Theorem tgsst 7578

Description: Subset relation for generated topologies.

Assertion

Ref	Expression
tgsst	|- ((B e. Bases /\ C e. Bases /\ B (_ C) -> (topGen` B) (_ (topGen` C))

Proof of Theorem tgsst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sstr2 2061	. . . . 5 |- (x (_ U.(B i^i P~x) -> (U.(B i^i P~x) (_ U.(C i^i P~x) -> x (_ U.(C i^i P~x)))
2		ssrin 2224	. . . . . 6 |- (B (_ C -> (B i^i P~x) (_ (C i^i P~x))
3		uniss 2511	. . . . . 6 |- ((B i^i P~x) (_ (C i^i P~x) -> U.(B i^i P~x) (_ U.(C i^i P~x))
4	2, 3	syl 10	. . . . 5 |- (B (_ C -> U.(B i^i P~x) (_ U.(C i^i P~x))
5	1, 4	syl5com 52	. . . 4 |- (B (_ C -> (x (_ U.(B i^i P~x) -> x (_ U.(C i^i P~x)))
6	5	3ad2ant3 800	. . 3 |- ((B e. Bases /\ C e. Bases /\ B (_ C) -> (x (_ U.(B i^i P~x) -> x (_ U.(C i^i P~x)))
7		eltgt 7560	. . . 4 |- (B e. Bases -> (x e. (topGen` B) <-> x (_ U.(B i^i P~x)))
8	7	3ad2ant1 798	. . 3 |- ((B e. Bases /\ C e. Bases /\ B (_ C) -> (x e. (topGen` B) <-> x (_ U.(B i^i P~x)))
9		eltgt 7560	. . . 4 |- (C e. Bases -> (x e. (topGen` C) <-> x (_ U.(C i^i P~x)))
10	9	3ad2ant2 799	. . 3 |- ((B e. Bases /\ C e. Bases /\ B (_ C) -> (x e. (topGen` C) <-> x (_ U.(C i^i P~x)))
11	6, 8, 10	3imtr4d 541	. 2 |- ((B e. Bases /\ C e. Bases /\ B (_ C) -> (x e. (topGen` B) -> x e. (topGen` C)))
12	11	ssrdv 2060	1 |- ((B e. Bases /\ C e. Bases /\ B (_ C) -> (topGen` B) (_ (topGen` C))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ w3a 773   e. wcel 955   i^i cin 2036   (_ wss 2037  P~cpw 2391  U.cuni 2493  ` cfv 3172  Basesctb 7532  topGenctg 7533

This theorem is referenced by:  2basgent 7583

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-rex 1642  df-rab 1644  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fv 3188  df-topgen 7537

Copyright terms: Public domain