Theorem trcl 4791

Description: For any set A, show the properties of its transitive closure C. Similar to Theorem 9.1 of [TakeutiZaring] p. 73 except that we show an explicit expression for the transitive closure rather than just its existence. See tz9.1 4792 for an abbreviated version showing existence.

Hypotheses

Ref	Expression
trcl.1	|- A e. V
trcl.2	|- F = (rec({<.z, w>. | w = (z u. U.z)}, A) |` om)
trcl.3	|- C = U_y e. om (F` y)

Assertion

Ref	Expression
trcl	|- (A (_ C /\ Tr C /\ A.x((A (_ x /\ Tr x) -> C (_ x))

Distinct variable groups:   x,y,z,w   y,A,z   y,F

Proof of Theorem trcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 3237	. . . . 5 |- (/) e. om
2		trcl.2	. . . . . . . 8 |- F = (rec({<.z, w>. | w = (z u. U.z)}, A) |` om)
3	2	fveq1i 3836	. . . . . . 7 |- (F` (/)) = ((rec({<.z, w>. | w = (z u. U.z)}, A) |` om)` (/))
4		trcl.1	. . . . . . . 8 |- A e. V
5		fr0g 4253	. . . . . . . 8 |- (A e. V -> ((rec({<.z, w>. | w = (z u. U.z)}, A) |` om)` (/)) = A)
6	4, 5	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- ((rec({<.z, w>. | w = (z u. U.z)}, A) |` om)` (/)) = A
7	3, 6	eqtr2i 1539	. . . . . 6 |- A = (F` (/))
8	7	eqimssi 2163	. . . . 5 |- A (_ (F` (/))
9		fveq2 3835	. . . . . . 7 |- (y = (/) -> (F` y) = (F` (/)))
10	9	sseq2d 2141	. . . . . 6 |- (y = (/) -> (A (_ (F` y) <-> A (_ (F` (/))))
11	10	rcla4ev 1923	. . . . 5 |- (((/) e. om /\ A (_ (F` (/))) -> E.y e. om A (_ (F` y))
12	1, 8, 11	mp2an 701	. . . 4 |- E.y e. om A (_ (F` y)
13		ssiun 2660	. . . 4 |- (E.y e. om A (_ (F` y) -> A (_ U_y e. om (F` y))
14	12, 13	ax-mp 7	. . 3 |- A (_ U_y e. om (F` y)
15		trcl.3	. . 3 |- C = U_y e. om (F` y)
16	14, 15	sseqtr4i 2146	. 2 |- A (_ C
17		dftr2 2756	. . . 4 |- (Tr U_y e. om (F` y) <-> A.vA.u((v e. u /\ u e. U_y e. om (F` y)) -> v e. U_y e. om (F` y)))
18		eliun 2637	. . . . . . . . 9 |- (u e. U_y e. om (F` y) <-> E.y e. om u e. (F` y))
19	18	anbi2i 483	. . . . . . . 8 |- ((v e. u /\ u e. U_y e. om (F` y)) <-> (v e. u /\ E.y e. om u e. (F` y)))
20		r19.42v 1810	. . . . . . . 8 |- (E.y e. om (v e. u /\ u e. (F` y)) <-> (v e. u /\ E.y e. om u e. (F` y)))
21	19, 20	bitr4i 174	. . . . . . 7 |- ((v e. u /\ u e. U_y e. om (F` y)) <-> E.y e. om (v e. u /\ u e. (F` y)))
22		ssun2 2246	. . . . . . . . . . 11 |- U.(F` y) (_ ((F` y) u. U.(F` y))
23		fvex 3843	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (F` y) e. V
24	23	uniex 3093	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U.(F` y) e. V
25	23, 24	unex 3095	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((F` y) u. U.(F` y)) e. V
26		ax-17 1007	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (v e. A -> A.z v e. A)
27		ax-17 1007	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (v e. y -> A.z v e. y)
28		hbopab1 2890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (v e. {<.z, w>. | w = (z u. U.z)} -> A.z v e. {<.z, w>. | w = (z u. U.z)})
29	28, 26	hbrdg 4237	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (v e. rec({<.z, w>. | w = (z u. U.z)}, A) -> A.z v e. rec({<.z, w>. | w = (z u. U.z)}, A))
30		ax-17 1007	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (v e. om -> A.z v e. om)
31	29, 30	hbres 3457	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (v e. (rec({<.z, w>. | w = (z u. U.z)}, A) |` om) -> A.z v e. (rec({<.z, w>. | w = (z u. U.z)}, A) |` om))
32	2, 31	hbxfr 1606	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (v e. F -> A.z v e. F)
33	32, 27	hbfv 3840	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (v e. (F` y) -> A.z v e. (F` y))
34	33	hbuni 2575	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (v e. U.(F` y) -> A.z v e. U.(F` y))
35	33, 34	hbun 2238	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (v e. ((F` y) u. U.(F` y)) -> A.z v e. ((F` y) u. U.(F` y)))
36		unieq 2576	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (z = (F` y) -> U.z = U.(F` y))
37		uneq12 2231	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((z = (F` y) /\ U.z = U.(F` y)) -> (z u. U.z) = ((F` y) u. U.(F` y)))
38	36, 37	mpdan 708	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z = (F` y) -> (z u. U.z) = ((F` y) u. U.(F` y)))
39	26, 27, 35, 2, 38	frsucopab 4255	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y e. om /\ ((F` y) u. U.(F` y)) e. V) -> (F` suc y) = ((F` y) u. U.(F` y)))
40	25, 39	mpan2 700	. . . . . . . . . . . 12 |- (y e. om -> (F` suc y) = ((F` y) u. U.(F` y)))
41	40	sseq2d 2141	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. om -> (U.(F` y) (_ (F` suc y) <-> U.(F` y) (_ ((F` y) u. U.(F` y))))
42	22, 41	mpbiri 192	. . . . . . . . . 10 |- (y e. om -> U.(F` y) (_ (F` suc y))
43	42	sseld 2119	. . . . . . . . 9 |- (y e. om -> (v e. U.(F` y) -> v e. (F` suc y)))
44		elunii 2574	. . . . . . . . 9 |- ((v e. u /\ u e. (F` y)) -> v e. U.(F` y))
45	43, 44	syl5 21	. . . . . . . 8 |- (y e. om -> ((v e. u /\ u e. (F` y)) -> v e. (F` suc y)))
46	45	r19.22i 1778	. . . . . . 7 |- (E.y e. om (v e. u /\ u e. (F` y)) -> E.y e. om v e. (F` suc y))
47	21, 46	sylbi 197	. . . . . 6 |- ((v e. u /\ u e. U_y e. om (F` y)) -> E.y e. om v e. (F` suc y))
48		peano2 3238	. . . . . . . . . 10 |- (y e. om -> suc y e. om)
49		fveq2 3835	. . . . . . . . . . . . 13 |- (u = suc y -> (F` u) = (F` suc y))
50	49	eleq2d 1584	. . . . . . . . . . . 12 |- (u = suc y -> (v e. (F` u) <-> v e. (F` suc y)))
51	50	rcla4ev 1923	. . . . . . . . . . 11 |- ((suc y e. om /\ v e. (F` suc y)) -> E.u e. om v e. (F` u))
52	51	ex 371	. . . . . . . . . 10 |- (suc y e. om -> (v e. (F` suc y) -> E.u e. om v e. (F` u)))
53	48, 52	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (y e. om -> (v e. (F` suc y) -> E.u e. om v e. (F` u)))
54	53	r19.23aiv 1789	. . . . . . . 8 |- (E.y e. om v e. (F` suc y) -> E.u e. om v e. (F` u))
55		fveq2 3835	. . . . . . . . . 10 |- (y = u -> (F` y) = (F` u))
56	55	eleq2d 1584	. . . . . . . . 9 |- (y = u -> (v e. (F` y) <-> v e. (F` u)))
57	56	cbvrexv 1847	. . . . . . . 8 |- (E.y e. om v e. (F` y) <-> E.u e. om v e. (F` u))
58	54, 57	sylibr 198	. . . . . . 7 |- (E.y e. om v e. (F` suc y) -> E.y e. om v e. (F` y))
59		eliun 2637	. . . . . . 7 |- (v e. U_y e. om (F` y) <-> E.y e. om v e. (F` y))
60	58, 59	sylibr 198	. . . . . 6 |- (E.y e. om v e. (F` suc y) -> v e. U_y e. om (F` y))
61	47, 60	syl 10	. . . . 5 |- ((v e. u /\ u e. U_y e. om (F` y)) -> v e. U_y e. om (F` y))
62	61	ax-gen 999	. . . 4 |- A.u((v e. u /\ u e. U_y e. om (F` y)) -> v e. U_y e. om (F` y))
63	17, 62	mpgbir 1024	. . 3 |- Tr U_y e. om (F` y)
64		treq 2760	. . . 4 |- (C = U_y e. om (F` y) -> (Tr C <-> Tr U_y e. om (F` y)))
65	15, 64	ax-mp 7	. . 3 |- (Tr C <-> Tr U_y e. om (F` y))
66	63, 65	mpbir 188	. 2 |- Tr C
67		fveq2 3835	. . . . . . . 8 |- (v = (/) -> (F` v) = (F` (/)))
68	67	sseq1d 2140	. . . . . . 7 |- (v = (/) -> ((F` v) (_ x <-> (F` (/)) (_ x))
69		fveq2 3835	. . . . . . . 8 |- (v = y -> (F` v) = (F` y))
70	69	sseq1d 2140	. . . . . . 7 |- (v = y -> ((F` v) (_ x <-> (F` y) (_ x))
71		fveq2 3835	. . . . . . . 8 |- (v = suc y -> (F` v) = (F` suc y))
72	71	sseq1d 2140	. . . . . . 7 |- (v = suc y -> ((F` v) (_ x <-> (F` suc y) (_ x))
73	3, 6	eqtri 1538	. . . . . . . . . 10 |- (F` (/)) = A
74	73	sseq1i 2137	. . . . . . . . 9 |- ((F` (/)) (_ x <-> A (_ x)
75	74	biimpri 150	. . . . . . . 8 |- (A (_ x -> (F` (/)) (_ x)
76	75	adantr 389	. . . . . . 7 |- ((A (_ x /\ Tr x) -> (F` (/)) (_ x)
77		uniss 2588	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((F` y) (_ x -> U.(F` y) (_ U.x)
78		sstr2 2123	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (U.(F` y) (_ U.x -> (U.x (_ x -> U.(F` y) (_ x))
79		df-tr 2755	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (Tr x <-> U.x (_ x)
80	78, 79	syl5ib 204	. . . . . . . . . . . . 13 |- (U.(F` y) (_ U.x -> (Tr x -> U.(F` y) (_ x))
81	77, 80	syl 10	. . . . . . . . . . . 12 |- ((F` y) (_ x -> (Tr x -> U.(F` y) (_ x))
82	81	anc2li 300	. . . . . . . . . . 11 |- ((F` y) (_ x -> (Tr x -> ((F` y) (_ x /\ U.(F` y) (_ x)))
83		unss 2256	. . . . . . . . . . 11 |- (((F` y) (_ x /\ U.(F` y) (_ x) <-> ((F` y) u. U.(F` y)) (_ x)
84	82, 83	syl6ib 210	. . . . . . . . . 10 |- ((F` y) (_ x -> (Tr x -> ((F` y) u. U.(F` y)) (_ x))
85	40	sseq1d 2140	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. om -> ((F` suc y) (_ x <-> ((F` y) u. U.(F` y)) (_ x))
86	85	biimprd 152	. . . . . . . . . 10 |- (y e. om -> (((F` y) u. U.(F` y)) (_ x -> (F` suc y) (_ x))
87	84, 86	syl9r 58	. . . . . . . . 9 |- (y e. om -> ((F` y) (_ x -> (Tr x -> (F` suc y) (_ x)))
88	87	com23 32	. . . . . . . 8 |- (y e. om -> (Tr x -> ((F` y) (_ x -> (F` suc y) (_ x)))
89	88	adantld 390	. . . . . . 7 |- (y e. om -> ((A (_ x /\ Tr x) -> ((F` y) (_ x -> (F` suc y) (_ x)))
90	68, 70, 72, 76, 89	finds2 3246	. . . . . 6 |- (v e. om -> ((A (_ x /\ Tr x) -> (F` v) (_ x))
91	90	com12 11	. . . . 5 |- ((A (_ x /\ Tr x) -> (v e. om -> (F` v) (_ x))
92	91	r19.21aiv 1759	. . . 4 |- ((A (_ x /\ Tr x) -> A.v e. om (F` v) (_ x)
93		fveq2 3835	. . . . . . . 8 |- (y = v -> (F` y) = (F` v))
94	93	cbviunv 2658	. . . . . . 7 |- U_y e. om (F` y) = U_v e. om (F` v)
95	15, 94	eqtri 1538	. . . . . 6 |- C = U_v e. om (F` v)
96	95	sseq1i 2137	. . . . 5 |- (C (_ x <-> U_v e. om (F` v) (_ x)
97		iunss 2659	. . . . 5 |- (U_v e. om (F` v) (_ x <-> A.v e. om (F` v) (_ x)
98	96, 97	bitri 171	. . . 4 |- (C (_ x <-> A.v e. om (F` v) (_ x)
99	92, 98	sylibr 198	. . 3 |- ((A (_ x /\ Tr x) -> C (_ x)
100	99	ax-gen 999	. 2 |- A.x((A (_ x /\ Tr x) -> C (_ x)
101	16, 66, 100	3pm3.2i 824	1 |- (A (_ C /\ Tr C /\ A.x((A (_ x /\ Tr x) -> C (_ x))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 144   /\ wa 221   /\ w3a 781  A.wal 990   = wceq 992   e. wcel 994  A.wral 1691  E.wrex 1692  Vcvv 1857   u. cun 2097   (_ wss 2099  (/)c0 2332  U.cuni 2569  U_ciun 2633  {copab 2740  Tr wtr 2754  suc csuc 2977  omcom 3218   |` cres 3253  ` cfv 3263  reccrdg 4232

This theorem is referenced by:  tz9.1 4792

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-fv 3279  df-rdg 4233

Copyright terms: Public domain