MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trirecip Unicode version

Theorem trirecip 12284
Description: The sum of the reciprocals of the triangle numbers converge to two. (Contributed by Scott Fenton, 23-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
trirecip  |-  sum_ k  e.  NN  ( 2  / 
( k  x.  (
k  +  1 ) ) )  =  2

Proof of Theorem trirecip
StepHypRef Expression
1 2cn 9784 . . . . 5  |-  2  e.  CC
21a1i 12 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  CC )
3 peano2nn 9726 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
4 nnmulcl 9737 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  e.  NN )  ->  ( k  x.  ( k  +  1 ) )  e.  NN )
53, 4mpdan 652 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  x.  ( k  +  1 ) )  e.  NN )
65nncnd 9730 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  x.  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
75nnne0d 9758 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  x.  ( k  +  1 ) )  =/=  0 )
82, 6, 7divrecd 9507 . . 3  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  /  ( k  x.  ( k  +  1 ) ) )  =  ( 2  x.  ( 1  /  (
k  x.  ( k  +  1 ) ) ) ) )
98sumeq2i 12138 . 2  |-  sum_ k  e.  NN  ( 2  / 
( k  x.  (
k  +  1 ) ) )  =  sum_ k  e.  NN  (
2  x.  ( 1  /  ( k  x.  ( k  +  1 ) ) ) )
10 nnuz 10231 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
11 1z 10021 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
1211a1i 12 . . . . 5  |-  (  T. 
->  1  e.  ZZ )
13 id 21 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  n  =  k )
14 oveq1 5799 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
n  +  1 )  =  ( k  +  1 ) )
1513, 14oveq12d 5810 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  (
n  x.  ( n  +  1 ) )  =  ( k  x.  ( k  +  1 ) ) )
1615oveq2d 5808 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  (
1  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) )  =  ( 1  / 
( k  x.  (
k  +  1 ) ) ) )
17 eqid 2258 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )
18 ovex 5817 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  ( k  x.  ( k  +  1 ) ) )  e. 
_V
1916, 17, 18fvmpt 5536 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) `  k
)  =  ( 1  /  ( k  x.  ( k  +  1 ) ) ) )
2019adantl 454 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) `  k
)  =  ( 1  /  ( k  x.  ( k  +  1 ) ) ) )
215nnrecred 9759 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  ( k  x.  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
2221recnd 8829 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  ( k  x.  ( k  +  1 ) ) )  e.  CC )
2322adantl 454 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  ( k  x.  ( k  +  1 ) ) )  e.  CC )
2417trireciplem 12283 . . . . . . 7  |-  seq  1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  ~~>  1
2524a1i 12 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) ) )  ~~>  1 )
26 climrel 11932 . . . . . . 7  |-  Rel  ~~>
2726releldmi 4903 . . . . . 6  |-  (  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  ~~>  1  ->  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  e. 
dom 
~~>  )
2825, 27syl 17 . . . . 5  |-  (  T. 
->  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
291a1i 12 . . . . 5  |-  (  T. 
->  2  e.  CC )
3010, 12, 20, 23, 28, 29isummulc2 12191 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( 2  x.  sum_ k  e.  NN  (
1  /  ( k  x.  ( k  +  1 ) ) ) )  =  sum_ k  e.  NN  ( 2  x.  ( 1  /  (
k  x.  ( k  +  1 ) ) ) ) )
3110, 12, 20, 23, 25isumclim 12186 . . . . 5  |-  (  T. 
->  sum_ k  e.  NN  ( 1  /  (
k  x.  ( k  +  1 ) ) )  =  1 )
3231oveq2d 5808 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( 2  x.  sum_ k  e.  NN  (
1  /  ( k  x.  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  x.  1 ) )
3330, 32eqtr3d 2292 . . 3  |-  (  T. 
->  sum_ k  e.  NN  ( 2  x.  (
1  /  ( k  x.  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  x.  1 ) )
3433trud 1320 . 2  |-  sum_ k  e.  NN  ( 2  x.  ( 1  /  (
k  x.  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  x.  1 )
351mulid1i 8807 . 2  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
369, 34, 353eqtri 2282 1  |-  sum_ k  e.  NN  ( 2  / 
( k  x.  (
k  +  1 ) ) )  =  2
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    T. wtru 1312    = wceq 1619    e. wcel 1621   class class class wbr 3997    e. cmpt 4051   dom cdm 4661   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   CCcc 8703   1c1 8706    + caddc 8708    x. cmul 8710    / cdiv 9391   NNcn 9714   2c2 9763   ZZcz 9992    seq cseq 11013    ~~> cli 11924   sum_csu 12124
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-inf2 7310  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-pre-sup 8783
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-se 4325  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-isom 4690  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-oadd 6451  df-er 6628  df-pm 6743  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-fin 6835  df-sup 7162  df-oi 7193  df-card 7540  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-2 9772  df-3 9773  df-n0 9934  df-z 9993  df-uz 10199  df-rp 10323  df-fz 10750  df-fzo 10838  df-fl 10892  df-seq 11014  df-exp 11072  df-hash 11305  df-shft 11528  df-cj 11550  df-re 11551  df-im 11552  df-sqr 11686  df-abs 11687  df-clim 11928  df-rlim 11929  df-sum 12125
  Copyright terms: Public domain W3C validator