Theorem top2ind 11050

Description: If a topology has two element it is the indiscrete topology.

Assertion

Ref	Expression
top2ind	|- ((J e. Top /\ J ~~ 2o) -> J = {(/), U.J})

Proof of Theorem top2ind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0opn 7813	. . . 4 |- (J e. Top -> (/) e. J)
2		0top 7847	. . . . . 6 |- (J e. Top -> (U.J = (/) <-> J = {(/)}))
3		0ex 2785	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. V
4	3	ensn1 4565	. . . . . . . . . . 11 |- {(/)} ~~ 1o
5		breq1 2695	. . . . . . . . . . 11 |- (J = {(/)} -> (J ~~ 1o <-> {(/)} ~~ 1o))
6	4, 5	mpbiri 192	. . . . . . . . . 10 |- (J = {(/)} -> J ~~ 1o)
7		1sdom2 4672	. . . . . . . . . . 11 |- 1o ~< 2o
8		ensdomtr 4616	. . . . . . . . . . . 12 |- ((J ~~ 1o /\ 1o ~< 2o) -> J ~< 2o)
9		sdomnen 4528	. . . . . . . . . . . 12 |- (J ~< 2o -> -. J ~~ 2o)
10	8, 9	syl 10	. . . . . . . . . . 11 |- ((J ~~ 1o /\ 1o ~< 2o) -> -. J ~~ 2o)
11	7, 10	mpan2 700	. . . . . . . . . 10 |- (J ~~ 1o -> -. J ~~ 2o)
12	6, 11	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (J = {(/)} -> -. J ~~ 2o)
13	12	con2i 97	. . . . . . . 8 |- (J ~~ 2o -> -. J = {(/)})
14		bibif 685	. . . . . . . . . 10 |- (-. J = {(/)} -> ((U.J = (/) <-> J = {(/)}) <-> -. U.J = (/)))
15		df-ne 1630	. . . . . . . . . . 11 |- (U.J =/= (/) <-> -. U.J = (/))
16		necom 1682	. . . . . . . . . . . 12 |- (U.J =/= (/) <-> (/) =/= U.J)
17		set2elt 10827	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((J ~~ 2o /\ (/) e. J /\ U.J e. J) -> ((/) =/= U.J -> J = {(/), U.J}))
18	17	3exp 838	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (J ~~ 2o -> ((/) e. J -> (U.J e. J -> ((/) =/= U.J -> J = {(/), U.J}))))
19	18	com24 37	. . . . . . . . . . . . 13 |- (J ~~ 2o -> ((/) =/= U.J -> (U.J e. J -> ((/) e. J -> J = {(/), U.J}))))
20	19	com12 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ((/) =/= U.J -> (J ~~ 2o -> (U.J e. J -> ((/) e. J -> J = {(/), U.J}))))
21	16, 20	sylbi 197	. . . . . . . . . . 11 |- (U.J =/= (/) -> (J ~~ 2o -> (U.J e. J -> ((/) e. J -> J = {(/), U.J}))))
22	15, 21	sylbir 199	. . . . . . . . . 10 |- (-. U.J = (/) -> (J ~~ 2o -> (U.J e. J -> ((/) e. J -> J = {(/), U.J}))))
23	14, 22	syl6bi 212	. . . . . . . . 9 |- (-. J = {(/)} -> ((U.J = (/) <-> J = {(/)}) -> (J ~~ 2o -> (U.J e. J -> ((/) e. J -> J = {(/), U.J})))))
24	23	com3r 35	. . . . . . . 8 |- (J ~~ 2o -> (-. J = {(/)} -> ((U.J = (/) <-> J = {(/)}) -> (U.J e. J -> ((/) e. J -> J = {(/), U.J})))))
25	13, 24	mpd 26	. . . . . . 7 |- (J ~~ 2o -> ((U.J = (/) <-> J = {(/)}) -> (U.J e. J -> ((/) e. J -> J = {(/), U.J}))))
26	25	com4l 39	. . . . . 6 |- ((U.J = (/) <-> J = {(/)}) -> (U.J e. J -> ((/) e. J -> (J ~~ 2o -> J = {(/), U.J}))))
27	2, 26	syl 10	. . . . 5 |- (J e. Top -> (U.J e. J -> ((/) e. J -> (J ~~ 2o -> J = {(/), U.J}))))
28		eqid 1518	. . . . . 6 |- U.J = U.J
29	28	topopn 7814	. . . . 5 |- (J e. Top -> U.J e. J)
30	27, 29	syl5 21	. . . 4 |- (J e. Top -> (J e. Top -> ((/) e. J -> (J ~~ 2o -> J = {(/), U.J}))))
31	1, 30	mpid 47	. . 3 |- (J e. Top -> (J e. Top -> (J ~~ 2o -> J = {(/), U.J})))
32	31	pm2.43i 64	. 2 |- (J e. Top -> (J ~~ 2o -> J = {(/), U.J}))
33	32	imp 348	1 |- ((J e. Top /\ J ~~ 2o) -> J = {(/), U.J})

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 144   /\ wa 221   = wceq 992   e. wcel 994   =/= wne 1628  (/)c0 2332  {csn 2467  {cpr 2468  U.cuni 2569   class class class wbr 2692  1oc1o 4264  2oc2o 4265   ~~ cen 4505   ~< csdm 4507  Topctop 7800

This theorem is referenced by:  top2usne 11051  homindlem3 11053

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-1o 4269  df-2o 4270  df-er 4401  df-en 4509  df-dom 4510  df-sdom 4511  df-fin 4512  df-top 7804

Copyright terms: Public domain