Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  topjoin Unicode version

Theorem topjoin 25726
Description: Two equivalent formulations of the join of a collection of topologies. (Contributed by Jeff Hankins, 6-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
topjoin  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  ( topGen `
 ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )  =  |^| { k  e.  (TopOn `  X
)  |  A. j  e.  S  j  C_  k } )
Distinct variable groups:    j, k, S    j, V, k    j, X, k

Proof of Theorem topjoin
StepHypRef Expression
1 topontop 16664 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  (TopOn `  X
)  ->  k  e.  Top )
21ad2antrl 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X ) )  /\  ( k  e.  (TopOn `  X )  /\  A. j  e.  S  j  C_  k ) )  -> 
k  e.  Top )
3 toponmax 16666 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  k )
43ad2antrl 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X ) )  /\  ( k  e.  (TopOn `  X )  /\  A. j  e.  S  j  C_  k ) )  ->  X  e.  k )
54snssd 3760 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X ) )  /\  ( k  e.  (TopOn `  X )  /\  A. j  e.  S  j  C_  k ) )  ->  { X }  C_  k
)
6 simprr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X ) )  /\  ( k  e.  (TopOn `  X )  /\  A. j  e.  S  j  C_  k ) )  ->  A. j  e.  S  j  C_  k )
7 unissb 3857 . . . . . . . 8  |-  ( U. S  C_  k  <->  A. j  e.  S  j  C_  k )
86, 7sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X ) )  /\  ( k  e.  (TopOn `  X )  /\  A. j  e.  S  j  C_  k ) )  ->  U. S  C_  k )
95, 8unssd 3351 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X ) )  /\  ( k  e.  (TopOn `  X )  /\  A. j  e.  S  j  C_  k ) )  -> 
( { X }  u.  U. S )  C_  k )
10 tgfiss 16729 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  Top  /\  ( { X }  u.  U. S )  C_  k
)  ->  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) ) 
C_  k )
112, 9, 10syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X ) )  /\  ( k  e.  (TopOn `  X )  /\  A. j  e.  S  j  C_  k ) )  -> 
( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )  C_  k )
1211expr 598 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X ) )  /\  k  e.  (TopOn `  X
) )  ->  ( A. j  e.  S  j  C_  k  ->  ( topGen `
 ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) ) 
C_  k ) )
1312ralrimiva 2626 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  A. k  e.  (TopOn `  X )
( A. j  e.  S  j  C_  k  ->  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )  C_  k )
)
14 ssintrab 3885 . . 3  |-  ( (
topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) ) 
C_  |^| { k  e.  (TopOn `  X )  |  A. j  e.  S  j  C_  k }  <->  A. k  e.  (TopOn `  X )
( A. j  e.  S  j  C_  k  ->  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )  C_  k )
)
1513, 14sylibr 203 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  ( topGen `
 ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) ) 
C_  |^| { k  e.  (TopOn `  X )  |  A. j  e.  S  j  C_  k } )
16 fibas 16715 . . . . . 6  |-  ( fi
`  ( { X }  u.  U. S ) )  e.  TopBases
17 tgtopon 16709 . . . . . 6  |-  ( ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) )  e.  TopBases 
->  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )  e.  (TopOn `  U. ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) ) )
1816, 17ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )  e.  (TopOn `  U. ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )
19 uniun 3846 . . . . . . . 8  |-  U. ( { X }  u.  U. S )  =  ( U. { X }  u.  U. U. S )
20 unisng 3844 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  V  ->  U. { X }  =  X
)
2120adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  U. { X }  =  X
)
2221uneq1d 3328 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  ( U. { X }  u.  U.
U. S )  =  ( X  u.  U. U. S ) )
2319, 22syl5req 2328 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  ( X  u.  U. U. S
)  =  U. ( { X }  u.  U. S ) )
24 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  S  C_  (TopOn `  X )
)
25 toponuni 16665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. k )
26 eqimss2 3231 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X  =  U. k  ->  U. k  C_  X )
2725, 26syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  (TopOn `  X
)  ->  U. k  C_  X )
28 sspwuni 3987 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k 
C_  ~P X  <->  U. k  C_  X )
2927, 28sylibr 203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  (TopOn `  X
)  ->  k  C_  ~P X )
30 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  k  e. 
_V
3130elpw 3631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ~P ~P X  <->  k 
C_  ~P X )
3229, 31sylibr 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  (TopOn `  X
)  ->  k  e.  ~P ~P X )
3332ssriv 3184 . . . . . . . . . . 11  |-  (TopOn `  X )  C_  ~P ~P X
3424, 33syl6ss 3191 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  S  C_ 
~P ~P X )
35 sspwuni 3987 . . . . . . . . . 10  |-  ( S 
C_  ~P ~P X  <->  U. S  C_  ~P X )
3634, 35sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  U. S  C_ 
~P X )
37 sspwuni 3987 . . . . . . . . 9  |-  ( U. S  C_  ~P X  <->  U. U. S  C_  X )
3836, 37sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  U. U. S  C_  X )
39 ssequn2 3348 . . . . . . . 8  |-  ( U. U. S  C_  X  <->  ( X  u.  U. U. S )  =  X )
4038, 39sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  ( X  u.  U. U. S
)  =  X )
41 snex 4216 . . . . . . . . 9  |-  { X }  e.  _V
42 fvex 5539 . . . . . . . . . . . 12  |-  (TopOn `  X )  e.  _V
4342ssex 4158 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S 
C_  (TopOn `  X )  ->  S  e.  _V )
4443adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  S  e.  _V )
45 uniexg 4517 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  _V  ->  U. S  e.  _V )
4644, 45syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  U. S  e.  _V )
47 unexg 4521 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { X }  e.  _V  /\  U. S  e. 
_V )  ->  ( { X }  u.  U. S )  e.  _V )
4841, 46, 47sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  ( { X }  u.  U. S )  e.  _V )
49 fiuni 7181 . . . . . . . 8  |-  ( ( { X }  u.  U. S )  e.  _V  ->  U. ( { X }  u.  U. S )  =  U. ( fi
`  ( { X }  u.  U. S ) ) )
5048, 49syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  U. ( { X }  u.  U. S )  =  U. ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )
5123, 40, 503eqtr3d 2323 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  X  =  U. ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )
5251fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  (TopOn `  X )  =  (TopOn `  U. ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) ) )
5318, 52syl5eleqr 2370 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  ( topGen `
 ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )  e.  (TopOn `  X
) )
54 elssuni 3855 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  S  ->  j  C_ 
U. S )
55 ssun2 3339 . . . . . . . 8  |-  U. S  C_  ( { X }  u.  U. S )
5654, 55syl6ss 3191 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  S  ->  j  C_  ( { X }  u.  U. S ) )
57 ssfii 7172 . . . . . . . 8  |-  ( ( { X }  u.  U. S )  e.  _V  ->  ( { X }  u.  U. S )  C_  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )
5848, 57syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  ( { X }  u.  U. S )  C_  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )
5956, 58sylan9ssr 3193 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X ) )  /\  j  e.  S )  ->  j  C_  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )
60 bastg 16704 . . . . . . 7  |-  ( ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) )  e.  TopBases 
->  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) )  C_  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) ) )
6116, 60ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( fi
`  ( { X }  u.  U. S ) )  C_  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )
6259, 61syl6ss 3191 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X ) )  /\  j  e.  S )  ->  j  C_  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) ) )
6362ralrimiva 2626 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  A. j  e.  S  j  C_  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) ) )
64 sseq2 3200 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )  ->  (
j  C_  k  <->  j  C_  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) ) ) )
6564ralbidv 2563 . . . . 5  |-  ( k  =  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )  ->  ( A. j  e.  S  j  C_  k  <->  A. j  e.  S  j  C_  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) ) ) )
6665elrab 2923 . . . 4  |-  ( (
topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )  e.  { k  e.  (TopOn `  X )  |  A. j  e.  S  j  C_  k }  <->  ( ( topGen `
 ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )  e.  (TopOn `  X
)  /\  A. j  e.  S  j  C_  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) ) ) )
6753, 63, 66sylanbrc 645 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  ( topGen `
 ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )  e.  { k  e.  (TopOn `  X )  |  A. j  e.  S  j  C_  k } )
68 intss1 3877 . . 3  |-  ( (
topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )  e.  { k  e.  (TopOn `  X )  |  A. j  e.  S  j  C_  k }  ->  |^|
{ k  e.  (TopOn `  X )  |  A. j  e.  S  j  C_  k }  C_  ( topGen `
 ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) ) )
6967, 68syl 15 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  |^| { k  e.  (TopOn `  X
)  |  A. j  e.  S  j  C_  k }  C_  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) ) )
7015, 69eqssd 3196 1  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  ( topGen `
 ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )  =  |^| { k  e.  (TopOn `  X
)  |  A. j  e.  S  j  C_  k } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   {crab 2547   _Vcvv 2788    u. cun 3150    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   {csn 3640   U.cuni 3827   |^|cint 3862   ` cfv 5255   ficfi 7164   topGenctg 13342   Topctop 16631  TopOnctopon 16632   TopBasesctb 16635
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-fin 6867  df-fi 7165  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639
  Copyright terms: Public domain W3C validator