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Theorem tgval2 16656
Description: Definition of a topology generated by a basis in [Munkres] p. 78. Later we show (in tgcl 16669) that  ( topGen `  B ) is indeed a topology (on  U. B; see unitg 16667). (Contributed by NM, 15-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgval2  |-  ( B  e.  V  ->  ( topGen `
 B )  =  { x  |  ( x  C_  U. B  /\  A. y  e.  x  E. z  e.  B  (
y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) } )
Distinct variable groups:    x, y,
z, B    x, V, y, z

Proof of Theorem tgval2
StepHypRef Expression
1 tgval 16655 . 2  |-  ( B  e.  V  ->  ( topGen `
 B )  =  { x  |  x 
C_  U. ( B  i^i  ~P x ) } )
2 inss1 3364 . . . . . . . . 9  |-  ( B  i^i  ~P x ) 
C_  B
3 uniss 3822 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  i^i  ~P x
)  C_  B  ->  U. ( B  i^i  ~P x )  C_  U. B
)
42, 3ax-mp 10 . . . . . . . 8  |-  U. ( B  i^i  ~P x ) 
C_  U. B
54sseli 3151 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  U. ( B  i^i  ~P x )  ->  y  e.  U. B )
65pm4.71ri 617 . . . . . 6  |-  ( y  e.  U. ( B  i^i  ~P x )  <-> 
( y  e.  U. B  /\  y  e.  U. ( B  i^i  ~P x
) ) )
76ralbii 2542 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  x  y  e.  U. ( B  i^i  ~P x )  <->  A. y  e.  x  ( y  e.  U. B  /\  y  e.  U. ( B  i^i  ~P x ) ) )
8 r19.26 2650 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  x  (
y  e.  U. B  /\  y  e.  U. ( B  i^i  ~P x ) )  <->  ( A. y  e.  x  y  e.  U. B  /\  A. y  e.  x  y  e.  U. ( B  i^i  ~P x ) ) )
97, 8bitri 242 . . . 4  |-  ( A. y  e.  x  y  e.  U. ( B  i^i  ~P x )  <->  ( A. y  e.  x  y  e.  U. B  /\  A. y  e.  x  y  e.  U. ( B  i^i  ~P x ) ) )
10 dfss3 3145 . . . 4  |-  ( x 
C_  U. ( B  i^i  ~P x )  <->  A. y  e.  x  y  e.  U. ( B  i^i  ~P x ) )
11 dfss3 3145 . . . . 5  |-  ( x 
C_  U. B  <->  A. y  e.  x  y  e.  U. B )
12 elin 3333 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( B  i^i  ~P x )  <->  ( z  e.  B  /\  z  e.  ~P x ) )
1312anbi2i 678 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  z  /\  z  e.  ( B  i^i  ~P x ) )  <-> 
( y  e.  z  /\  ( z  e.  B  /\  z  e. 
~P x ) ) )
14 an12 775 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  z  /\  ( z  e.  B  /\  z  e.  ~P x ) )  <->  ( z  e.  B  /\  (
y  e.  z  /\  z  e.  ~P x
) ) )
1513, 14bitri 242 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  z  /\  z  e.  ( B  i^i  ~P x ) )  <-> 
( z  e.  B  /\  ( y  e.  z  /\  z  e.  ~P x ) ) )
1615exbii 1580 . . . . . . . 8  |-  ( E. z ( y  e.  z  /\  z  e.  ( B  i^i  ~P x ) )  <->  E. z
( z  e.  B  /\  ( y  e.  z  /\  z  e.  ~P x ) ) )
17 eluni 3804 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  U. ( B  i^i  ~P x )  <->  E. z ( y  e.  z  /\  z  e.  ( B  i^i  ~P x ) ) )
18 df-rex 2524 . . . . . . . 8  |-  ( E. z  e.  B  ( y  e.  z  /\  z  e.  ~P x
)  <->  E. z ( z  e.  B  /\  (
y  e.  z  /\  z  e.  ~P x
) ) )
1916, 17, 183bitr4i 270 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  U. ( B  i^i  ~P x )  <->  E. z  e.  B  ( y  e.  z  /\  z  e.  ~P x ) )
20 vex 2766 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
_V
2120elpw 3605 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ~P x  <->  z  C_  x )
2221anbi2i 678 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  z  /\  z  e.  ~P x
)  <->  ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) )
2322rexbii 2543 . . . . . . 7  |-  ( E. z  e.  B  ( y  e.  z  /\  z  e.  ~P x
)  <->  E. z  e.  B  ( y  e.  z  /\  z  C_  x
) )
2419, 23bitr2i 243 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  B  ( y  e.  z  /\  z  C_  x )  <->  y  e.  U. ( B  i^i  ~P x ) )
2524ralbii 2542 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  x  E. z  e.  B  (
y  e.  z  /\  z  C_  x )  <->  A. y  e.  x  y  e.  U. ( B  i^i  ~P x ) )
2611, 25anbi12i 681 . . . 4  |-  ( ( x  C_  U. B  /\  A. y  e.  x  E. z  e.  B  (
y  e.  z  /\  z  C_  x ) )  <-> 
( A. y  e.  x  y  e.  U. B  /\  A. y  e.  x  y  e.  U. ( B  i^i  ~P x
) ) )
279, 10, 263bitr4i 270 . . 3  |-  ( x 
C_  U. ( B  i^i  ~P x )  <->  ( x  C_ 
U. B  /\  A. y  e.  x  E. z  e.  B  (
y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) )
2827abbii 2370 . 2  |-  { x  |  x  C_  U. ( B  i^i  ~P x ) }  =  { x  |  ( x  C_  U. B  /\  A. y  e.  x  E. z  e.  B  ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) }
291, 28syl6eq 2306 1  |-  ( B  e.  V  ->  ( topGen `
 B )  =  { x  |  ( x  C_  U. B  /\  A. y  e.  x  E. z  e.  B  (
y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   {cab 2244   A.wral 2518   E.wrex 2519    i^i cin 3126    C_ wss 3127   ~Pcpw 3599   U.cuni 3801   ` cfv 4673   topGenctg 13304
This theorem is referenced by:  eltg2  16658
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4281  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fv 4689  df-topgen 13306
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