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Theorem tgval2 16710
Description: Definition of a topology generated by a basis in [Munkres] p. 78. Later we show (in tgcl 16723) that  ( topGen `  B ) is indeed a topology (on  U. B; see unitg 16721). (Contributed by NM, 15-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgval2  |-  ( B  e.  V  ->  ( topGen `
 B )  =  { x  |  ( x  C_  U. B  /\  A. y  e.  x  E. z  e.  B  (
y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) } )
Distinct variable groups:    x, y,
z, B    x, V, y, z

Proof of Theorem tgval2
StepHypRef Expression
1 tgval 16709 . 2  |-  ( B  e.  V  ->  ( topGen `
 B )  =  { x  |  x 
C_  U. ( B  i^i  ~P x ) } )
2 inss1 3402 . . . . . . . . 9  |-  ( B  i^i  ~P x ) 
C_  B
3 uniss 3864 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  i^i  ~P x
)  C_  B  ->  U. ( B  i^i  ~P x )  C_  U. B
)
42, 3ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  U. ( B  i^i  ~P x ) 
C_  U. B
54sseli 3189 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  U. ( B  i^i  ~P x )  ->  y  e.  U. B )
65pm4.71ri 614 . . . . . 6  |-  ( y  e.  U. ( B  i^i  ~P x )  <-> 
( y  e.  U. B  /\  y  e.  U. ( B  i^i  ~P x
) ) )
76ralbii 2580 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  x  y  e.  U. ( B  i^i  ~P x )  <->  A. y  e.  x  ( y  e.  U. B  /\  y  e.  U. ( B  i^i  ~P x ) ) )
8 r19.26 2688 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  x  (
y  e.  U. B  /\  y  e.  U. ( B  i^i  ~P x ) )  <->  ( A. y  e.  x  y  e.  U. B  /\  A. y  e.  x  y  e.  U. ( B  i^i  ~P x ) ) )
97, 8bitri 240 . . . 4  |-  ( A. y  e.  x  y  e.  U. ( B  i^i  ~P x )  <->  ( A. y  e.  x  y  e.  U. B  /\  A. y  e.  x  y  e.  U. ( B  i^i  ~P x ) ) )
10 dfss3 3183 . . . 4  |-  ( x 
C_  U. ( B  i^i  ~P x )  <->  A. y  e.  x  y  e.  U. ( B  i^i  ~P x ) )
11 dfss3 3183 . . . . 5  |-  ( x 
C_  U. B  <->  A. y  e.  x  y  e.  U. B )
12 elin 3371 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( B  i^i  ~P x )  <->  ( z  e.  B  /\  z  e.  ~P x ) )
1312anbi2i 675 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  z  /\  z  e.  ( B  i^i  ~P x ) )  <-> 
( y  e.  z  /\  ( z  e.  B  /\  z  e. 
~P x ) ) )
14 an12 772 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  z  /\  ( z  e.  B  /\  z  e.  ~P x ) )  <->  ( z  e.  B  /\  (
y  e.  z  /\  z  e.  ~P x
) ) )
1513, 14bitri 240 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  z  /\  z  e.  ( B  i^i  ~P x ) )  <-> 
( z  e.  B  /\  ( y  e.  z  /\  z  e.  ~P x ) ) )
1615exbii 1572 . . . . . . . 8  |-  ( E. z ( y  e.  z  /\  z  e.  ( B  i^i  ~P x ) )  <->  E. z
( z  e.  B  /\  ( y  e.  z  /\  z  e.  ~P x ) ) )
17 eluni 3846 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  U. ( B  i^i  ~P x )  <->  E. z ( y  e.  z  /\  z  e.  ( B  i^i  ~P x ) ) )
18 df-rex 2562 . . . . . . . 8  |-  ( E. z  e.  B  ( y  e.  z  /\  z  e.  ~P x
)  <->  E. z ( z  e.  B  /\  (
y  e.  z  /\  z  e.  ~P x
) ) )
1916, 17, 183bitr4i 268 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  U. ( B  i^i  ~P x )  <->  E. z  e.  B  ( y  e.  z  /\  z  e.  ~P x ) )
20 vex 2804 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
_V
2120elpw 3644 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ~P x  <->  z  C_  x )
2221anbi2i 675 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  z  /\  z  e.  ~P x
)  <->  ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) )
2322rexbii 2581 . . . . . . 7  |-  ( E. z  e.  B  ( y  e.  z  /\  z  e.  ~P x
)  <->  E. z  e.  B  ( y  e.  z  /\  z  C_  x
) )
2419, 23bitr2i 241 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  B  ( y  e.  z  /\  z  C_  x )  <->  y  e.  U. ( B  i^i  ~P x ) )
2524ralbii 2580 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  x  E. z  e.  B  (
y  e.  z  /\  z  C_  x )  <->  A. y  e.  x  y  e.  U. ( B  i^i  ~P x ) )
2611, 25anbi12i 678 . . . 4  |-  ( ( x  C_  U. B  /\  A. y  e.  x  E. z  e.  B  (
y  e.  z  /\  z  C_  x ) )  <-> 
( A. y  e.  x  y  e.  U. B  /\  A. y  e.  x  y  e.  U. ( B  i^i  ~P x
) ) )
279, 10, 263bitr4i 268 . . 3  |-  ( x 
C_  U. ( B  i^i  ~P x )  <->  ( x  C_ 
U. B  /\  A. y  e.  x  E. z  e.  B  (
y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) )
2827abbii 2408 . 2  |-  { x  |  x  C_  U. ( B  i^i  ~P x ) }  =  { x  |  ( x  C_  U. B  /\  A. y  e.  x  E. z  e.  B  ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) }
291, 28syl6eq 2344 1  |-  ( B  e.  V  ->  ( topGen `
 B )  =  { x  |  ( x  C_  U. B  /\  A. y  e.  x  E. z  e.  B  (
y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   A.wral 2556   E.wrex 2557    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   U.cuni 3843   ` cfv 5271   topGenctg 13358
This theorem is referenced by:  eltg2  16712
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-topgen 13360
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