MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trfg Unicode version

Theorem trfg 17837
Description: The trace operation and the  filGen operation are inverses to one another in some sense, with  filGen growing the base set and ↾t shrinking it. See fgtr 17836 for the converse cancellation law. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
trfg  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  (
( X filGen F )t  A )  =  F )

Proof of Theorem trfg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 filfbas 17794 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( Fil `  A
)  ->  F  e.  ( fBas `  A )
)
213ad2ant1 978 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  F  e.  ( fBas `  A
) )
3 filsspw 17797 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( Fil `  A
)  ->  F  C_  ~P A )
433ad2ant1 978 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  F  C_ 
~P A )
5 simp2 958 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  A  C_  X )
6 sspwb 4347 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  X  <->  ~P A  C_ 
~P X )
75, 6sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  ~P A  C_  ~P X )
84, 7sstrd 3294 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  F  C_ 
~P X )
9 simp3 959 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  X  e.  V )
10 fbasweak 17811 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  A )  /\  F  C_ 
~P X  /\  X  e.  V )  ->  F  e.  ( fBas `  X
) )
112, 8, 9, 10syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  F  e.  ( fBas `  X
) )
12 fgcl 17824 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( X filGen F )  e.  ( Fil `  X ) )
1311, 12syl 16 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  ( X filGen F )  e.  ( Fil `  X
) )
14 filtop 17801 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( Fil `  A
)  ->  A  e.  F )
15143ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  A  e.  F )
16 restval 13574 . . . 4  |-  ( ( ( X filGen F )  e.  ( Fil `  X
)  /\  A  e.  F )  ->  (
( X filGen F )t  A )  =  ran  (
x  e.  ( X
filGen F )  |->  ( x  i^i  A ) ) )
1713, 15, 16syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  (
( X filGen F )t  A )  =  ran  (
x  e.  ( X
filGen F )  |->  ( x  i^i  A ) ) )
18 elfg 17817 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( x  e.  ( X filGen F )  <-> 
( x  C_  X  /\  E. y  e.  F  y  C_  x ) ) )
1911, 18syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  (
x  e.  ( X
filGen F )  <->  ( x  C_  X  /\  E. y  e.  F  y  C_  x ) ) )
2019simplbda 608 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  ( X filGen F ) )  ->  E. y  e.  F  y  C_  x )
21 simpll1 996 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  A
)  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  ( X filGen F ) )  /\  ( y  e.  F  /\  y  C_  x ) )  ->  F  e.  ( Fil `  A ) )
22 simprl 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  A
)  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  ( X filGen F ) )  /\  ( y  e.  F  /\  y  C_  x ) )  -> 
y  e.  F )
23 inss2 3498 . . . . . . . 8  |-  ( x  i^i  A )  C_  A
2423a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  A
)  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  ( X filGen F ) )  /\  ( y  e.  F  /\  y  C_  x ) )  -> 
( x  i^i  A
)  C_  A )
25 simprr 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  A
)  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  ( X filGen F ) )  /\  ( y  e.  F  /\  y  C_  x ) )  -> 
y  C_  x )
26 filelss 17798 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  y  e.  F )  ->  y  C_  A )
27263ad2antl1 1119 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  y  e.  F )  ->  y  C_  A )
2827ad2ant2r 728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  A
)  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  ( X filGen F ) )  /\  ( y  e.  F  /\  y  C_  x ) )  -> 
y  C_  A )
2925, 28ssind 3501 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  A
)  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  ( X filGen F ) )  /\  ( y  e.  F  /\  y  C_  x ) )  -> 
y  C_  ( x  i^i  A ) )
30 filss 17799 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  (
y  e.  F  /\  ( x  i^i  A ) 
C_  A  /\  y  C_  ( x  i^i  A
) ) )  -> 
( x  i^i  A
)  e.  F )
3121, 22, 24, 29, 30syl13anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  A
)  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  ( X filGen F ) )  /\  ( y  e.  F  /\  y  C_  x ) )  -> 
( x  i^i  A
)  e.  F )
3220, 31rexlimddv 2770 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  ( X filGen F ) )  ->  ( x  i^i 
A )  e.  F
)
33 eqid 2380 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( X filGen F )  |->  ( x  i^i 
A ) )  =  ( x  e.  ( X filGen F )  |->  ( x  i^i  A ) )
3432, 33fmptd 5825 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  (
x  e.  ( X
filGen F )  |->  ( x  i^i  A ) ) : ( X filGen F ) --> F )
35 frn 5530 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( X
filGen F )  |->  ( x  i^i  A ) ) : ( X filGen F ) --> F  ->  ran  ( x  e.  ( X filGen F )  |->  ( x  i^i  A ) )  C_  F )
3634, 35syl 16 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  ran  ( x  e.  ( X filGen F )  |->  ( x  i^i  A ) )  C_  F )
3717, 36eqsstrd 3318 . 2  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  (
( X filGen F )t  A )  C_  F )
38 filelss 17798 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  x  e.  F )  ->  x  C_  A )
39383ad2antl1 1119 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  F )  ->  x  C_  A )
40 df-ss 3270 . . . . . 6  |-  ( x 
C_  A  <->  ( x  i^i  A )  =  x )
4139, 40sylib 189 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  F )  ->  (
x  i^i  A )  =  x )
4213adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  F )  ->  ( X filGen F )  e.  ( Fil `  X
) )
4315adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  F )  ->  A  e.  F )
44 ssfg 17818 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  F  C_  ( X filGen F ) )
4511, 44syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  F  C_  ( X filGen F ) )
4645sselda 3284 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  F )  ->  x  e.  ( X filGen F ) )
47 elrestr 13576 . . . . . 6  |-  ( ( ( X filGen F )  e.  ( Fil `  X
)  /\  A  e.  F  /\  x  e.  ( X filGen F ) )  ->  ( x  i^i 
A )  e.  ( ( X filGen F )t  A ) )
4842, 43, 46, 47syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  F )  ->  (
x  i^i  A )  e.  ( ( X filGen F )t  A ) )
4941, 48eqeltrrd 2455 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  F )  ->  x  e.  ( ( X filGen F )t  A ) )
5049ex 424 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  (
x  e.  F  ->  x  e.  ( ( X filGen F )t  A ) ) )
5150ssrdv 3290 . 2  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  F  C_  ( ( X filGen F )t  A ) )
5237, 51eqssd 3301 1  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  (
( X filGen F )t  A )  =  F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   E.wrex 2643    i^i cin 3255    C_ wss 3256   ~Pcpw 3735    e. cmpt 4200   ran crn 4812   -->wf 5383   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   ↾t crest 13568   fBascfbas 16608   filGencfg 16609   Filcfil 17791
This theorem is referenced by:  cmetss  19131  minveclem4a  19191
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-id 4432  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-rest 13570  df-fbas 16616  df-fg 16617  df-fil 17792
  Copyright terms: Public domain W3C validator