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Theorem trcl 7665
Description: For any set  A, show the properties of its transitive closure  C. Similar to Theorem 9.1 of [TakeutiZaring] p. 73 except that we show an explicit expression for the transitive closure rather than just its existence. See tz9.1 7666 for an abbreviated version showing existence. (Contributed by NM, 14-Sep-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
trcl.1  |-  A  e. 
_V
trcl.2  |-  F  =  ( rec ( ( z  e.  _V  |->  ( z  u.  U. z
) ) ,  A
)  |`  om )
trcl.3  |-  C  = 
U_ y  e.  om  ( F `  y )
Assertion
Ref Expression
trcl  |-  ( A 
C_  C  /\  Tr  C  /\  A. x ( ( A  C_  x  /\  Tr  x )  ->  C  C_  x ) )
Distinct variable groups:    x, z    x, y, A    x, F, y
Allowed substitution hints:    A( z)    C( x, y, z)    F( z)

Proof of Theorem trcl
Dummy variables  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano1 4865 . . . . 5  |-  (/)  e.  om
2 trcl.2 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( rec ( ( z  e.  _V  |->  ( z  u.  U. z
) ) ,  A
)  |`  om )
32fveq1i 5730 . . . . . . 7  |-  ( F `
 (/) )  =  ( ( rec ( ( z  e.  _V  |->  ( z  u.  U. z
) ) ,  A
)  |`  om ) `  (/) )
4 trcl.1 . . . . . . . 8  |-  A  e. 
_V
5 fr0g 6694 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( rec ( ( z  e.  _V  |->  ( z  u.  U. z
) ) ,  A
)  |`  om ) `  (/) )  =  A )
64, 5ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( ( rec ( ( z  e.  _V  |->  ( z  u.  U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  (/) )  =  A
73, 6eqtr2i 2458 . . . . . 6  |-  A  =  ( F `  (/) )
87eqimssi 3403 . . . . 5  |-  A  C_  ( F `  (/) )
9 fveq2 5729 . . . . . . 7  |-  ( y  =  (/)  ->  ( F `
 y )  =  ( F `  (/) ) )
109sseq2d 3377 . . . . . 6  |-  ( y  =  (/)  ->  ( A 
C_  ( F `  y )  <->  A  C_  ( F `  (/) ) ) )
1110rspcev 3053 . . . . 5  |-  ( (
(/)  e.  om  /\  A  C_  ( F `  (/) ) )  ->  E. y  e.  om  A  C_  ( F `  y ) )
121, 8, 11mp2an 655 . . . 4  |-  E. y  e.  om  A  C_  ( F `  y )
13 ssiun 4134 . . . 4  |-  ( E. y  e.  om  A  C_  ( F `  y
)  ->  A  C_  U_ y  e.  om  ( F `  y ) )
1412, 13ax-mp 8 . . 3  |-  A  C_  U_ y  e.  om  ( F `  y )
15 trcl.3 . . 3  |-  C  = 
U_ y  e.  om  ( F `  y )
1614, 15sseqtr4i 3382 . 2  |-  A  C_  C
17 dftr2 4305 . . . 4  |-  ( Tr 
U_ y  e.  om  ( F `  y )  <->  A. v A. u ( ( v  e.  u  /\  u  e.  U_ y  e.  om  ( F `  y ) )  -> 
v  e.  U_ y  e.  om  ( F `  y ) ) )
18 eliun 4098 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  U_ y  e. 
om  ( F `  y )  <->  E. y  e.  om  u  e.  ( F `  y ) )
1918anbi2i 677 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  e.  u  /\  u  e.  U_ y  e. 
om  ( F `  y ) )  <->  ( v  e.  u  /\  E. y  e.  om  u  e.  ( F `  y ) ) )
20 r19.42v 2863 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  om  (
v  e.  u  /\  u  e.  ( F `  y ) )  <->  ( v  e.  u  /\  E. y  e.  om  u  e.  ( F `  y ) ) )
2119, 20bitr4i 245 . . . . . . 7  |-  ( ( v  e.  u  /\  u  e.  U_ y  e. 
om  ( F `  y ) )  <->  E. y  e.  om  ( v  e.  u  /\  u  e.  ( F `  y
) ) )
22 elunii 4021 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  u  /\  u  e.  ( F `  y ) )  -> 
v  e.  U. ( F `  y )
)
23 ssun2 3512 . . . . . . . . . . 11  |-  U. ( F `  y )  C_  ( ( F `  y )  u.  U. ( F `  y ) )
24 fvex 5743 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F `
 y )  e. 
_V
2524uniex 4706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. ( F `  y )  e.  _V
2624, 25unex 4708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  y )  u.  U. ( F `
 y ) )  e.  _V
27 id 21 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  x  =  z )
28 unieq 4025 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  U. x  =  U. z )
2927, 28uneq12d 3503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  (
x  u.  U. x
)  =  ( z  u.  U. z ) )
30 id 21 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( F `  y )  ->  x  =  ( F `  y ) )
31 unieq 4025 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( F `  y )  ->  U. x  =  U. ( F `  y ) )
3230, 31uneq12d 3503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( F `  y )  ->  (
x  u.  U. x
)  =  ( ( F `  y )  u.  U. ( F `
 y ) ) )
332, 29, 32frsucmpt2 6698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( ( F `  y )  u.  U. ( F `  y ) )  e.  _V )  ->  ( F `  suc  y )  =  ( ( F `  y
)  u.  U. ( F `  y )
) )
3426, 33mpan2 654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  om  ->  ( F `  suc  y )  =  ( ( F `
 y )  u. 
U. ( F `  y ) ) )
3523, 34syl5sseqr 3398 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  om  ->  U. ( F `  y )  C_  ( F `  suc  y ) )
3635sseld 3348 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  om  ->  (
v  e.  U. ( F `  y )  ->  v  e.  ( F `
 suc  y )
) )
3722, 36syl5 31 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  om  ->  (
( v  e.  u  /\  u  e.  ( F `  y )
)  ->  v  e.  ( F `  suc  y
) ) )
3837reximia 2812 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  om  (
v  e.  u  /\  u  e.  ( F `  y ) )  ->  E. y  e.  om  v  e.  ( F `  suc  y ) )
3921, 38sylbi 189 . . . . . 6  |-  ( ( v  e.  u  /\  u  e.  U_ y  e. 
om  ( F `  y ) )  ->  E. y  e.  om  v  e.  ( F `  suc  y ) )
40 peano2 4866 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  om  ->  suc  y  e.  om )
41 fveq2 5729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  suc  y  -> 
( F `  u
)  =  ( F `
 suc  y )
)
4241eleq2d 2504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  suc  y  -> 
( v  e.  ( F `  u )  <-> 
v  e.  ( F `
 suc  y )
) )
4342rspcev 3053 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( suc  y  e.  om  /\  v  e.  ( F `
 suc  y )
)  ->  E. u  e.  om  v  e.  ( F `  u ) )
4443ex 425 . . . . . . . . . 10  |-  ( suc  y  e.  om  ->  ( v  e.  ( F `
 suc  y )  ->  E. u  e.  om  v  e.  ( F `  u ) ) )
4540, 44syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  om  ->  (
v  e.  ( F `
 suc  y )  ->  E. u  e.  om  v  e.  ( F `  u ) ) )
4645rexlimiv 2825 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  om  v  e.  ( F `  suc  y )  ->  E. u  e.  om  v  e.  ( F `  u ) )
47 fveq2 5729 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  u  ->  ( F `  y )  =  ( F `  u ) )
4847eleq2d 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  u  ->  (
v  e.  ( F `
 y )  <->  v  e.  ( F `  u ) ) )
4948cbvrexv 2934 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  om  v  e.  ( F `  y
)  <->  E. u  e.  om  v  e.  ( F `  u ) )
5046, 49sylibr 205 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  om  v  e.  ( F `  suc  y )  ->  E. y  e.  om  v  e.  ( F `  y ) )
51 eliun 4098 . . . . . . 7  |-  ( v  e.  U_ y  e. 
om  ( F `  y )  <->  E. y  e.  om  v  e.  ( F `  y ) )
5250, 51sylibr 205 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  om  v  e.  ( F `  suc  y )  ->  v  e.  U_ y  e.  om  ( F `  y ) )
5339, 52syl 16 . . . . 5  |-  ( ( v  e.  u  /\  u  e.  U_ y  e. 
om  ( F `  y ) )  -> 
v  e.  U_ y  e.  om  ( F `  y ) )
5453ax-gen 1556 . . . 4  |-  A. u
( ( v  e.  u  /\  u  e. 
U_ y  e.  om  ( F `  y ) )  ->  v  e.  U_ y  e.  om  ( F `  y )
)
5517, 54mpgbir 1560 . . 3  |-  Tr  U_ y  e.  om  ( F `  y )
56 treq 4309 . . . 4  |-  ( C  =  U_ y  e. 
om  ( F `  y )  ->  ( Tr  C  <->  Tr  U_ y  e. 
om  ( F `  y ) ) )
5715, 56ax-mp 8 . . 3  |-  ( Tr  C  <->  Tr  U_ y  e. 
om  ( F `  y ) )
5855, 57mpbir 202 . 2  |-  Tr  C
59 fveq2 5729 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  (/)  ->  ( F `
 v )  =  ( F `  (/) ) )
6059sseq1d 3376 . . . . . . 7  |-  ( v  =  (/)  ->  ( ( F `  v ) 
C_  x  <->  ( F `  (/) )  C_  x
) )
61 fveq2 5729 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  y  ->  ( F `  v )  =  ( F `  y ) )
6261sseq1d 3376 . . . . . . 7  |-  ( v  =  y  ->  (
( F `  v
)  C_  x  <->  ( F `  y )  C_  x
) )
63 fveq2 5729 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  suc  y  -> 
( F `  v
)  =  ( F `
 suc  y )
)
6463sseq1d 3376 . . . . . . 7  |-  ( v  =  suc  y  -> 
( ( F `  v )  C_  x  <->  ( F `  suc  y
)  C_  x )
)
653, 6eqtri 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( F `
 (/) )  =  A
6665sseq1i 3373 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  (/) )  C_  x 
<->  A  C_  x )
6766biimpri 199 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  x  ->  ( F `  (/) )  C_  x )
6867adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  x  /\  Tr  x )  ->  ( F `  (/) )  C_  x )
69 uniss 4037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  y ) 
C_  x  ->  U. ( F `  y )  C_ 
U. x )
70 df-tr 4304 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Tr  x  <->  U. x  C_  x
)
71 sstr2 3356 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U. ( F `  y ) 
C_  U. x  ->  ( U. x  C_  x  ->  U. ( F `  y
)  C_  x )
)
7270, 71syl5bi 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U. ( F `  y ) 
C_  U. x  ->  ( Tr  x  ->  U. ( F `  y )  C_  x ) )
7369, 72syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  y ) 
C_  x  ->  ( Tr  x  ->  U. ( F `  y )  C_  x ) )
7473anc2li 542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  y ) 
C_  x  ->  ( Tr  x  ->  ( ( F `  y ) 
C_  x  /\  U. ( F `  y ) 
C_  x ) ) )
75 unss 3522 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  y
)  C_  x  /\  U. ( F `  y
)  C_  x )  <->  ( ( F `  y
)  u.  U. ( F `  y )
)  C_  x )
7674, 75syl6ib 219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  y ) 
C_  x  ->  ( Tr  x  ->  ( ( F `  y )  u.  U. ( F `
 y ) ) 
C_  x ) )
7734sseq1d 3376 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  om  ->  (
( F `  suc  y )  C_  x  <->  ( ( F `  y
)  u.  U. ( F `  y )
)  C_  x )
)
7877biimprd 216 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  om  ->  (
( ( F `  y )  u.  U. ( F `  y ) )  C_  x  ->  ( F `  suc  y
)  C_  x )
)
7976, 78syl9r 70 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  om  ->  (
( F `  y
)  C_  x  ->  ( Tr  x  ->  ( F `  suc  y ) 
C_  x ) ) )
8079com23 75 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  om  ->  ( Tr  x  ->  ( ( F `  y ) 
C_  x  ->  ( F `  suc  y ) 
C_  x ) ) )
8180adantld 455 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  om  ->  (
( A  C_  x  /\  Tr  x )  -> 
( ( F `  y )  C_  x  ->  ( F `  suc  y )  C_  x
) ) )
8260, 62, 64, 68, 81finds2 4874 . . . . . 6  |-  ( v  e.  om  ->  (
( A  C_  x  /\  Tr  x )  -> 
( F `  v
)  C_  x )
)
8382com12 30 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  x  /\  Tr  x )  ->  (
v  e.  om  ->  ( F `  v ) 
C_  x ) )
8483ralrimiv 2789 . . . 4  |-  ( ( A  C_  x  /\  Tr  x )  ->  A. v  e.  om  ( F `  v )  C_  x
)
85 fveq2 5729 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  v  ->  ( F `  y )  =  ( F `  v ) )
8685cbviunv 4131 . . . . . . 7  |-  U_ y  e.  om  ( F `  y )  =  U_ v  e.  om  ( F `  v )
8715, 86eqtri 2457 . . . . . 6  |-  C  = 
U_ v  e.  om  ( F `  v )
8887sseq1i 3373 . . . . 5  |-  ( C 
C_  x  <->  U_ v  e. 
om  ( F `  v )  C_  x
)
89 iunss 4133 . . . . 5  |-  ( U_ v  e.  om  ( F `  v )  C_  x  <->  A. v  e.  om  ( F `  v ) 
C_  x )
9088, 89bitri 242 . . . 4  |-  ( C 
C_  x  <->  A. v  e.  om  ( F `  v )  C_  x
)
9184, 90sylibr 205 . . 3  |-  ( ( A  C_  x  /\  Tr  x )  ->  C  C_  x )
9291ax-gen 1556 . 2  |-  A. x
( ( A  C_  x  /\  Tr  x )  ->  C  C_  x
)
9316, 58, 923pm3.2i 1133 1  |-  ( A 
C_  C  /\  Tr  C  /\  A. x ( ( A  C_  x  /\  Tr  x )  ->  C  C_  x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937   A.wal 1550    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2706   E.wrex 2707   _Vcvv 2957    u. cun 3319    C_ wss 3321   (/)c0 3629   U.cuni 4016   U_ciun 4094    e. cmpt 4267   Tr wtr 4303   suc csuc 4584   omcom 4846    |` cres 4881   ` cfv 5455   reccrdg 6668
This theorem is referenced by:  tz9.1  7666  tz9.1c  7667
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-recs 6634  df-rdg 6669
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