Theorem tgval3t 7567

Description: Alternate expression for the topology generated by a basis. Lemma 2.1 of [Munkres] p. 80.

Assertion

Ref	Expression
tgval3t	|- (B e. Bases -> (topGen` B) = {x | E.y(y (_ B /\ x = U.y)})

Distinct variable group:   x,y,B

Proof of Theorem tgval3t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eltg2t 7561	. . . . . . . . . . 11 |- (B e. Bases -> (x e. (topGen` B) <-> (x (_ U.B /\ A.w e. x E.y e. B (w e. y /\ y (_ x))))
2	1	pm3.27bda 421	. . . . . . . . . 10 |- ((B e. Bases /\ x e. (topGen` B)) -> A.w e. x E.y e. B (w e. y /\ y (_ x))
3		elequ1 1132	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (w = z -> (w e. y <-> z e. y))
4	3	anbi1d 615	. . . . . . . . . . . . 13 |- (w = z -> ((w e. y /\ y (_ x) <-> (z e. y /\ y (_ x)))
5	4	rexbidv 1656	. . . . . . . . . . . 12 |- (w = z -> (E.y e. B (w e. y /\ y (_ x) <-> E.y e. B (z e. y /\ y (_ x)))
6	5	rcla4cv 1865	. . . . . . . . . . 11 |- (A.w e. x E.y e. B (w e. y /\ y (_ x) -> (z e. x -> E.y e. B (z e. y /\ y (_ x)))
7		df-rex 1642	. . . . . . . . . . . 12 |- (E.y e. B (z e. y /\ y (_ x) <-> E.y(y e. B /\ (z e. y /\ y (_ x)))
8		an12 483	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((y e. B /\ (z e. y /\ y (_ x)) <-> (z e. y /\ (y e. B /\ y (_ x)))
9		ancom 435	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((y e. B /\ y (_ x) <-> (y (_ x /\ y e. B))
10	9	anbi2i 479	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((z e. y /\ (y e. B /\ y (_ x)) <-> (z e. y /\ (y (_ x /\ y e. B)))
11	8, 10	bitr 173	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y e. B /\ (z e. y /\ y (_ x)) <-> (z e. y /\ (y (_ x /\ y e. B)))
12	11	exbii 1047	. . . . . . . . . . . 12 |- (E.y(y e. B /\ (z e. y /\ y (_ x)) <-> E.y(z e. y /\ (y (_ x /\ y e. B)))
13	7, 12	bitr 173	. . . . . . . . . . 11 |- (E.y e. B (z e. y /\ y (_ x) <-> E.y(z e. y /\ (y (_ x /\ y e. B)))
14	6, 13	syl6ib 212	. . . . . . . . . 10 |- (A.w e. x E.y e. B (w e. y /\ y (_ x) -> (z e. x -> E.y(z e. y /\ (y (_ x /\ y e. B))))
15	2, 14	syl 10	. . . . . . . . 9 |- ((B e. Bases /\ x e. (topGen` B)) -> (z e. x -> E.y(z e. y /\ (y (_ x /\ y e. B))))
16		ssel 2053	. . . . . . . . . . . 12 |- (y (_ x -> (z e. y -> z e. x))
17	16	impcom 351	. . . . . . . . . . 11 |- ((z e. y /\ y (_ x) -> z e. x)
18	17	adantrr 395	. . . . . . . . . 10 |- ((z e. y /\ (y (_ x /\ y e. B)) -> z e. x)
19	18	19.23aiv 1290	. . . . . . . . 9 |- (E.y(z e. y /\ (y (_ x /\ y e. B)) -> z e. x)
20	15, 19	impbid1 515	. . . . . . . 8 |- ((B e. Bases /\ x e. (topGen` B)) -> (z e. x <-> E.y(z e. y /\ (y (_ x /\ y e. B))))
21		eluniab 2503	. . . . . . . 8 |- (z e. U.{y | (y (_ x /\ y e. B)} <-> E.y(z e. y /\ (y (_ x /\ y e. B)))
22	20, 21	syl6bbr 536	. . . . . . 7 |- ((B e. Bases /\ x e. (topGen` B)) -> (z e. x <-> z e. U.{y | (y (_ x /\ y e. B)}))
23	22	eqrdv 1466	. . . . . 6 |- ((B e. Bases /\ x e. (topGen` B)) -> x = U.{y | (y (_ x /\ y e. B)})
24		pm3.27 323	. . . . . . 7 |- ((y (_ x /\ y e. B) -> y e. B)
25	24	abssi 2112	. . . . . 6 |- {y | (y (_ x /\ y e. B)} (_ B
26	23, 25	jctil 292	. . . . 5 |- ((B e. Bases /\ x e. (topGen` B)) -> ({y | (y (_ x /\ y e. B)} (_ B /\ x = U.{y | (y (_ x /\ y e. B)}))
27		visset 1804	. . . . . . 7 |- x e. V
28		abssexg 2737	. . . . . . 7 |- (x e. V -> {y | (y (_ x /\ y e. B)} e. V)
29	27, 28	ax-mp 7	. . . . . 6 |- {y | (y (_ x /\ y e. B)} e. V
30		hbab1 1459	. . . . . . 7 |- (z e. {y | (y (_ x /\ y e. B)} -> A.y z e. {y | (y (_ x /\ y e. B)})
31		ax-17 968	. . . . . . . . 9 |- (z e. B -> A.y z e. B)
32	30, 31	hbss 2052	. . . . . . . 8 |- ({y | (y (_ x /\ y e. B)} (_ B -> A.y{y | (y (_ x /\ y e. B)} (_ B)
33		ax-17 968	. . . . . . . . 9 |- (z e. x -> A.y z e. x)
34	30	hbuni 2499	. . . . . . . . 9 |- (z e. U.{y | (y (_ x /\ y e. B)} -> A.y z e. U.{y | (y (_ x /\ y e. B)})
35	33, 34	hbeq 1557	. . . . . . . 8 |- (x = U.{y | (y (_ x /\ y e. B)} -> A.y x = U.{y | (y (_ x /\ y e. B)})
36	32, 35	hban 1006	. . . . . . 7 |- (({y | (y (_ x /\ y e. B)} (_ B /\ x = U.{y | (y (_ x /\ y e. B)}) -> A.y({y | (y (_ x /\ y e. B)} (_ B /\ x = U.{y | (y (_ x /\ y e. B)}))
37		sseq1 2072	. . . . . . . 8 |- (y = {y | (y (_ x /\ y e. B)} -> (y (_ B <-> {y | (y (_ x /\ y e. B)} (_ B))
38		unieq 2500	. . . . . . . . 9 |- (y = {y | (y (_ x /\ y e. B)} -> U.y = U.{y | (y (_ x /\ y e. B)})
39	38	eqeq2d 1478	. . . . . . . 8 |- (y = {y | (y (_ x /\ y e. B)} -> (x = U.y <-> x = U.{y | (y (_ x /\ y e. B)}))
40	37, 39	anbi12d 626	. . . . . . 7 |- (y = {y | (y (_ x /\ y e. B)} -> ((y (_ B /\ x = U.y) <-> ({y | (y (_ x /\ y e. B)} (_ B /\ x = U.{y | (y (_ x /\ y e. B)})))
41	30, 36, 40	cla4egf 1852	. . . . . 6 |- ({y | (y (_ x /\ y e. B)} e. V -> (({y | (y (_ x /\ y e. B)} (_ B /\ x = U.{y | (y (_ x /\ y e. B)}) -> E.y(y (_ B /\ x = U.y)))
42	29, 41	ax-mp 7	. . . . 5 |- (({y | (y (_ x /\ y e. B)} (_ B /\ x = U.{y | (y (_ x /\ y e. B)}) -> E.y(y (_ B /\ x = U.y))
43	26, 42	syl 10	. . . 4 |- ((B e. Bases /\ x e. (topGen` B)) -> E.y(y (_ B /\ x = U.y))
44	43	ex 373	. . 3 |- (B e. Bases -> (x e. (topGen` B) -> E.y(y (_ B /\ x = U.y)))
45		simprr 415	. . . . . 6 |- ((B e. Bases /\ (y (_ B /\ x = U.y)) -> x = U.y)
46		uniopnt 7540	. . . . . . . 8 |- (((topGen` B) e. Top /\ y (_ (topGen` B)) -> U.y e. (topGen` B))
47		tgclt 7566	. . . . . . . . 9 |- (B e. Bases -> (topGen` B) e. Top)
48	47	adantr 389	. . . . . . . 8 |- ((B e. Bases /\ y (_ B) -> (topGen` B) e. Top)
49		sstr 2062	. . . . . . . . . 10 |- ((y (_ B /\ B (_ (topGen` B)) -> y (_ (topGen` B))
50		bastgt 7564	. . . . . . . . . 10 |- (B e. Bases -> B (_ (topGen` B))
51	49, 50	sylan2 451	. . . . . . . . 9 |- ((y (_ B /\ B e. Bases) -> y (_ (topGen` B))
52	51	ancoms 436	. . . . . . . 8 |- ((B e. Bases /\ y (_ B) -> y (_ (topGen` B))
53	46, 48, 52	sylanc 471	. . . . . . 7 |- ((B e. Bases /\ y (_ B) -> U.y e. (topGen` B))
54	53	adantrr 395	. . . . . 6 |- ((B e. Bases /\ (y (_ B /\ x = U.y)) -> U.y e. (topGen` B))
55	45, 54	eqeltrd 1540	. . . . 5 |- ((B e. Bases /\ (y (_ B /\ x = U.y)) -> x e. (topGen` B))
56	55	ex 373	. . . 4 |- (B e. Bases -> ((y (_ B /\ x = U.y) -> x e. (topGen` B)))
57	56	19.23adv 1209	. . 3 |- (B e. Bases -> (E.y(y (_ B /\ x = U.y) -> x e. (topGen` B)))
58	44, 57	impbid 514	. 2 |- (B e. Bases -> (x e. (topGen` B) <-> E.y(y (_ B /\ x = U.y)))
59	58	abbi2dv 1570	1 |- (B e. Bases -> (topGen` B) = {x | E.y(y (_ B /\ x = U.y)})

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  E.wex 977  {cab 1456  A.wral 1637  E.wrex 1638  Vcvv 1802   (_ wss 2037  U.cuni 2493  ` cfv 3172  Topctop 7530  Basesctb 7532  topGenctg 7533

This theorem is referenced by:  eltg3t 7568

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-rab 1644  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fv 3188  df-top 7534  df-bases 7536  df-topgen 7537

Copyright terms: Public domain