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Theorem trintALT 27937
Description: The intersection of a class of transitive sets is transitive. Exercise 5(b) of [Enderton] p. 73. trintALT 27937 is an alternative proof of trint 4129. trintALT 27937 is trintALTVD 27936 without virtual deductions and was automatically derived from trintALTVD 27936 using the tools program translate..without..overwriting.cmd and Metamath's minimize command. (Contributed by Alan Sare, 17-Apr-2012.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
trintALT  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  Tr  |^| A )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem trintALT
Dummy variables  q 
y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  |^| A )  ->  z  e.  y )
21a1i 10 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  |^| A )  -> 
z  e.  y ) )
3 iidn3 27545 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  |^| A )  -> 
( q  e.  A  ->  q  e.  A ) ) )
4 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  A. x  e.  A  Tr  x )
5 rspsbc 3070 . . . . . . . 8  |-  ( q  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  [. q  /  x ]. Tr  x
) )
63, 4, 5ee31 27807 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  |^| A )  -> 
( q  e.  A  ->  [. q  /  x ]. Tr  x ) ) )
7 trsbc 27587 . . . . . . . 8  |-  ( q  e.  A  ->  ( [. q  /  x ]. Tr  x  <->  Tr  q
) )
87biimpd 198 . . . . . . 7  |-  ( q  e.  A  ->  ( [. q  /  x ]. Tr  x  ->  Tr  q ) )
93, 6, 8ee33 27567 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  |^| A )  -> 
( q  e.  A  ->  Tr  q ) ) )
10 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  |^| A )  ->  y  e.  |^| A )
1110a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  |^| A )  -> 
y  e.  |^| A
) )
12 elintg 3871 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  |^| A  ->  (
y  e.  |^| A  <->  A. q  e.  A  y  e.  q ) )
1312ibi 232 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  |^| A  ->  A. q  e.  A  y  e.  q )
1411, 13syl6 29 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  |^| A )  ->  A. q  e.  A  y  e.  q )
)
15 rsp 2604 . . . . . . 7  |-  ( A. q  e.  A  y  e.  q  ->  ( q  e.  A  ->  y  e.  q ) )
1614, 15syl6 29 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  |^| A )  -> 
( q  e.  A  ->  y  e.  q ) ) )
17 trel 4121 . . . . . . 7  |-  ( Tr  q  ->  ( (
z  e.  y  /\  y  e.  q )  ->  z  e.  q ) )
1817exp3a 425 . . . . . 6  |-  ( Tr  q  ->  ( z  e.  y  ->  ( y  e.  q  ->  z  e.  q ) ) )
199, 2, 16, 18ee323 27552 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  |^| A )  -> 
( q  e.  A  ->  z  e.  q ) ) )
2019ralrimdv 2633 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  |^| A )  ->  A. q  e.  A  z  e.  q )
)
21 elintg 3871 . . . . 5  |-  ( z  e.  y  ->  (
z  e.  |^| A  <->  A. q  e.  A  z  e.  q ) )
2221biimprd 214 . . . 4  |-  ( z  e.  y  ->  ( A. q  e.  A  z  e.  q  ->  z  e.  |^| A ) )
232, 20, 22ee22 1352 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  |^| A )  -> 
z  e.  |^| A
) )
2423alrimivv 1618 . 2  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  A. z A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e. 
|^| A )  -> 
z  e.  |^| A
) )
25 dftr2 4116 . 2  |-  ( Tr 
|^| A  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  |^| A )  -> 
z  e.  |^| A
) )
2624, 25sylibr 203 1  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  Tr  |^| A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   A.wal 1527    e. wcel 1685   A.wral 2544   [.wsbc 2992   |^|cint 3863   Tr wtr 4114
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ral 2549  df-v 2791  df-sbc 2993  df-in 3160  df-ss 3167  df-uni 3829  df-int 3864  df-tr 4115
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