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Theorem trintALT 28328
Description: The intersection of a class of transitive sets is transitive. Exercise 5(b) of [Enderton] p. 73. trintALT 28328 is an alternative proof of trint 4252. trintALT 28328 is trintALTVD 28327 without virtual deductions and was automatically derived from trintALTVD 28327 using the tools program translate..without..overwriting.cmd and Metamath's minimize command. (Contributed by Alan Sare, 17-Apr-2012.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
trintALT  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  Tr  |^| A )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem trintALT
Dummy variables  q 
y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  |^| A )  ->  z  e.  y )
21a1i 11 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  |^| A )  -> 
z  e.  y ) )
3 iidn3 27920 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  |^| A )  -> 
( q  e.  A  ->  q  e.  A ) ) )
4 id 20 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  A. x  e.  A  Tr  x )
5 rspsbc 3176 . . . . . . . 8  |-  ( q  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  [. q  /  x ]. Tr  x
) )
63, 4, 5ee31 28199 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  |^| A )  -> 
( q  e.  A  ->  [. q  /  x ]. Tr  x ) ) )
7 trsbc 27962 . . . . . . . 8  |-  ( q  e.  A  ->  ( [. q  /  x ]. Tr  x  <->  Tr  q
) )
87biimpd 199 . . . . . . 7  |-  ( q  e.  A  ->  ( [. q  /  x ]. Tr  x  ->  Tr  q ) )
93, 6, 8ee33 27942 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  |^| A )  -> 
( q  e.  A  ->  Tr  q ) ) )
10 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  |^| A )  ->  y  e.  |^| A )
1110a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  |^| A )  -> 
y  e.  |^| A
) )
12 elintg 3994 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  |^| A  ->  (
y  e.  |^| A  <->  A. q  e.  A  y  e.  q ) )
1312ibi 233 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  |^| A  ->  A. q  e.  A  y  e.  q )
1411, 13syl6 31 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  |^| A )  ->  A. q  e.  A  y  e.  q )
)
15 rsp 2703 . . . . . . 7  |-  ( A. q  e.  A  y  e.  q  ->  ( q  e.  A  ->  y  e.  q ) )
1614, 15syl6 31 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  |^| A )  -> 
( q  e.  A  ->  y  e.  q ) ) )
17 trel 4244 . . . . . . 7  |-  ( Tr  q  ->  ( (
z  e.  y  /\  y  e.  q )  ->  z  e.  q ) )
1817exp3a 426 . . . . . 6  |-  ( Tr  q  ->  ( z  e.  y  ->  ( y  e.  q  ->  z  e.  q ) ) )
199, 2, 16, 18ee323 27927 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  |^| A )  -> 
( q  e.  A  ->  z  e.  q ) ) )
2019ralrimdv 2732 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  |^| A )  ->  A. q  e.  A  z  e.  q )
)
21 elintg 3994 . . . . 5  |-  ( z  e.  y  ->  (
z  e.  |^| A  <->  A. q  e.  A  z  e.  q ) )
2221biimprd 215 . . . 4  |-  ( z  e.  y  ->  ( A. q  e.  A  z  e.  q  ->  z  e.  |^| A ) )
232, 20, 22ee22 1368 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  |^| A )  -> 
z  e.  |^| A
) )
2423alrimivv 1639 . 2  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  A. z A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e. 
|^| A )  -> 
z  e.  |^| A
) )
25 dftr2 4239 . 2  |-  ( Tr 
|^| A  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  |^| A )  -> 
z  e.  |^| A
) )
2624, 25sylibr 204 1  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  Tr  |^| A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359   A.wal 1546    e. wcel 1717   A.wral 2643   [.wsbc 3098   |^|cint 3986   Tr wtr 4237
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2362
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2506  df-ral 2648  df-v 2895  df-sbc 3099  df-in 3264  df-ss 3271  df-uni 3952  df-int 3987  df-tr 4238
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