Theorem th3qcor 4316

Description: Corollary of Theorem 3Q of [Enderton] p. 60.

Hypotheses

Ref	Expression
th3q.1	|- R e. V
th3q.2	|- Er R
th3q.3	|- dom R = (S X. S)
th3q.4	|- ((((w e. S /\ v e. S) /\ (u e. S /\ t e. S)) /\ ((s e. S /\ f e. S) /\ (g e. S /\ h e. S))) -> ((<.w, v>.R<.u, t>. /\ <.s, f>.R<.g, h>.) -> (<.w, v>.F<.s, f>.)R(<.u, t>.F<.g, h>.)))
th3q.5	|- G = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. ((S X. S)/.R) /\ y e. ((S X. S)/.R)) /\ E.wE.vE.uE.t((x = [<.w, v>.]R /\ y = [<.u, t>.]R) /\ z = [(<.w, v>.F<.u, t>.)]R))}

Assertion

Ref	Expression
th3qcor	|- Fun G

Distinct variable groups:   x,y,z,w,v,u,t,s,f,g,h,R   x,S,y,z,w,v,u,t,s,f,g,h   x,F,y,z,w,v,u,t,s,f,g,h   x,G,y,z,w,v,u,t,s,f,g,h

Proof of Theorem th3qcor

Step	Hyp	Ref	Expression
1		th3q.1	. . . . 5 |- R e. V
2		th3q.2	. . . . 5 |- Er R
3		th3q.3	. . . . 5 |- dom R = (S X. S)
4		th3q.4	. . . . 5 |- ((((w e. S /\ v e. S) /\ (u e. S /\ t e. S)) /\ ((s e. S /\ f e. S) /\ (g e. S /\ h e. S))) -> ((<.w, v>.R<.u, t>. /\ <.s, f>.R<.g, h>.) -> (<.w, v>.F<.s, f>.)R(<.u, t>.F<.g, h>.)))
5	1, 2, 3, 4	th3qlem2 4315	. . . 4 |- ((x e. ((S X. S)/.R) /\ y e. ((S X. S)/.R)) -> E*zE.wE.vE.uE.t((x = [<.w, v>.]R /\ y = [<.u, t>.]R) /\ z = [(<.w, v>.F<.u, t>.)]R))
6		moanimv 1429	. . . 4 |- (E*z((x e. ((S X. S)/.R) /\ y e. ((S X. S)/.R)) /\ E.wE.vE.uE.t((x = [<.w, v>.]R /\ y = [<.u, t>.]R) /\ z = [(<.w, v>.F<.u, t>.)]R)) <-> ((x e. ((S X. S)/.R) /\ y e. ((S X. S)/.R)) -> E*zE.wE.vE.uE.t((x = [<.w, v>.]R /\ y = [<.u, t>.]R) /\ z = [(<.w, v>.F<.u, t>.)]R)))
7	5, 6	mpbir 190	. . 3 |- E*z((x e. ((S X. S)/.R) /\ y e. ((S X. S)/.R)) /\ E.wE.vE.uE.t((x = [<.w, v>.]R /\ y = [<.u, t>.]R) /\ z = [(<.w, v>.F<.u, t>.)]R))
8	7	funoprab 4011	. 2 |- Fun {<.<.x, y>., z>. | ((x e. ((S X. S)/.R) /\ y e. ((S X. S)/.R)) /\ E.wE.vE.uE.t((x = [<.w, v>.]R /\ y = [<.u, t>.]R) /\ z = [(<.w, v>.F<.u, t>.)]R))}
9		th3q.5	. . 3 |- G = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. ((S X. S)/.R) /\ y e. ((S X. S)/.R)) /\ E.wE.vE.uE.t((x = [<.w, v>.]R /\ y = [<.u, t>.]R) /\ z = [(<.w, v>.F<.u, t>.)]R))}
10		funeq 3535	. . 3 |- (G = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. ((S X. S)/.R) /\ y e. ((S X. S)/.R)) /\ E.wE.vE.uE.t((x = [<.w, v>.]R /\ y = [<.u, t>.]R) /\ z = [(<.w, v>.F<.u, t>.)]R))} -> (Fun G <-> Fun {<.<.x, y>., z>. | ((x e. ((S X. S)/.R) /\ y e. ((S X. S)/.R)) /\ E.wE.vE.uE.t((x = [<.w, v>.]R /\ y = [<.u, t>.]R) /\ z = [(<.w, v>.F<.u, t>.)]R))}))
11	9, 10	ax-mp 7	. 2 |- (Fun G <-> Fun {<.<.x, y>., z>. | ((x e. ((S X. S)/.R) /\ y e. ((S X. S)/.R)) /\ E.wE.vE.uE.t((x = [<.w, v>.]R /\ y = [<.u, t>.]R) /\ z = [(<.w, v>.F<.u, t>.)]R))})
12	8, 11	mpbir 190	1 |- Fun G

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  E*wmo 1381  Vcvv 1811  <.cop 2411   class class class wbr 2619   X. cxp 3168  dom cdm 3170  Fun wfun 3176  (class class class)co 3963  {copab2 3964  Er wer 4258  [cec 4259  /.cqs 4260

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266

Copyright terms: Public domain