MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgss3 Unicode version

Theorem tgss3 16726
Description: A criterion for determining whether one topology is finer than another. Lemma 2.2 of [Munkres] p. 80 using abbreviations. (Contributed by NM, 20-Jul-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgss3  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( ( topGen `  B
)  C_  ( topGen `  C )  <->  B  C_  ( topGen `
 C ) ) )

Proof of Theorem tgss3
StepHypRef Expression
1 bastg 16706 . . . 4  |-  ( B  e.  V  ->  B  C_  ( topGen `  B )
)
21adantr 451 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  B  C_  ( topGen `  B ) )
3 sstr2 3188 . . 3  |-  ( B 
C_  ( topGen `  B
)  ->  ( ( topGen `
 B )  C_  ( topGen `  C )  ->  B  C_  ( topGen `  C ) ) )
42, 3syl 15 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( ( topGen `  B
)  C_  ( topGen `  C )  ->  B  C_  ( topGen `  C )
) )
5 fvex 5541 . . . 4  |-  ( topGen `  C )  e.  _V
6 tgss 16708 . . . 4  |-  ( ( ( topGen `  C )  e.  _V  /\  B  C_  ( topGen `  C )
)  ->  ( topGen `  B )  C_  ( topGen `
 ( topGen `  C
) ) )
75, 6mpan 651 . . 3  |-  ( B 
C_  ( topGen `  C
)  ->  ( topGen `  B )  C_  ( topGen `
 ( topGen `  C
) ) )
8 tgidm 16720 . . . . 5  |-  ( C  e.  W  ->  ( topGen `
 ( topGen `  C
) )  =  (
topGen `  C ) )
98adantl 452 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( topGen `  ( topGen `  C ) )  =  ( topGen `  C )
)
109sseq2d 3208 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( ( topGen `  B
)  C_  ( topGen `  ( topGen `  C )
)  <->  ( topGen `  B
)  C_  ( topGen `  C ) ) )
117, 10syl5ib 210 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( B  C_  ( topGen `
 C )  -> 
( topGen `  B )  C_  ( topGen `  C )
) )
124, 11impbid 183 1  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( ( topGen `  B
)  C_  ( topGen `  C )  <->  B  C_  ( topGen `
 C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1625    e. wcel 1686   _Vcvv 2790    C_ wss 3154   ` cfv 5257   topGenctg 13344
This theorem is referenced by:  tgss2  16727  2basgen  16730  isfne4b  26281
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-ral 2550  df-rex 2551  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fv 5265  df-topgen 13346
  Copyright terms: Public domain W3C validator