MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tmslem Structured version   Unicode version

Theorem tmslem 18543
Description: Lemma for tmsbas 18544, tmsds 18545, and tmstopn 18546. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tmsval.m  |-  M  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  X >. , 
<. ( dist `  ndx ) ,  D >. }
tmsval.k  |-  K  =  (toMetSp `  D )
Assertion
Ref Expression
tmslem  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( X  =  ( Base `  K )  /\  D  =  ( dist `  K
)  /\  ( MetOpen `  D )  =  (
TopOpen `  K ) ) )

Proof of Theorem tmslem
StepHypRef Expression
1 elfvdm 5786 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  e.  dom  * Met )
2 tmsval.m . . . . 5  |-  M  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  X >. , 
<. ( dist `  ndx ) ,  D >. }
3 df-ds 13582 . . . . 5  |-  dist  = Slot ; 1 2
4 1nn 10042 . . . . . 6  |-  1  e.  NN
5 2nn0 10269 . . . . . 6  |-  2  e.  NN0
6 1nn0 10268 . . . . . 6  |-  1  e.  NN0
7 1lt10 10217 . . . . . 6  |-  1  <  10
84, 5, 6, 7declti 10438 . . . . 5  |-  1  < ; 1
2
9 2nn 10164 . . . . . 6  |-  2  e.  NN
106, 9decnncl 10426 . . . . 5  |- ; 1 2  e.  NN
112, 3, 8, 102strbas 13597 . . . 4  |-  ( X  e.  dom  * Met  ->  X  =  ( Base `  M ) )
121, 11syl 16 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  =  ( Base `  M
) )
13 xmetf 18390 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
14 ffn 5620 . . . . 5  |-  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  ->  D  Fn  ( X  X.  X ) )
15 fnresdm 5583 . . . . 5  |-  ( D  Fn  ( X  X.  X )  ->  ( D  |`  ( X  X.  X ) )  =  D )
1613, 14, 153syl 19 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( D  |`  ( X  X.  X ) )  =  D )
172, 3, 8, 102strop 13598 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  D  =  ( dist `  M
) )
1817reseq1d 5174 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( D  |`  ( X  X.  X ) )  =  ( ( dist `  M
)  |`  ( X  X.  X ) ) )
1916, 18eqtr3d 2476 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  D  =  ( ( dist `  M )  |`  ( X  X.  X ) ) )
20 tmsval.k . . . 4  |-  K  =  (toMetSp `  D )
212, 20tmsval 18542 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  K  =  ( M sSet  <. (TopSet `  ndx ) ,  (
MetOpen `  D ) >.
) )
2212, 19, 21setsmsbas 18536 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  =  ( Base `  K
) )
2312, 19, 21setsmsds 18537 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( dist `  M )  =  ( dist `  K
) )
2417, 23eqtrd 2474 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  D  =  ( dist `  K
) )
25 prex 4435 . . . . 5  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  X >. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  D >. }  e.  _V
262, 25eqeltri 2512 . . . 4  |-  M  e. 
_V
2726a1i 11 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  M  e.  _V )
2812, 19, 21, 27setsmstopn 18539 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( MetOpen
`  D )  =  ( TopOpen `  K )
)
2922, 24, 283jca 1135 1  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( X  =  ( Base `  K )  /\  D  =  ( dist `  K
)  /\  ( MetOpen `  D )  =  (
TopOpen `  K ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1727   _Vcvv 2962   {cpr 3839   <.cop 3841    X. cxp 4905   dom cdm 4907    |` cres 4909    Fn wfn 5478   -->wf 5479   ` cfv 5483   1c1 9022   RR*cxr 9150   2c2 10080  ;cdc 10413   ndxcnx 13497   Basecbs 13500   distcds 13569   TopOpenctopn 13680   * Metcxmt 16717   MetOpencmopn 16722  toMetSpctmt 18380
This theorem is referenced by:  tmsbas  18544  tmsds  18545  tmstopn  18546
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-pre-sup 9099
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-oadd 6757  df-er 6934  df-map 7049  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-sup 7475  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-4 10091  df-5 10092  df-6 10093  df-7 10094  df-8 10095  df-9 10096  df-10 10097  df-n0 10253  df-z 10314  df-dec 10414  df-uz 10520  df-q 10606  df-rp 10644  df-xneg 10741  df-xadd 10742  df-xmul 10743  df-fz 11075  df-struct 13502  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-tset 13579  df-ds 13582  df-rest 13681  df-topn 13682  df-topgen 13698  df-psmet 16725  df-xmet 16726  df-bl 16728  df-mopn 16729  df-top 16994  df-bases 16996  df-topon 16997  df-tms 18383
  Copyright terms: Public domain W3C validator