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Theorem tmdcn2 17868
Description: Write out the definition of continuity of  +g explicitly. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tmdcn2.1  |-  B  =  ( Base `  G
)
tmdcn2.2  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
tmdcn2.3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
tmdcn2  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  U  e.  J )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  U ) )  ->  E. u  e.  J  E. v  e.  J  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  A. x  e.  u  A. y  e.  v 
( x  .+  y
)  e.  U ) )
Distinct variable groups:    v, u, x, y, G    u, J, v    u, U, v, x, y    u, X, v   
u, Y, v
Allowed substitution hints:    B( x, y, v, u)    .+ ( x, y, v, u)    J( x, y)    X( x, y)    Y( x, y)

Proof of Theorem tmdcn2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tmdcn2.2 . . . . 5  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
2 tmdcn2.1 . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
31, 2tmdtopon 17860 . . . 4  |-  ( G  e. TopMnd  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
43ad2antrr 706 . . 3  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  U  e.  J )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  U ) )  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
5 eqid 2358 . . . . . 6  |-  ( + f `  G )  =  ( + f `  G )
61, 5tmdcn 17862 . . . . 5  |-  ( G  e. TopMnd  ->  ( + f `  G )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  J ) )
76ad2antrr 706 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  U  e.  J )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  U ) )  ->  ( + f `  G )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  J ) )
8 simpr1 961 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  U  e.  J )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  U ) )  ->  X  e.  B
)
9 simpr2 962 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  U  e.  J )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  U ) )  ->  Y  e.  B
)
10 opelxpi 4800 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  -> 
<. X ,  Y >.  e.  ( B  X.  B
) )
118, 9, 10syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  U  e.  J )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  U ) )  ->  <. X ,  Y >.  e.  ( B  X.  B ) )
12 txtopon 17386 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  B )  /\  J  e.  (TopOn `  B )
)  ->  ( J  tX  J )  e.  (TopOn `  ( B  X.  B
) ) )
134, 4, 12syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  U  e.  J )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  U ) )  ->  ( J  tX  J )  e.  (TopOn `  ( B  X.  B
) ) )
14 toponuni 16765 . . . . . 6  |-  ( ( J  tX  J )  e.  (TopOn `  ( B  X.  B ) )  ->  ( B  X.  B )  =  U. ( J  tX  J ) )
1513, 14syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  U  e.  J )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  U ) )  ->  ( B  X.  B )  =  U. ( J  tX  J ) )
1611, 15eleqtrd 2434 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  U  e.  J )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  U ) )  ->  <. X ,  Y >.  e.  U. ( J 
tX  J ) )
17 eqid 2358 . . . . 5  |-  U. ( J  tX  J )  = 
U. ( J  tX  J )
1817cncnpi 17107 . . . 4  |-  ( ( ( + f `  G )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  J )  /\  <. X ,  Y >.  e.  U. ( J 
tX  J ) )  ->  ( + f `  G )  e.  ( ( ( J  tX  J )  CnP  J
) `  <. X ,  Y >. ) )
197, 16, 18syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  U  e.  J )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  U ) )  ->  ( + f `  G )  e.  ( ( ( J  tX  J )  CnP  J
) `  <. X ,  Y >. ) )
20 simplr 731 . . 3  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  U  e.  J )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  U ) )  ->  U  e.  J
)
21 tmdcn2.3 . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  G )
222, 21, 5plusfval 14473 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X ( + f `  G ) Y )  =  ( X  .+  Y ) )
238, 9, 22syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  U  e.  J )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  U ) )  ->  ( X ( + f `  G
) Y )  =  ( X  .+  Y
) )
24 simpr3 963 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  U  e.  J )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  U ) )  ->  ( X  .+  Y )  e.  U
)
2523, 24eqeltrd 2432 . . 3  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  U  e.  J )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  U ) )  ->  ( X ( + f `  G
) Y )  e.  U )
264, 4, 19, 20, 8, 9, 25txcnpi 17402 . 2  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  U  e.  J )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  U ) )  ->  E. u  e.  J  E. v  e.  J  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  ( `' ( + f `  G
) " U ) ) )
27 dfss3 3246 . . . . . . 7  |-  ( ( u  X.  v ) 
C_  ( `' ( + f `  G
) " U )  <->  A. z  e.  (
u  X.  v ) z  e.  ( `' ( + f `  G ) " U
) )
28 eleq1 2418 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( z  e.  ( `' ( + f `  G )
" U )  <->  <. x ,  y >.  e.  ( `' ( + f `  G ) " U
) ) )
292, 5plusffn 14475 . . . . . . . . . 10  |-  ( + f `  G )  Fn  ( B  X.  B )
30 elpreima 5725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( + f `  G
)  Fn  ( B  X.  B )  -> 
( <. x ,  y
>.  e.  ( `' ( + f `  G
) " U )  <-> 
( <. x ,  y
>.  e.  ( B  X.  B )  /\  (
( + f `  G ) `  <. x ,  y >. )  e.  U ) ) )
3129, 30ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( `' ( + f `  G )
" U )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  ( B  X.  B )  /\  ( ( + f `  G ) `
 <. x ,  y
>. )  e.  U
) )
3228, 31syl6bb 252 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( z  e.  ( `' ( + f `  G )
" U )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  ( B  X.  B )  /\  ( ( + f `  G ) `
 <. x ,  y
>. )  e.  U
) ) )
3332ralxp 4906 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  ( u  X.  v ) z  e.  ( `' ( + f `  G )
" U )  <->  A. x  e.  u  A. y  e.  v  ( <. x ,  y >.  e.  ( B  X.  B )  /\  ( ( + f `  G ) `
 <. x ,  y
>. )  e.  U
) )
3427, 33bitri 240 . . . . . 6  |-  ( ( u  X.  v ) 
C_  ( `' ( + f `  G
) " U )  <->  A. x  e.  u  A. y  e.  v 
( <. x ,  y
>.  e.  ( B  X.  B )  /\  (
( + f `  G ) `  <. x ,  y >. )  e.  U ) )
35 opelxp 4798 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( B  X.  B
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )
36 df-ov 5945 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x ( + f `  G ) y )  =  ( ( + f `  G ) `
 <. x ,  y
>. )
372, 21, 5plusfval 14473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x ( + f `  G ) y )  =  ( x  .+  y ) )
3836, 37syl5eqr 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( + f `  G ) `  <. x ,  y >. )  =  ( x  .+  y ) )
3935, 38sylbi 187 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( B  X.  B
)  ->  ( ( + f `  G ) `
 <. x ,  y
>. )  =  (
x  .+  y )
)
4039eleq1d 2424 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( B  X.  B
)  ->  ( (
( + f `  G ) `  <. x ,  y >. )  e.  U  <->  ( x  .+  y )  e.  U
) )
4140biimpa 470 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  ( B  X.  B
)  /\  ( ( + f `  G ) `
 <. x ,  y
>. )  e.  U
)  ->  ( x  .+  y )  e.  U
)
4241ralimi 2694 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  v  ( <. x ,  y >.  e.  ( B  X.  B
)  /\  ( ( + f `  G ) `
 <. x ,  y
>. )  e.  U
)  ->  A. y  e.  v  ( x  .+  y )  e.  U
)
4342ralimi 2694 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  u  A. y  e.  v  ( <. x ,  y >.  e.  ( B  X.  B
)  /\  ( ( + f `  G ) `
 <. x ,  y
>. )  e.  U
)  ->  A. x  e.  u  A. y  e.  v  ( x  .+  y )  e.  U
)
4434, 43sylbi 187 . . . . 5  |-  ( ( u  X.  v ) 
C_  ( `' ( + f `  G
) " U )  ->  A. x  e.  u  A. y  e.  v 
( x  .+  y
)  e.  U )
45443anim3i 1139 . . . 4  |-  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  ( `' ( + f `  G
) " U ) )  ->  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  A. x  e.  u  A. y  e.  v  ( x  .+  y )  e.  U
) )
4645reximi 2726 . . 3  |-  ( E. v  e.  J  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  ( `' ( + f `  G
) " U ) )  ->  E. v  e.  J  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  A. x  e.  u  A. y  e.  v  ( x  .+  y )  e.  U
) )
4746reximi 2726 . 2  |-  ( E. u  e.  J  E. v  e.  J  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  ( `' ( + f `  G
) " U ) )  ->  E. u  e.  J  E. v  e.  J  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  A. x  e.  u  A. y  e.  v  ( x  .+  y )  e.  U
) )
4826, 47syl 15 1  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  U  e.  J )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  U ) )  ->  E. u  e.  J  E. v  e.  J  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  A. x  e.  u  A. y  e.  v 
( x  .+  y
)  e.  U ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710   A.wral 2619   E.wrex 2620    C_ wss 3228   <.cop 3719   U.cuni 3906    X. cxp 4766   `'ccnv 4767   "cima 4771    Fn wfn 5329   ` cfv 5334  (class class class)co 5942   Basecbs 13239   +g cplusg 13299   TopOpenctopn 13419   + fcplusf 14457  TopOnctopon 16732    Cn ccn 17054    CnP ccnp 17055    tX ctx 17355  TopMndctmd 17849
This theorem is referenced by:  tsmsxp  17933
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3907  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-id 4388  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-map 6859  df-topgen 13437  df-plusf 14461  df-top 16736  df-bases 16738  df-topon 16739  df-topsp 16740  df-cn 17057  df-cnp 17058  df-tx 17357  df-tmd 17851
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