Theorem top2usne 11051

Description: If a toplogy has two elements its underlying set can't be empty.

Assertion

Ref	Expression
top2usne	|- ((J e. Top /\ J ~~ 2o) -> U.J =/= (/))

Proof of Theorem top2usne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		top2ind 11050	. . . 4 |- ((J e. Top /\ J ~~ 2o) -> J = {(/), U.J})
2		uni0b 2590	. . . . . 6 |- (U.J = (/) <-> J (_ {(/)})
3		sssn 2538	. . . . . . 7 |- (J (_ {(/)} <-> (J = (/) \/ J = {(/)}))
4		breq1 2695	. . . . . . . . . . . . 13 |- (J = (/) -> (J ~~ 2o <-> (/) ~~ 2o))
5		sssucid 3050	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (/) (_ suc (/)
6		sssucid 3050	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- suc (/) (_ suc suc (/)
7		sstr 2124	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((/) (_ suc (/) /\ suc (/) (_ suc suc (/)) -> (/) (_ suc suc (/))
8		nsuceq0 3053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- suc suc (/) =/= (/)
9		necom 1682	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (suc suc (/) =/= (/) <-> (/) =/= suc suc (/))
10	8, 9	mpbi 187	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (/) =/= suc suc (/)
11		df-pss 2107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((/) (. suc suc (/) <-> ((/) (_ suc suc (/) /\ (/) =/= suc suc (/)))
12		peano1 3237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (/) e. om
13		peano2 3238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((/) e. om -> suc (/) e. om)
14	12, 13	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- suc (/) e. om
15		peano2 3238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (suc (/) e. om -> suc suc (/) e. om)
16	14, 15	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- suc suc (/) e. om
17		php 4660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((suc suc (/) e. om /\ (/) (. suc suc (/)) -> -. suc suc (/) ~~ (/))
18		ensymg 4552	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (suc suc (/) e. om -> ((/) ~~ suc suc (/) -> suc suc (/) ~~ (/)))
19	16, 18	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((/) ~~ suc suc (/) -> suc suc (/) ~~ (/))
20	17, 19	nsyl 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((suc suc (/) e. om /\ (/) (. suc suc (/)) -> -. (/) ~~ suc suc (/))
21	16, 20	mpan 699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((/) (. suc suc (/) -> -. (/) ~~ suc suc (/))
22	11, 21	sylbir 199	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((/) (_ suc suc (/) /\ (/) =/= suc suc (/)) -> -. (/) ~~ suc suc (/))
23	10, 22	mpan2 700	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((/) (_ suc suc (/) -> -. (/) ~~ suc suc (/))
24	7, 23	syl 10	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((/) (_ suc (/) /\ suc (/) (_ suc suc (/)) -> -. (/) ~~ suc suc (/))
25	5, 6, 24	mp2an 701	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -. (/) ~~ suc suc (/)
26		df-2o 4270	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2o = suc 1o
27		df-1o 4269	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 1o = suc (/)
28		suceq 3038	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (1o = suc (/) -> suc 1o = suc suc (/))
29	27, 28	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- suc 1o = suc suc (/)
30	26, 29	eqtri 1538	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2o = suc suc (/)
31	30	breq2i 2700	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((/) ~~ 2o <-> (/) ~~ suc suc (/))
32	25, 31	mtbir 190	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -. (/) ~~ 2o
33	32	pm2.21i 77	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((/) ~~ 2o -> -. U.J = (/))
34	4, 33	syl6bi 212	. . . . . . . . . . . 12 |- (J = (/) -> (J ~~ 2o -> -. U.J = (/)))
35	34	a1i 8	. . . . . . . . . . 11 |- (J = {(/), U.J} -> (J = (/) -> (J ~~ 2o -> -. U.J = (/))))
36	35	com13 33	. . . . . . . . . 10 |- (J ~~ 2o -> (J = (/) -> (J = {(/), U.J} -> -. U.J = (/))))
37	36	adantl 388	. . . . . . . . 9 |- ((J e. Top /\ J ~~ 2o) -> (J = (/) -> (J = {(/), U.J} -> -. U.J = (/))))
38	37	com12 11	. . . . . . . 8 |- (J = (/) -> ((J e. Top /\ J ~~ 2o) -> (J = {(/), U.J} -> -. U.J = (/))))
39		0ex 2785	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. V
40	39	ensn1 4565	. . . . . . . . 9 |- {(/)} ~~ 1o
41		breq1 2695	. . . . . . . . . . 11 |- ({(/)} = J -> ({(/)} ~~ 1o <-> J ~~ 1o))
42		2onn 4394	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2o e. om
43		ensymg 4552	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (2o e. om -> (J ~~ 2o -> 2o ~~ J))
44		entr 4555	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((2o ~~ J /\ J ~~ 1o) -> 2o ~~ 1o)
45		1onn 4393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 1o e. om
46	45	elisseti 1864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1o e. V
47		ensymg 4552	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (1o e. V -> (2o ~~ 1o -> 1o ~~ 2o))
48		php5 4664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (1o e. om -> -. 1o ~~ suc 1o)
49	45, 48	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- -. 1o ~~ suc 1o
50	26	breq2i 2700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (1o ~~ 2o <-> 1o ~~ suc 1o)
51	49, 50	mtbir 190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- -. 1o ~~ 2o
52	51	pm2.21i 77	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (1o ~~ 2o -> -. U.J = (/))
53	47, 52	syl6 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (1o e. V -> (2o ~~ 1o -> -. U.J = (/)))
54	46, 53	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (2o ~~ 1o -> -. U.J = (/))
55	54	a1d 12	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (2o ~~ 1o -> (J = {(/), U.J} -> -. U.J = (/)))
56	44, 55	syl 10	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((2o ~~ J /\ J ~~ 1o) -> (J = {(/), U.J} -> -. U.J = (/)))
57	56	ex 371	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (2o ~~ J -> (J ~~ 1o -> (J = {(/), U.J} -> -. U.J = (/))))
58	43, 57	syl6 22	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (2o e. om -> (J ~~ 2o -> (J ~~ 1o -> (J = {(/), U.J} -> -. U.J = (/)))))
59	42, 58	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . 13 |- (J ~~ 2o -> (J ~~ 1o -> (J = {(/), U.J} -> -. U.J = (/))))
60	59	adantl 388	. . . . . . . . . . . 12 |- ((J e. Top /\ J ~~ 2o) -> (J ~~ 1o -> (J = {(/), U.J} -> -. U.J = (/))))
61	60	com12 11	. . . . . . . . . . 11 |- (J ~~ 1o -> ((J e. Top /\ J ~~ 2o) -> (J = {(/), U.J} -> -. U.J = (/))))
62	41, 61	syl6bi 212	. . . . . . . . . 10 |- ({(/)} = J -> ({(/)} ~~ 1o -> ((J e. Top /\ J ~~ 2o) -> (J = {(/), U.J} -> -. U.J = (/)))))
63	62	eqcoms 1521	. . . . . . . . 9 |- (J = {(/)} -> ({(/)} ~~ 1o -> ((J e. Top /\ J ~~ 2o) -> (J = {(/), U.J} -> -. U.J = (/)))))
64	40, 63	mpi 44	. . . . . . . 8 |- (J = {(/)} -> ((J e. Top /\ J ~~ 2o) -> (J = {(/), U.J} -> -. U.J = (/))))
65	38, 64	jaoi 339	. . . . . . 7 |- ((J = (/) \/ J = {(/)}) -> ((J e. Top /\ J ~~ 2o) -> (J = {(/), U.J} -> -. U.J = (/))))
66	3, 65	sylbi 197	. . . . . 6 |- (J (_ {(/)} -> ((J e. Top /\ J ~~ 2o) -> (J = {(/), U.J} -> -. U.J = (/))))
67	2, 66	sylbi 197	. . . . 5 |- (U.J = (/) -> ((J e. Top /\ J ~~ 2o) -> (J = {(/), U.J} -> -. U.J = (/))))
68	67	com13 33	. . . 4 |- (J = {(/), U.J} -> ((J e. Top /\ J ~~ 2o) -> (U.J = (/) -> -. U.J = (/))))
69	1, 68	mpcom 49	. . 3 |- ((J e. Top /\ J ~~ 2o) -> (U.J = (/) -> -. U.J = (/)))
70	69	pm2.01d 89	. 2 |- ((J e. Top /\ J ~~ 2o) -> -. U.J = (/))
71		df-ne 1630	. 2 |- (U.J =/= (/) <-> -. U.J = (/))
72	70, 71	sylibr 198	1 |- ((J e. Top /\ J ~~ 2o) -> U.J =/= (/))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   \/ wo 220   /\ wa 221   = wceq 992   e. wcel 994   =/= wne 1628  Vcvv 1857   (_ wss 2099   (. wpss 2100  (/)c0 2332  {csn 2467  {cpr 2468  U.cuni 2569   class class class wbr 2692  suc csuc 2977  omcom 3218  1oc1o 4264  2oc2o 4265   ~~ cen 4505  Topctop 7800

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-1o 4269  df-2o 4270  df-er 4401  df-en 4509  df-dom 4510  df-sdom 4511  df-fin 4512  df-top 7804

Copyright terms: Public domain