MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgss3 Unicode version

Theorem tgss3 16687
Description: A criterion for determining whether one topology is finer than another. Lemma 2.2 of [Munkres] p. 80 using abbreviations. (Contributed by NM, 20-Jul-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgss3  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( ( topGen `  B
)  C_  ( topGen `  C )  <->  B  C_  ( topGen `
 C ) ) )

Proof of Theorem tgss3
StepHypRef Expression
1 bastg 16667 . . . 4  |-  ( B  e.  V  ->  B  C_  ( topGen `  B )
)
21adantr 453 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  B  C_  ( topGen `  B ) )
3 sstr2 3161 . . 3  |-  ( B 
C_  ( topGen `  B
)  ->  ( ( topGen `
 B )  C_  ( topGen `  C )  ->  B  C_  ( topGen `  C ) ) )
42, 3syl 17 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( ( topGen `  B
)  C_  ( topGen `  C )  ->  B  C_  ( topGen `  C )
) )
5 fvex 5472 . . . 4  |-  ( topGen `  C )  e.  _V
6 tgss 16669 . . . 4  |-  ( ( ( topGen `  C )  e.  _V  /\  B  C_  ( topGen `  C )
)  ->  ( topGen `  B )  C_  ( topGen `
 ( topGen `  C
) ) )
75, 6mpan 654 . . 3  |-  ( B 
C_  ( topGen `  C
)  ->  ( topGen `  B )  C_  ( topGen `
 ( topGen `  C
) ) )
8 tgidm 16681 . . . . 5  |-  ( C  e.  W  ->  ( topGen `
 ( topGen `  C
) )  =  (
topGen `  C ) )
98adantl 454 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( topGen `  ( topGen `  C ) )  =  ( topGen `  C )
)
109sseq2d 3181 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( ( topGen `  B
)  C_  ( topGen `  ( topGen `  C )
)  <->  ( topGen `  B
)  C_  ( topGen `  C ) ) )
117, 10syl5ib 212 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( B  C_  ( topGen `
 C )  -> 
( topGen `  B )  C_  ( topGen `  C )
) )
124, 11impbid 185 1  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( ( topGen `  B
)  C_  ( topGen `  C )  <->  B  C_  ( topGen `
 C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   _Vcvv 2763    C_ wss 3127   ` cfv 4673   topGenctg 13305
This theorem is referenced by:  tgss2  16688  2basgen  16691  isfne4b  25638
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4281  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fv 4689  df-topgen 13307
  Copyright terms: Public domain W3C validator