Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trcl Structured version   Unicode version

Theorem trcl 7665
 Description: For any set , show the properties of its transitive closure . Similar to Theorem 9.1 of [TakeutiZaring] p. 73 except that we show an explicit expression for the transitive closure rather than just its existence. See tz9.1 7666 for an abbreviated version showing existence. (Contributed by NM, 14-Sep-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
trcl.1
trcl.2
trcl.3
Assertion
Ref Expression
trcl
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,,)   ()

Proof of Theorem trcl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano1 4865 . . . . 5
2 trcl.2 . . . . . . . 8
32fveq1i 5730 . . . . . . 7
4 trcl.1 . . . . . . . 8
5 fr0g 6694 . . . . . . . 8
64, 5ax-mp 8 . . . . . . 7
73, 6eqtr2i 2458 . . . . . 6
87eqimssi 3403 . . . . 5
9 fveq2 5729 . . . . . . 7
109sseq2d 3377 . . . . . 6
1110rspcev 3053 . . . . 5
121, 8, 11mp2an 655 . . . 4
13 ssiun 4134 . . . 4
1412, 13ax-mp 8 . . 3
15 trcl.3 . . 3
1614, 15sseqtr4i 3382 . 2
17 dftr2 4305 . . . 4
18 eliun 4098 . . . . . . . . 9
1918anbi2i 677 . . . . . . . 8
20 r19.42v 2863 . . . . . . . 8
2119, 20bitr4i 245 . . . . . . 7
22 elunii 4021 . . . . . . . . 9
23 ssun2 3512 . . . . . . . . . . 11
24 fvex 5743 . . . . . . . . . . . . 13
2524uniex 4706 . . . . . . . . . . . . 13
2624, 25unex 4708 . . . . . . . . . . . 12
27 id 21 . . . . . . . . . . . . . 14
28 unieq 4025 . . . . . . . . . . . . . 14
2927, 28uneq12d 3503 . . . . . . . . . . . . 13
30 id 21 . . . . . . . . . . . . . 14
31 unieq 4025 . . . . . . . . . . . . . 14
3230, 31uneq12d 3503 . . . . . . . . . . . . 13
332, 29, 32frsucmpt2 6698 . . . . . . . . . . . 12
3426, 33mpan2 654 . . . . . . . . . . 11
3523, 34syl5sseqr 3398 . . . . . . . . . 10
3635sseld 3348 . . . . . . . . 9
3722, 36syl5 31 . . . . . . . 8
3837reximia 2812 . . . . . . 7
3921, 38sylbi 189 . . . . . 6
40 peano2 4866 . . . . . . . . . 10
41 fveq2 5729 . . . . . . . . . . . . 13
4241eleq2d 2504 . . . . . . . . . . . 12
4342rspcev 3053 . . . . . . . . . . 11
4443ex 425 . . . . . . . . . 10
4540, 44syl 16 . . . . . . . . 9
4645rexlimiv 2825 . . . . . . . 8
47 fveq2 5729 . . . . . . . . . 10
4847eleq2d 2504 . . . . . . . . 9
4948cbvrexv 2934 . . . . . . . 8
5046, 49sylibr 205 . . . . . . 7
51 eliun 4098 . . . . . . 7
5250, 51sylibr 205 . . . . . 6
5339, 52syl 16 . . . . 5
5453ax-gen 1556 . . . 4
5517, 54mpgbir 1560 . . 3
56 treq 4309 . . . 4
5715, 56ax-mp 8 . . 3
5855, 57mpbir 202 . 2
59 fveq2 5729 . . . . . . . 8
6059sseq1d 3376 . . . . . . 7
61 fveq2 5729 . . . . . . . 8
6261sseq1d 3376 . . . . . . 7
63 fveq2 5729 . . . . . . . 8
6463sseq1d 3376 . . . . . . 7
653, 6eqtri 2457 . . . . . . . . . 10
6665sseq1i 3373 . . . . . . . . 9
6766biimpri 199 . . . . . . . 8
6867adantr 453 . . . . . . 7
69 uniss 4037 . . . . . . . . . . . . 13
70 df-tr 4304 . . . . . . . . . . . . . 14
71 sstr2 3356 . . . . . . . . . . . . . 14
7270, 71syl5bi 210 . . . . . . . . . . . . 13
7369, 72syl 16 . . . . . . . . . . . 12
7473anc2li 542 . . . . . . . . . . 11
75 unss 3522 . . . . . . . . . . 11
7674, 75syl6ib 219 . . . . . . . . . 10
7734sseq1d 3376 . . . . . . . . . . 11
7877biimprd 216 . . . . . . . . . 10
7976, 78syl9r 70 . . . . . . . . 9
8079com23 75 . . . . . . . 8
8180adantld 455 . . . . . . 7
8260, 62, 64, 68, 81finds2 4874 . . . . . 6
8382com12 30 . . . . 5
8483ralrimiv 2789 . . . 4
85 fveq2 5729 . . . . . . . 8
8685cbviunv 4131 . . . . . . 7
8715, 86eqtri 2457 . . . . . 6
8887sseq1i 3373 . . . . 5
89 iunss 4133 . . . . 5
9088, 89bitri 242 . . . 4
9184, 90sylibr 205 . . 3
9291ax-gen 1556 . 2
9316, 58, 923pm3.2i 1133 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937  wal 1550   wceq 1653   wcel 1726  wral 2706  wrex 2707  cvv 2957   cun 3319   wss 3321  c0 3629  cuni 4016  ciun 4094   cmpt 4267   wtr 4303   csuc 4584  com 4846   cres 4881  cfv 5455  crdg 6668 This theorem is referenced by:  tz9.1  7666  tz9.1c  7667 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-recs 6634  df-rdg 6669
 Copyright terms: Public domain W3C validator