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Theorem trfg 17915
Description: The trace operation and the  filGen operation are inverses to one another in some sense, with  filGen growing the base set and ↾t shrinking it. See fgtr 17914 for the converse cancellation law. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
trfg  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  (
( X filGen F )t  A )  =  F )

Proof of Theorem trfg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 filfbas 17872 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( Fil `  A
)  ->  F  e.  ( fBas `  A )
)
213ad2ant1 978 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  F  e.  ( fBas `  A
) )
3 filsspw 17875 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( Fil `  A
)  ->  F  C_  ~P A )
433ad2ant1 978 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  F  C_ 
~P A )
5 simp2 958 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  A  C_  X )
6 sspwb 4405 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  X  <->  ~P A  C_ 
~P X )
75, 6sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  ~P A  C_  ~P X )
84, 7sstrd 3350 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  F  C_ 
~P X )
9 simp3 959 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  X  e.  V )
10 fbasweak 17889 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  A )  /\  F  C_ 
~P X  /\  X  e.  V )  ->  F  e.  ( fBas `  X
) )
112, 8, 9, 10syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  F  e.  ( fBas `  X
) )
12 fgcl 17902 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( X filGen F )  e.  ( Fil `  X ) )
1311, 12syl 16 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  ( X filGen F )  e.  ( Fil `  X
) )
14 filtop 17879 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( Fil `  A
)  ->  A  e.  F )
15143ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  A  e.  F )
16 restval 13646 . . . 4  |-  ( ( ( X filGen F )  e.  ( Fil `  X
)  /\  A  e.  F )  ->  (
( X filGen F )t  A )  =  ran  (
x  e.  ( X
filGen F )  |->  ( x  i^i  A ) ) )
1713, 15, 16syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  (
( X filGen F )t  A )  =  ran  (
x  e.  ( X
filGen F )  |->  ( x  i^i  A ) ) )
18 elfg 17895 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( x  e.  ( X filGen F )  <-> 
( x  C_  X  /\  E. y  e.  F  y  C_  x ) ) )
1911, 18syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  (
x  e.  ( X
filGen F )  <->  ( x  C_  X  /\  E. y  e.  F  y  C_  x ) ) )
2019simplbda 608 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  ( X filGen F ) )  ->  E. y  e.  F  y  C_  x )
21 simpll1 996 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  A
)  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  ( X filGen F ) )  /\  ( y  e.  F  /\  y  C_  x ) )  ->  F  e.  ( Fil `  A ) )
22 simprl 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  A
)  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  ( X filGen F ) )  /\  ( y  e.  F  /\  y  C_  x ) )  -> 
y  e.  F )
23 inss2 3554 . . . . . . . 8  |-  ( x  i^i  A )  C_  A
2423a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  A
)  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  ( X filGen F ) )  /\  ( y  e.  F  /\  y  C_  x ) )  -> 
( x  i^i  A
)  C_  A )
25 simprr 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  A
)  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  ( X filGen F ) )  /\  ( y  e.  F  /\  y  C_  x ) )  -> 
y  C_  x )
26 filelss 17876 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  y  e.  F )  ->  y  C_  A )
27263ad2antl1 1119 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  y  e.  F )  ->  y  C_  A )
2827ad2ant2r 728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  A
)  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  ( X filGen F ) )  /\  ( y  e.  F  /\  y  C_  x ) )  -> 
y  C_  A )
2925, 28ssind 3557 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  A
)  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  ( X filGen F ) )  /\  ( y  e.  F  /\  y  C_  x ) )  -> 
y  C_  ( x  i^i  A ) )
30 filss 17877 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  (
y  e.  F  /\  ( x  i^i  A ) 
C_  A  /\  y  C_  ( x  i^i  A
) ) )  -> 
( x  i^i  A
)  e.  F )
3121, 22, 24, 29, 30syl13anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  A
)  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  ( X filGen F ) )  /\  ( y  e.  F  /\  y  C_  x ) )  -> 
( x  i^i  A
)  e.  F )
3220, 31rexlimddv 2826 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  ( X filGen F ) )  ->  ( x  i^i 
A )  e.  F
)
33 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( X filGen F )  |->  ( x  i^i 
A ) )  =  ( x  e.  ( X filGen F )  |->  ( x  i^i  A ) )
3432, 33fmptd 5885 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  (
x  e.  ( X
filGen F )  |->  ( x  i^i  A ) ) : ( X filGen F ) --> F )
35 frn 5589 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( X
filGen F )  |->  ( x  i^i  A ) ) : ( X filGen F ) --> F  ->  ran  ( x  e.  ( X filGen F )  |->  ( x  i^i  A ) )  C_  F )
3634, 35syl 16 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  ran  ( x  e.  ( X filGen F )  |->  ( x  i^i  A ) )  C_  F )
3717, 36eqsstrd 3374 . 2  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  (
( X filGen F )t  A )  C_  F )
38 filelss 17876 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  x  e.  F )  ->  x  C_  A )
39383ad2antl1 1119 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  F )  ->  x  C_  A )
40 df-ss 3326 . . . . . 6  |-  ( x 
C_  A  <->  ( x  i^i  A )  =  x )
4139, 40sylib 189 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  F )  ->  (
x  i^i  A )  =  x )
4213adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  F )  ->  ( X filGen F )  e.  ( Fil `  X
) )
4315adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  F )  ->  A  e.  F )
44 ssfg 17896 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  F  C_  ( X filGen F ) )
4511, 44syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  F  C_  ( X filGen F ) )
4645sselda 3340 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  F )  ->  x  e.  ( X filGen F ) )
47 elrestr 13648 . . . . . 6  |-  ( ( ( X filGen F )  e.  ( Fil `  X
)  /\  A  e.  F  /\  x  e.  ( X filGen F ) )  ->  ( x  i^i 
A )  e.  ( ( X filGen F )t  A ) )
4842, 43, 46, 47syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  F )  ->  (
x  i^i  A )  e.  ( ( X filGen F )t  A ) )
4941, 48eqeltrrd 2510 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  F )  ->  x  e.  ( ( X filGen F )t  A ) )
5049ex 424 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  (
x  e.  F  ->  x  e.  ( ( X filGen F )t  A ) ) )
5150ssrdv 3346 . 2  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  F  C_  ( ( X filGen F )t  A ) )
5237, 51eqssd 3357 1  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  (
( X filGen F )t  A )  =  F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2698    i^i cin 3311    C_ wss 3312   ~Pcpw 3791    e. cmpt 4258   ran crn 4871   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   ↾t crest 13640   fBascfbas 16681   filGencfg 16682   Filcfil 17869
This theorem is referenced by:  cmetss  19259  minveclem4a  19323
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-rest 13642  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-fil 17870
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