MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  topcld Unicode version

Theorem topcld 16767
Description: The underlying set of a topology is closed. Part of Theorem 6.1(1) of [Munkres] p. 93. (Contributed by NM, 3-Oct-2006.)
Hypothesis
Ref Expression
iscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
topcld  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  ( Clsd `  J
) )

Proof of Theorem topcld
StepHypRef Expression
1 difid 3524 . . . 4  |-  ( X 
\  X )  =  (/)
2 0opn 16645 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  (/)  e.  J
)
31, 2syl5eqel 2369 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( X  \  X )  e.  J )
4 ssid 3199 . . 3  |-  X  C_  X
53, 4jctil 525 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( X  C_  X  /\  ( X  \  X )  e.  J ) )
6 iscld.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
76iscld 16759 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( X  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( X  C_  X  /\  ( X 
\  X )  e.  J ) ) )
85, 7mpbird 225 1  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  ( Clsd `  J
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1624    e. wcel 1685    \ cdif 3151    C_ wss 3154   (/)c0 3457   U.cuni 3829   ` cfv 5222   Topctop 16626   Clsdccld 16748
This theorem is referenced by:  clsval  16769  riincld  16776  clscld  16779  clstop  16801  cldmre  16810  indiscld  16823  iscon2  17135  cnmpt2pc  18421  rlmbn  18773  ubthlem1  21442  cmpfiiin  26172  kelac1  26561
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-ral 2550  df-rex 2551  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fv 5230  df-top 16631  df-cld 16751
  Copyright terms: Public domain W3C validator