  o.  g ) )
12113expa 1151 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) )  ->  ( f ( +g  `  G ) g )  =  ( f  o.  g ) )
13123impb 1147 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( f ( +g  `  G ) g )  =  ( f  o.  g ) )
141, 2, 3, 10tgrpov 30216 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  ( g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  f  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) )  ->  ( g ( +g  `  G ) f )  =  ( g  o.  f ) )
15143expa 1151 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  f  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) )  ->  ( g ( +g  `  G ) f )  =  ( g  o.  f ) )
16153impb 1147 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  f  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( g ( +g  `  G ) f )  =  ( g  o.  f ) )
17163com23 1157 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( g ( +g  `  G ) f )  =  ( g  o.  f ) )
189, 13, 173eqtr4d 2326 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( f ( +g  `  G ) g )  =  ( g ( +g  `  G ) f ) )
196, 7, 8, 18isabld 15098 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  G  e.  Abel )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1685    o. ccom 4692   ` cfv 5221  (class class class)co 5820   Basecbs 13144   +g cplusg 13204   Abelcabel 15086   HLchlt 28819   LHypclh 29452   LTrncltrn 29569   TGrpctgrp 30210
This theorem is referenced by:  dvaabl  30493
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-iin 3909  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-undef 6292  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-1o 6475  df-oadd 6479  df-er 6656  df-map 6770  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-fin 6863  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-nn 9743  df-2 9800  df-n0 9962  df-z 10021  df-uz 10227  df-fz 10779  df-struct 13146  df-ndx 13147  df-slot 13148  df-base 13149  df-plusg 13217  df-0g 13400  df-poset 14076  df-plt 14088  df-lub 14104  df-glb 14105  df-join 14106  df-meet 14107  df-p0 14141  df-p1 14142  df-lat 14148  df-clat 14210  df-mnd 14363  df-grp 14485  df-cmn 15087  df-abl 15088  df-oposet 28645  df-ol 28647  df-oml 28648  df-covers 28735  df-ats 28736  df-atl 28767  df-cvlat 28791  df-hlat 28820  df-llines 28966  df-lplanes 28967  df-lvols 28968  df-lines 28969  df-psubsp 28971  df-pmap 28972  df-padd 29264  df-lhyp 29456  df-laut 29457  df-ldil 29572  df-ltrn 29573  df-trl 29627  df-tgrp 30211
  Copyright terms: Public domain W3C validator