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Theorem tosso 14470
Description: Write the totally ordered set structure predicate in terms of the proper class strict order predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tosso.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
tosso.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
tosso.s  |-  .<  =  ( lt `  K )
Assertion
Ref Expression
tosso  |-  ( K  e.  V  ->  ( K  e. Toset  <->  (  .<  Or  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) ) )

Proof of Theorem tosso
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tosso.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 tosso.l . . . . . . . . 9  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 tosso.s . . . . . . . . 9  |-  .<  =  ( lt `  K )
41, 2, 3pleval2 14427 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
x  .<_  y  <->  ( x  .<  y  \/  x  =  y ) ) )
543expb 1155 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( x  .<_  y  <->  ( x  .<  y  \/  x  =  y ) ) )
61, 2, 3pleval2 14427 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  y  e.  B  /\  x  e.  B )  ->  (
y  .<_  x  <->  ( y  .<  x  \/  y  =  x ) ) )
7 equcom 1693 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  <->  x  =  y )
87orbi2i 507 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  .<  x  \/  y  =  x )  <->  ( y  .<  x  \/  x  =  y )
)
96, 8syl6bb 254 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  y  e.  B  /\  x  e.  B )  ->  (
y  .<_  x  <->  ( y  .<  x  \/  x  =  y ) ) )
1093com23 1160 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
y  .<_  x  <->  ( y  .<  x  \/  x  =  y ) ) )
11103expb 1155 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( y  .<_  x  <->  ( y  .<  x  \/  x  =  y ) ) )
125, 11orbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( (
x  .<_  y  \/  y  .<_  x )  <->  ( (
x  .<  y  \/  x  =  y )  \/  ( y  .<  x  \/  x  =  y
) ) ) )
13 df-3or 938 . . . . . . 7  |-  ( ( x  .<  y  \/  x  =  y  \/  y  .<  x )  <->  ( (
x  .<  y  \/  x  =  y )  \/  y  .<  x )
)
14 or32 515 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  .<  y  \/  x  =  y
)  \/  y  .<  x )  <->  ( (
x  .<  y  \/  y  .<  x )  \/  x  =  y ) )
15 orordir 519 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  .<  y  \/  y  .<  x )  \/  x  =  y )  <->  ( ( x 
.<  y  \/  x  =  y )  \/  ( y  .<  x  \/  x  =  y
) ) )
1614, 15bitri 242 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  .<  y  \/  x  =  y
)  \/  y  .<  x )  <->  ( (
x  .<  y  \/  x  =  y )  \/  ( y  .<  x  \/  x  =  y
) ) )
1713, 16bitri 242 . . . . . 6  |-  ( ( x  .<  y  \/  x  =  y  \/  y  .<  x )  <->  ( (
x  .<  y  \/  x  =  y )  \/  ( y  .<  x  \/  x  =  y
) ) )
1812, 17syl6bbr 256 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( (
x  .<_  y  \/  y  .<_  x )  <->  ( x  .<  y  \/  x  =  y  \/  y  .<  x ) ) )
19182ralbidva 2747 . . . 4  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x  .<_  y  \/  y  .<_  x )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<  y  \/  x  =  y  \/  y  .<  x ) ) )
2019pm5.32i 620 . . 3  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x  .<_  y  \/  y  .<_  x ) )  <->  ( K  e.  Poset  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<  y  \/  x  =  y  \/  y  .<  x ) ) )
211, 2, 3pospo 14435 . . . 4  |-  ( K  e.  V  ->  ( K  e.  Poset  <->  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B )  C_  .<_  ) ) )
2221anbi1d 687 . . 3  |-  ( K  e.  V  ->  (
( K  e.  Poset  /\ 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<  y  \/  x  =  y  \/  y  .<  x )
)  <->  ( (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B )  C_  .<_  )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<  y  \/  x  =  y  \/  y  .<  x ) ) ) )
2320, 22syl5bb 250 . 2  |-  ( K  e.  V  ->  (
( K  e.  Poset  /\ 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x )
)  <->  ( (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B )  C_  .<_  )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<  y  \/  x  =  y  \/  y  .<  x ) ) ) )
241, 2istos 14469 . 2  |-  ( K  e. Toset 
<->  ( K  e.  Poset  /\ 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x )
) )
25 df-so 4507 . . . 4  |-  (  .<  Or  B  <->  (  .<  Po  B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<  y  \/  x  =  y  \/  y  .<  x )
) )
2625anbi1i 678 . . 3  |-  ( ( 
.<  Or  B  /\  (  _I  |`  B )  C_  .<_  )  <->  ( (  .<  Po  B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<  y  \/  x  =  y  \/  y  .<  x ) )  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )
27 an32 775 . . 3  |-  ( ( (  .<  Po  B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<  y  \/  x  =  y  \/  y  .<  x )
)  /\  (  _I  |`  B )  C_  .<_  )  <-> 
( (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x  .<  y  \/  x  =  y  \/  y  .<  x ) ) )
2826, 27bitri 242 . 2  |-  ( ( 
.<  Or  B  /\  (  _I  |`  B )  C_  .<_  )  <->  ( (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B )  C_  .<_  )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<  y  \/  x  =  y  \/  y  .<  x ) ) )
2923, 24, 283bitr4g 281 1  |-  ( K  e.  V  ->  ( K  e. Toset  <->  (  .<  Or  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    \/ w3o 936    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707    C_ wss 3322   class class class wbr 4215    _I cid 4496    Po wpo 4504    Or wor 4505    |` cres 4883   ` cfv 5457   Basecbs 13474   lecple 13541   Posetcpo 14402   ltcplt 14403  Tosetctos 14467
This theorem is referenced by:  opsrtoslem2  16550  opsrso  16552  toslub  24196  tosglb  24197  ofldsqr  24245  retos  24283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-res 4893  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fv 5465  df-poset 14408  df-plt 14420  df-toset 14468
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