Theorem tgtopt 7627

Description: A topology is its own basis.

Assertion

Ref	Expression
tgtopt	|- (J e. Top -> (topGen` J) = J)

Proof of Theorem tgtopt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topbast 7626	. . . . 5 |- (J e. Top -> J e. Bases)
2		eltg3t 7625	. . . . 5 |- (J e. Bases -> (x e. (topGen` J) <-> E.y(y (_ J /\ x = U.y)))
3	1, 2	syl 10	. . . 4 |- (J e. Top -> (x e. (topGen` J) <-> E.y(y (_ J /\ x = U.y)))
4		pm3.27 323	. . . . . . . 8 |- (((J e. Top /\ y (_ J) /\ x = U.y) -> x = U.y)
5		uniopnt 7599	. . . . . . . . 9 |- ((J e. Top /\ y (_ J) -> U.y e. J)
6	5	adantr 391	. . . . . . . 8 |- (((J e. Top /\ y (_ J) /\ x = U.y) -> U.y e. J)
7	4, 6	eqeltrd 1551	. . . . . . 7 |- (((J e. Top /\ y (_ J) /\ x = U.y) -> x e. J)
8	7	anasss 442	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ (y (_ J /\ x = U.y)) -> x e. J)
9	8	ex 373	. . . . 5 |- (J e. Top -> ((y (_ J /\ x = U.y) -> x e. J))
10	9	19.23adv 1216	. . . 4 |- (J e. Top -> (E.y(y (_ J /\ x = U.y) -> x e. J))
11	3, 10	sylbid 203	. . 3 |- (J e. Top -> (x e. (topGen` J) -> x e. J))
12	11	ssrdv 2073	. 2 |- (J e. Top -> (topGen` J) (_ J)
13		bastgt 7621	. . 3 |- (J e. Bases -> J (_ (topGen` J))
14	1, 13	syl 10	. 2 |- (J e. Top -> J (_ (topGen` J))
15	12, 14	eqssd 2082	1 |- (J e. Top -> (topGen` J) = J)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982   (_ wss 2050  U.cuni 2507  ` cfv 3188  Topctop 7590  Basesctb 7592  topGenctg 7593

This theorem is referenced by:  eltopt 7628  eltop2t 7629  eltop3t 7630  tgidmt 7631  bastopt 7632  tgtop11t 7633  basgen2t 7638

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fv 3204  df-top 7594  df-bases 7596  df-topgen 7597

Copyright terms: Public domain