Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tmdcn2 Structured version   Unicode version

Theorem tmdcn2 18119
 Description: Write out the definition of continuity of explicitly. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tmdcn2.1
tmdcn2.2
tmdcn2.3
Assertion
Ref Expression
tmdcn2 TopMnd
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,   ,,,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,,,)   (,,,)   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem tmdcn2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tmdcn2.2 . . . . 5
2 tmdcn2.1 . . . . 5
31, 2tmdtopon 18111 . . . 4 TopMnd TopOn
43ad2antrr 707 . . 3 TopMnd TopOn
5 eqid 2436 . . . . . 6
61, 5tmdcn 18113 . . . . 5 TopMnd
76ad2antrr 707 . . . 4 TopMnd
8 simpr1 963 . . . . . 6 TopMnd
9 simpr2 964 . . . . . 6 TopMnd
10 opelxpi 4910 . . . . . 6
118, 9, 10syl2anc 643 . . . . 5 TopMnd
12 txtopon 17623 . . . . . . 7 TopOn TopOn TopOn
134, 4, 12syl2anc 643 . . . . . 6 TopMnd TopOn
14 toponuni 16992 . . . . . 6 TopOn
1513, 14syl 16 . . . . 5 TopMnd
1611, 15eleqtrd 2512 . . . 4 TopMnd
17 eqid 2436 . . . . 5
1817cncnpi 17342 . . . 4
197, 16, 18syl2anc 643 . . 3 TopMnd
20 simplr 732 . . 3 TopMnd
21 tmdcn2.3 . . . . . 6
222, 21, 5plusfval 14703 . . . . 5
238, 9, 22syl2anc 643 . . . 4 TopMnd
24 simpr3 965 . . . 4 TopMnd
2523, 24eqeltrd 2510 . . 3 TopMnd
264, 4, 19, 20, 8, 9, 25txcnpi 17640 . 2 TopMnd
27 dfss3 3338 . . . . . . 7
28 eleq1 2496 . . . . . . . . 9
292, 5plusffn 14705 . . . . . . . . . 10
30 elpreima 5850 . . . . . . . . . 10
3129, 30ax-mp 8 . . . . . . . . 9
3228, 31syl6bb 253 . . . . . . . 8
3332ralxp 5016 . . . . . . 7
3427, 33bitri 241 . . . . . 6
35 opelxp 4908 . . . . . . . . . . 11
36 df-ov 6084 . . . . . . . . . . . 12
372, 21, 5plusfval 14703 . . . . . . . . . . . 12
3836, 37syl5eqr 2482 . . . . . . . . . . 11
3935, 38sylbi 188 . . . . . . . . . 10
4039eleq1d 2502 . . . . . . . . 9
4140biimpa 471 . . . . . . . 8
4241ralimi 2781 . . . . . . 7
4342ralimi 2781 . . . . . 6
4434, 43sylbi 188 . . . . 5
45443anim3i 1141 . . . 4
4645reximi 2813 . . 3
4746reximi 2813 . 2
4826, 47syl 16 1 TopMnd
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705  wrex 2706   wss 3320  cop 3817  cuni 4015   cxp 4876  ccnv 4877  cima 4881   wfn 5449  cfv 5454  (class class class)co 6081  cbs 13469   cplusg 13529  ctopn 13649  cplusf 14687  TopOnctopon 16959   ccn 17288   ccnp 17289   ctx 17592  TopMndctmd 18100 This theorem is referenced by:  tsmsxp  18184 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-map 7020  df-topgen 13667  df-plusf 14691  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-tx 17594  df-tmd 18102
 Copyright terms: Public domain W3C validator