Theorem trcl 4569

Description: For any set A, show the properties of its transitive closure C. Similar to Theorem 9.1 of [TakeutiZaring] p. 73 except that we show an explicit expression for the transitive closure rather than just its existence. See tz9.1 4570 for an abbreviated version showing existence.

Hypotheses

Ref	Expression
trcl.1	|- A e. V
trcl.2	|- F = (rec({<.z, w>. | w = (z u. U.z)}, A) |` om)
trcl.3	|- C = U_y e. om (F` y)

Assertion

Ref	Expression
trcl	|- (A (_ C /\ Tr C /\ A.x((A (_ x /\ Tr x) -> C (_ x))

Distinct variable groups:   x,y,z,w   y,A,z   y,F

Proof of Theorem trcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 3112	. . . . 5 |- (/) e. om
2		trcl.2	. . . . . . . 8 |- F = (rec({<.z, w>. | w = (z u. U.z)}, A) |` om)
3	2	fveq1i 3664	. . . . . . 7 |- (F` (/)) = ((rec({<.z, w>. | w = (z u. U.z)}, A) |` om)` (/))
4		trcl.1	. . . . . . . 8 |- A e. V
5		fr0t 3891	. . . . . . . 8 |- (A e. V -> ((rec({<.z, w>. | w = (z u. U.z)}, A) |` om)` (/)) = A)
6	4, 5	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- ((rec({<.z, w>. | w = (z u. U.z)}, A) |` om)` (/)) = A
7	3, 6	eqtr2 1472	. . . . . 6 |- A = (F` (/))
8	7	eqimssi 2082	. . . . 5 |- A (_ (F` (/))
9		fveq2 3663	. . . . . . 7 |- (y = (/) -> (F` y) = (F` (/)))
10	9	sseq2d 2060	. . . . . 6 |- (y = (/) -> (A (_ (F` y) <-> A (_ (F` (/))))
11	10	rcla4ev 1850	. . . . 5 |- (((/) e. om /\ A (_ (F` (/))) -> E.y e. om A (_ (F` y))
12	1, 8, 11	mp2an 694	. . . 4 |- E.y e. om A (_ (F` y)
13		ssiun 2560	. . . 4 |- (E.y e. om A (_ (F` y) -> A (_ U_y e. om (F` y))
14	12, 13	ax-mp 7	. . 3 |- A (_ U_y e. om (F` y)
15		trcl.3	. . 3 |- C = U_y e. om (F` y)
16	14, 15	sseqtr4 2065	. 2 |- A (_ C
17		dftr2 2650	. . . 4 |- (Tr U_y e. om (F` y) <-> A.vA.u((v e. u /\ u e. U_y e. om (F` y)) -> v e. U_y e. om (F` y)))
18		eliun 2538	. . . . . . . . 9 |- (u e. U_y e. om (F` y) <-> E.y e. om u e. (F` y))
19	18	anbi2i 479	. . . . . . . 8 |- ((v e. u /\ u e. U_y e. om (F` y)) <-> (v e. u /\ E.y e. om u e. (F` y)))
20		r19.42v 1740	. . . . . . . 8 |- (E.y e. om (v e. u /\ u e. (F` y)) <-> (v e. u /\ E.y e. om u e. (F` y)))
21	19, 20	bitr4 176	. . . . . . 7 |- ((v e. u /\ u e. U_y e. om (F` y)) <-> E.y e. om (v e. u /\ u e. (F` y)))
22		ssun2 2165	. . . . . . . . . . 11 |- U.(F` y) (_ ((F` y) u. U.(F` y))
23		fvex 3671	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (F` y) e. V
24	23	uniex 2834	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U.(F` y) e. V
25	23, 24	unex 2836	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((F` y) u. U.(F` y)) e. V
26		ax-17 1190	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (v e. A -> A.z v e. A)
27		ax-17 1190	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (v e. y -> A.z v e. y)
28		hbopab1 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (v e. {<.z, w>. | w = (z u. U.z)} -> A.z v e. {<.z, w>. | w = (z u. U.z)})
29	28, 26	hbrdg 3875	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (v e. rec({<.z, w>. | w = (z u. U.z)}, A) -> A.z v e. rec({<.z, w>. | w = (z u. U.z)}, A))
30		ax-17 1190	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (v e. om -> A.z v e. om)
31	29, 30	hbres 3321	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (v e. (rec({<.z, w>. | w = (z u. U.z)}, A) |` om) -> A.z v e. (rec({<.z, w>. | w = (z u. U.z)}, A) |` om))
32	2, 31	hbxfr 1539	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (v e. F -> A.z v e. F)
33	32, 27	hbfv 3668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (v e. (F` y) -> A.z v e. (F` y))
34	33	hbuni 2477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (v e. U.(F` y) -> A.z v e. U.(F` y))
35	33, 34	hbun 2157	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (v e. ((F` y) u. U.(F` y)) -> A.z v e. ((F` y) u. U.(F` y)))
36		unieq 2478	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (z = (F` y) -> U.z = U.(F` y))
37		uneq12 2150	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((z = (F` y) /\ U.z = U.(F` y)) -> (z u. U.z) = ((F` y) u. U.(F` y)))
38	36, 37	mpdan 701	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z = (F` y) -> (z u. U.z) = ((F` y) u. U.(F` y)))
39	26, 27, 35, 2, 38	frsucopab 3893	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y e. om /\ ((F` y) u. U.(F` y)) e. V) -> (F` suc y) = ((F` y) u. U.(F` y)))
40	25, 39	mpan2 693	. . . . . . . . . . . 12 |- (y e. om -> (F` suc y) = ((F` y) u. U.(F` y)))
41	40	sseq2d 2060	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. om -> (U.(F` y) (_ (F` suc y) <-> U.(F` y) (_ ((F` y) u. U.(F` y))))
42	22, 41	mpbiri 194	. . . . . . . . . 10 |- (y e. om -> U.(F` y) (_ (F` suc y))
43	42	sseld 2038	. . . . . . . . 9 |- (y e. om -> (v e. U.(F` y) -> v e. (F` suc y)))
44		elunii 2476	. . . . . . . . 9 |- ((v e. u /\ u e. (F` y)) -> v e. U.(F` y))
45	43, 44	syl5 21	. . . . . . . 8 |- (y e. om -> ((v e. u /\ u e. (F` y)) -> v e. (F` suc y)))
46	45	r19.22i 1708	. . . . . . 7 |- (E.y e. om (v e. u /\ u e. (F` y)) -> E.y e. om v e. (F` suc y))
47	21, 46	sylbi 199	. . . . . 6 |- ((v e. u /\ u e. U_y e. om (F` y)) -> E.y e. om v e. (F` suc y))
48		peano2 3113	. . . . . . . . . 10 |- (y e. om -> suc y e. om)
49		fveq2 3663	. . . . . . . . . . . . 13 |- (u = suc y -> (F` u) = (F` suc y))
50	49	eleq2d 1517	. . . . . . . . . . . 12 |- (u = suc y -> (v e. (F` u) <-> v e. (F` suc y)))
51	50	rcla4ev 1850	. . . . . . . . . . 11 |- ((suc y e. om /\ v e. (F` suc y)) -> E.u e. om v e. (F` u))
52	51	ex 373	. . . . . . . . . 10 |- (suc y e. om -> (v e. (F` suc y) -> E.u e. om v e. (F` u)))
53	48, 52	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (y e. om -> (v e. (F` suc y) -> E.u e. om v e. (F` u)))
54	53	r19.23aiv 1719	. . . . . . . 8 |- (E.y e. om v e. (F` suc y) -> E.u e. om v e. (F` u))
55		fveq2 3663	. . . . . . . . . 10 |- (y = u -> (F` y) = (F` u))
56	55	eleq2d 1517	. . . . . . . . 9 |- (y = u -> (v e. (F` y) <-> v e. (F` u)))
57	56	cbvrexv 1776	. . . . . . . 8 |- (E.y e. om v e. (F` y) <-> E.u e. om v e. (F` u))
58	54, 57	sylibr 200	. . . . . . 7 |- (E.y e. om v e. (F` suc y) -> E.y e. om v e. (F` y))
59		eliun 2538	. . . . . . 7 |- (v e. U_y e. om (F` y) <-> E.y e. om v e. (F` y))
60	58, 59	sylibr 200	. . . . . 6 |- (E.y e. om v e. (F` suc y) -> v e. U_y e. om (F` y))
61	47, 60	syl 10	. . . . 5 |- ((v e. u /\ u e. U_y e. om (F` y)) -> v e. U_y e. om (F` y))
62	61	ax-gen 955	. . . 4 |- A.u((v e. u /\ u e. U_y e. om (F` y)) -> v e. U_y e. om (F` y))
63	17, 62	mpgbir 964	. . 3 |- Tr U_y e. om (F` y)
64		treq 2654	. . . 4 |- (C = U_y e. om (F` y) -> (Tr C <-> Tr U_y e. om (F` y)))
65	15, 64	ax-mp 7	. . 3 |- (Tr C <-> Tr U_y e. om (F` y))
66	63, 65	mpbir 190	. 2 |- Tr C
67		fveq2 3663	. . . . . . . 8 |- (v = (/) -> (F` v) = (F` (/)))
68	67	sseq1d 2059	. . . . . . 7 |- (v = (/) -> ((F` v) (_ x <-> (F` (/)) (_ x))
69		fveq2 3663	. . . . . . . 8 |- (v = y -> (F` v) = (F` y))
70	69	sseq1d 2059	. . . . . . 7 |- (v = y -> ((F` v) (_ x <-> (F` y) (_ x))
71		fveq2 3663	. . . . . . . 8 |- (v = suc y -> (F` v) = (F` suc y))
72	71	sseq1d 2059	. . . . . . 7 |- (v = suc y -> ((F` v) (_ x <-> (F` suc y) (_ x))
73	3, 6	eqtr 1471	. . . . . . . . . 10 |- (F` (/)) = A
74	73	sseq1i 2056	. . . . . . . . 9 |- ((F` (/)) (_ x <-> A (_ x)
75	74	biimpr 152	. . . . . . . 8 |- (A (_ x -> (F` (/)) (_ x)
76	75	adantr 389	. . . . . . 7 |- ((A (_ x