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Theorem trint 4102
Description: The intersection of a class of transitive sets is transitive. Exercise 5(b) of [Enderton] p. 73. (Contributed by Scott Fenton, 25-Feb-2011.)
Assertion
Ref Expression
trint  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  Tr  |^| A )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem trint
StepHypRef Expression
1 dftr3 4091 . . . . . 6  |-  ( Tr  x  <->  A. y  e.  x  y  C_  x )
21ralbii 2542 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x 
<-> 
A. x  e.  A  A. y  e.  x  y  C_  x )
32biimpi 188 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  x  y  C_  x )
4 df-ral 2523 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  x  y  C_  x  <->  A. y ( y  e.  x  ->  y  C_  x ) )
54ralbii 2542 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  x  y  C_  x  <->  A. x  e.  A  A. y ( y  e.  x  ->  y  C_  x ) )
6 ralcom4 2781 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  A. y ( y  e.  x  ->  y  C_  x )  <->  A. y A. x  e.  A  ( y  e.  x  ->  y  C_  x )
)
75, 6bitri 242 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  x  y  C_  x  <->  A. y A. x  e.  A  ( y  e.  x  ->  y  C_  x ) )
83, 7sylib 190 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  A. y A. x  e.  A  ( y  e.  x  ->  y  C_  x ) )
9 ralim 2589 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  (
y  e.  x  -> 
y  C_  x )  ->  ( A. x  e.  A  y  e.  x  ->  A. x  e.  A  y  C_  x ) )
109alimi 1546 . . 3  |-  ( A. y A. x  e.  A  ( y  e.  x  ->  y  C_  x )  ->  A. y ( A. x  e.  A  y  e.  x  ->  A. x  e.  A  y  C_  x ) )
118, 10syl 17 . 2  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  A. y ( A. x  e.  A  y  e.  x  ->  A. x  e.  A  y  C_  x ) )
12 dftr3 4091 . . 3  |-  ( Tr 
|^| A  <->  A. y  e.  |^| A y  C_  |^| A )
13 df-ral 2523 . . . 4  |-  ( A. y  e.  |^| A y 
C_  |^| A  <->  A. y
( y  e.  |^| A  ->  y  C_  |^| A
) )
14 vex 2766 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
1514elint2 3843 . . . . . 6  |-  ( y  e.  |^| A  <->  A. x  e.  A  y  e.  x )
16 ssint 3852 . . . . . 6  |-  ( y 
C_  |^| A  <->  A. x  e.  A  y  C_  x )
1715, 16imbi12i 318 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  |^| A  ->  y  C_  |^| A )  <-> 
( A. x  e.  A  y  e.  x  ->  A. x  e.  A  y  C_  x ) )
1817albii 1554 . . . 4  |-  ( A. y ( y  e. 
|^| A  ->  y  C_ 
|^| A )  <->  A. y
( A. x  e.  A  y  e.  x  ->  A. x  e.  A  y  C_  x ) )
1913, 18bitri 242 . . 3  |-  ( A. y  e.  |^| A y 
C_  |^| A  <->  A. y
( A. x  e.  A  y  e.  x  ->  A. x  e.  A  y  C_  x ) )
2012, 19bitri 242 . 2  |-  ( Tr 
|^| A  <->  A. y
( A. x  e.  A  y  e.  x  ->  A. x  e.  A  y  C_  x ) )
2111, 20sylibr 205 1  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  Tr  |^| A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6   A.wal 1532    e. wcel 1621   A.wral 2518    C_ wss 3127   |^|cint 3836   Tr wtr 4087
This theorem is referenced by:  tctr  7393  intwun  8325  intgru  8404  dfon2lem8  23515
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ral 2523  df-v 2765  df-in 3134  df-ss 3141  df-uni 3802  df-int 3837  df-tr 4088
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