MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  topcld Unicode version

Theorem topcld 16734
Description: The underlying set of a topology is closed. Part of Theorem 6.1(1) of [Munkres] p. 93. (Contributed by NM, 3-Oct-2006.)
Hypothesis
Ref Expression
iscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
topcld  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  ( Clsd `  J
) )

Proof of Theorem topcld
StepHypRef Expression
1 difid 3497 . . . 4  |-  ( X 
\  X )  =  (/)
2 0opn 16612 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  (/)  e.  J
)
31, 2syl5eqel 2342 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( X  \  X )  e.  J )
4 ssid 3172 . . 3  |-  X  C_  X
53, 4jctil 525 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( X  C_  X  /\  ( X  \  X )  e.  J ) )
6 iscld.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
76iscld 16726 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( X  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( X  C_  X  /\  ( X 
\  X )  e.  J ) ) )
85, 7mpbird 225 1  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  ( Clsd `  J
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621    \ cdif 3124    C_ wss 3127   (/)c0 3430   U.cuni 3801   ` cfv 4673   Topctop 16593   Clsdccld 16715
This theorem is referenced by:  clsval  16736  riincld  16743  clscld  16746  clstop  16768  cldmre  16777  indiscld  16790  iscon2  17102  cnmpt2pc  18388  rlmbn  18740  ubthlem1  21409  cmpfiiin  26139  kelac1  26528
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4281  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fv 4689  df-top 16598  df-cld 16718
  Copyright terms: Public domain W3C validator