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Theorem tgss2 16687
Description: A criterion for determining whether one topology is finer than another, based on a comparison of their bases. Lemma 2.2 of [Munkres] p. 80. (Contributed by NM, 20-Jul-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgss2  |-  ( ( B  e.  V  /\  U. B  =  U. C
)  ->  ( ( topGen `
 B )  C_  ( topGen `  C )  <->  A. x  e.  U. B A. y  e.  B  ( x  e.  y  ->  E. z  e.  C  ( x  e.  z  /\  z  C_  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, B    x, C, y, z    x, V, y
Allowed substitution hint:    V( z)

Proof of Theorem tgss2
StepHypRef Expression
1 simpr 449 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  V  /\  U. B  =  U. C
)  ->  U. B  = 
U. C )
2 uniexg 4489 . . . . . 6  |-  ( B  e.  V  ->  U. B  e.  _V )
32adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  V  /\  U. B  =  U. C
)  ->  U. B  e. 
_V )
41, 3eqeltrrd 2333 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  U. B  =  U. C
)  ->  U. C  e. 
_V )
5 uniexb 4535 . . . 4  |-  ( C  e.  _V  <->  U. C  e. 
_V )
64, 5sylibr 205 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  U. B  =  U. C
)  ->  C  e.  _V )
7 tgss3 16686 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  _V )  ->  ( ( topGen `  B
)  C_  ( topGen `  C )  <->  B  C_  ( topGen `
 C ) ) )
86, 7syldan 458 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  U. B  =  U. C
)  ->  ( ( topGen `
 B )  C_  ( topGen `  C )  <->  B 
C_  ( topGen `  C
) ) )
9 eltg2b 16659 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  _V  ->  (
y  e.  ( topGen `  C )  <->  A. x  e.  y  E. z  e.  C  ( x  e.  z  /\  z  C_  y ) ) )
106, 9syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  V  /\  U. B  =  U. C
)  ->  ( y  e.  ( topGen `  C )  <->  A. x  e.  y  E. z  e.  C  (
x  e.  z  /\  z  C_  y ) ) )
11 elunii 3806 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  U. B
)
1211ancoms 441 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  B  /\  x  e.  y )  ->  x  e.  U. B
)
13 biimt 327 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  U. B  -> 
( E. z  e.  C  ( x  e.  z  /\  z  C_  y )  <->  ( x  e.  U. B  ->  E. z  e.  C  ( x  e.  z  /\  z  C_  y ) ) ) )
1412, 13syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  B  /\  x  e.  y )  ->  ( E. z  e.  C  ( x  e.  z  /\  z  C_  y )  <->  ( x  e.  U. B  ->  E. z  e.  C  ( x  e.  z  /\  z  C_  y ) ) ) )
1514ralbidva 2534 . . . . . 6  |-  ( y  e.  B  ->  ( A. x  e.  y  E. z  e.  C  ( x  e.  z  /\  z  C_  y )  <->  A. x  e.  y 
( x  e.  U. B  ->  E. z  e.  C  ( x  e.  z  /\  z  C_  y ) ) ) )
1610, 15sylan9bb 683 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  U. B  =  U. C )  /\  y  e.  B )  ->  (
y  e.  ( topGen `  C )  <->  A. x  e.  y  ( x  e.  U. B  ->  E. z  e.  C  ( x  e.  z  /\  z  C_  y ) ) ) )
17 ralcom3 2680 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  y  (
x  e.  U. B  ->  E. z  e.  C  ( x  e.  z  /\  z  C_  y ) )  <->  A. x  e.  U. B ( x  e.  y  ->  E. z  e.  C  ( x  e.  z  /\  z  C_  y ) ) )
1816, 17syl6bb 254 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  U. B  =  U. C )  /\  y  e.  B )  ->  (
y  e.  ( topGen `  C )  <->  A. x  e.  U. B ( x  e.  y  ->  E. z  e.  C  ( x  e.  z  /\  z  C_  y ) ) ) )
1918ralbidva 2534 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  U. B  =  U. C
)  ->  ( A. y  e.  B  y  e.  ( topGen `  C )  <->  A. y  e.  B  A. x  e.  U. B ( x  e.  y  ->  E. z  e.  C  ( x  e.  z  /\  z  C_  y ) ) ) )
20 dfss3 3145 . . 3  |-  ( B 
C_  ( topGen `  C
)  <->  A. y  e.  B  y  e.  ( topGen `  C ) )
21 ralcom 2675 . . 3  |-  ( A. x  e.  U. B A. y  e.  B  (
x  e.  y  ->  E. z  e.  C  ( x  e.  z  /\  z  C_  y ) )  <->  A. y  e.  B  A. x  e.  U. B
( x  e.  y  ->  E. z  e.  C  ( x  e.  z  /\  z  C_  y ) ) )
2219, 20, 213bitr4g 281 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  U. B  =  U. C
)  ->  ( B  C_  ( topGen `  C )  <->  A. x  e.  U. B A. y  e.  B  ( x  e.  y  ->  E. z  e.  C  ( x  e.  z  /\  z  C_  y ) ) ) )
238, 22bitrd 246 1  |-  ( ( B  e.  V  /\  U. B  =  U. C
)  ->  ( ( topGen `
 B )  C_  ( topGen `  C )  <->  A. x  e.  U. B A. y  e.  B  ( x  e.  y  ->  E. z  e.  C  ( x  e.  z  /\  z  C_  y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2518   E.wrex 2519   _Vcvv 2763    C_ wss 3127   U.cuni 3801   ` cfv 4673   topGenctg 13304
This theorem is referenced by:  metss  18016
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4281  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fv 4689  df-topgen 13306
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