Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trfg Structured version   Unicode version

Theorem trfg 17915
 Description: The trace operation and the operation are inverses to one another in some sense, with growing the base set and ↾t shrinking it. See fgtr 17914 for the converse cancellation law. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
trfg t

Proof of Theorem trfg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 filfbas 17872 . . . . . . 7
213ad2ant1 978 . . . . . 6
3 filsspw 17875 . . . . . . . 8
433ad2ant1 978 . . . . . . 7
5 simp2 958 . . . . . . . 8
6 sspwb 4405 . . . . . . . 8
75, 6sylib 189 . . . . . . 7
84, 7sstrd 3350 . . . . . 6
9 simp3 959 . . . . . 6
10 fbasweak 17889 . . . . . 6
112, 8, 9, 10syl3anc 1184 . . . . 5
12 fgcl 17902 . . . . 5
1311, 12syl 16 . . . 4
14 filtop 17879 . . . . 5
15143ad2ant1 978 . . . 4
16 restval 13646 . . . 4 t
1713, 15, 16syl2anc 643 . . 3 t
18 elfg 17895 . . . . . . . 8
1911, 18syl 16 . . . . . . 7
2019simplbda 608 . . . . . 6
21 simpll1 996 . . . . . . 7
22 simprl 733 . . . . . . 7
23 inss2 3554 . . . . . . . 8
2423a1i 11 . . . . . . 7
25 simprr 734 . . . . . . . 8
26 filelss 17876 . . . . . . . . . 10
27263ad2antl1 1119 . . . . . . . . 9
2827ad2ant2r 728 . . . . . . . 8
2925, 28ssind 3557 . . . . . . 7
30 filss 17877 . . . . . . 7
3121, 22, 24, 29, 30syl13anc 1186 . . . . . 6
3220, 31rexlimddv 2826 . . . . 5
33 eqid 2435 . . . . 5
3432, 33fmptd 5885 . . . 4
35 frn 5589 . . . 4
3634, 35syl 16 . . 3
3717, 36eqsstrd 3374 . 2 t
38 filelss 17876 . . . . . . 7
39383ad2antl1 1119 . . . . . 6
40 df-ss 3326 . . . . . 6
4139, 40sylib 189 . . . . 5
4213adantr 452 . . . . . 6
4315adantr 452 . . . . . 6
44 ssfg 17896 . . . . . . . 8
4511, 44syl 16 . . . . . . 7
4645sselda 3340 . . . . . 6
47 elrestr 13648 . . . . . 6 t
4842, 43, 46, 47syl3anc 1184 . . . . 5 t
4941, 48eqeltrrd 2510 . . . 4 t
5049ex 424 . . 3 t
5150ssrdv 3346 . 2 t
5237, 51eqssd 3357 1 t
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wrex 2698   cin 3311   wss 3312  cpw 3791   cmpt 4258   crn 4871  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073   ↾t crest 13640  cfbas 16681  cfg 16682  cfil 17869 This theorem is referenced by:  cmetss  19259  minveclem4a  19323 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-rest 13642  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-fil 17870
 Copyright terms: Public domain W3C validator