Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tpr2tp Structured version   Unicode version

Theorem tpr2tp 24302
Description: The usual topology on  ( RR  X.  RR ) is the product topology of the usual topology on  RR. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Sep-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
tpr2tp.0  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
Assertion
Ref Expression
tpr2tp  |-  ( J 
tX  J )  e.  (TopOn `  ( RR  X.  RR ) )

Proof of Theorem tpr2tp
StepHypRef Expression
1 tpr2tp.0 . . 3  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
2 retopon 18797 . . 3  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
31, 2eqeltri 2506 . 2  |-  J  e.  (TopOn `  RR )
4 txtopon 17623 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  RR )  /\  J  e.  (TopOn `  RR )
)  ->  ( J  tX  J )  e.  (TopOn `  ( RR  X.  RR ) ) )
53, 3, 4mp2an 654 1  |-  ( J 
tX  J )  e.  (TopOn `  ( RR  X.  RR ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1652    e. wcel 1725    X. cxp 4876   ran crn 4879   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   RRcr 8989   (,)cioo 10916   topGenctg 13665  TopOnctopon 16959    tX ctx 17592
This theorem is referenced by:  tpr2uni  24303  sxbrsigalem4  24637  sxbrsiga  24640
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-ioo 10920  df-topgen 13667  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-tx 17594
  Copyright terms: Public domain W3C validator