Theorem topcld 7672

Description: The underlying set of a topology is closed. Part of Theorem 6.1(1) of [Munkres] p. 93.

Hypothesis

Ref	Expression
iscld.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
topcld	|- (J e. Top -> X e. (Clsd` J))

Proof of Theorem topcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0opnt 7602	. . . 4 |- (J e. Top -> (/) e. J)
2		difid 2338	. . . 4 |- (X \ X) = (/)
3	1, 2	syl5eqel 1555	. . 3 |- (J e. Top -> (X \ X) e. J)
4		ssid 2083	. . 3 |- X (_ X
5	3, 4	jctil 292	. 2 |- (J e. Top -> (X (_ X /\ (X \ X) e. J))
6		iscld.1	. . 3 |- X = U.J
7	6	iscld 7666	. 2 |- (J e. Top -> (X e. (Clsd` J) <-> (X (_ X /\ (X \ X) e. J)))
8	5, 7	mpbird 196	1 |- (J e. Top -> X e. (Clsd` J))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960   \ cdif 2047   (_ wss 2050  (/)c0 2283  U.cuni 2507  ` cfv 3188  Topctop 7590  Clsdccld 7657

This theorem is referenced by:  clsval 7674  clscld 7680  clsval2 7682  clstop 7697

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fv 3204  df-top 7594  df-cld 7660

Copyright terms: Public domain