MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trirecip Unicode version

Theorem trirecip 12248
Description: The sum of the reciprocals of the triangle numbers converge to two. (Contributed by Scott Fenton, 23-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
trirecip  |-  sum_ k  e.  NN  ( 2  / 
( k  x.  (
k  +  1 ) ) )  =  2

Proof of Theorem trirecip
StepHypRef Expression
1 2cn 9749 . . . . 5  |-  2  e.  CC
21a1i 12 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  CC )
3 peano2nn 9691 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
4 nnmulcl 9702 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  e.  NN )  ->  ( k  x.  ( k  +  1 ) )  e.  NN )
53, 4mpdan 652 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  x.  ( k  +  1 ) )  e.  NN )
65nncnd 9695 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  x.  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
75nnne0d 9723 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  x.  ( k  +  1 ) )  =/=  0 )
82, 6, 7divrecd 9472 . . 3  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  /  ( k  x.  ( k  +  1 ) ) )  =  ( 2  x.  ( 1  /  (
k  x.  ( k  +  1 ) ) ) ) )
98sumeq2i 12102 . 2  |-  sum_ k  e.  NN  ( 2  / 
( k  x.  (
k  +  1 ) ) )  =  sum_ k  e.  NN  (
2  x.  ( 1  /  ( k  x.  ( k  +  1 ) ) ) )
10 nnuz 10195 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
11 1z 9985 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
1211a1i 12 . . . . 5  |-  (  T. 
->  1  e.  ZZ )
13 id 21 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  n  =  k )
14 oveq1 5764 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
n  +  1 )  =  ( k  +  1 ) )
1513, 14oveq12d 5775 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  (
n  x.  ( n  +  1 ) )  =  ( k  x.  ( k  +  1 ) ) )
1615oveq2d 5773 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  (
1  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) )  =  ( 1  / 
( k  x.  (
k  +  1 ) ) ) )
17 eqid 2256 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )
18 ovex 5782 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  ( k  x.  ( k  +  1 ) ) )  e. 
_V
1916, 17, 18fvmpt 5501 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) `  k
)  =  ( 1  /  ( k  x.  ( k  +  1 ) ) ) )
2019adantl 454 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) `  k
)  =  ( 1  /  ( k  x.  ( k  +  1 ) ) ) )
215nnrecred 9724 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  ( k  x.  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
2221recnd 8794 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  ( k  x.  ( k  +  1 ) ) )  e.  CC )
2322adantl 454 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  ( k  x.  ( k  +  1 ) ) )  e.  CC )
2417trireciplem 12247 . . . . . . 7  |-  seq  1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  ~~>  1
2524a1i 12 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) ) )  ~~>  1 )
26 climrel 11896 . . . . . . 7  |-  Rel  ~~>
2726releldmi 4868 . . . . . 6  |-  (  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  ~~>  1  ->  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  e. 
dom 
~~>  )
2825, 27syl 17 . . . . 5  |-  (  T. 
->  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
291a1i 12 . . . . 5  |-  (  T. 
->  2  e.  CC )
3010, 12, 20, 23, 28, 29isummulc2 12155 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( 2  x.  sum_ k  e.  NN  (
1  /  ( k  x.  ( k  +  1 ) ) ) )  =  sum_ k  e.  NN  ( 2  x.  ( 1  /  (
k  x.  ( k  +  1 ) ) ) ) )
3110, 12, 20, 23, 25isumclim 12150 . . . . 5  |-  (  T. 
->  sum_ k  e.  NN  ( 1  /  (
k  x.  ( k  +  1 ) ) )  =  1 )
3231oveq2d 5773 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( 2  x.  sum_ k  e.  NN  (
1  /  ( k  x.  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  x.  1 ) )
3330, 32eqtr3d 2290 . . 3  |-  (  T. 
->  sum_ k  e.  NN  ( 2  x.  (
1  /  ( k  x.  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  x.  1 ) )
3433trud 1320 . 2  |-  sum_ k  e.  NN  ( 2  x.  ( 1  /  (
k  x.  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  x.  1 )
351mulid1i 8772 . 2  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
369, 34, 353eqtri 2280 1  |-  sum_ k  e.  NN  ( 2  / 
( k  x.  (
k  +  1 ) ) )  =  2
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    T. wtru 1312    = wceq 1619    e. wcel 1621   class class class wbr 3963    e. cmpt 4017   dom cdm 4626   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   CCcc 8668   1c1 8671    + caddc 8673    x. cmul 8675    / cdiv 9356   NNcn 9679   2c2 9728   ZZcz 9956    seq cseq 10977    ~~> cli 11888   sum_csu 12088
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-inf2 7275  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747  ax-pre-sup 8748
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-se 4290  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-isom 4655  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-iota 6190  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-1o 6412  df-oadd 6416  df-er 6593  df-pm 6708  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-fin 6800  df-sup 7127  df-oi 7158  df-card 7505  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-div 9357  df-n 9680  df-2 9737  df-3 9738  df-n0 9898  df-z 9957  df-uz 10163  df-rp 10287  df-fz 10714  df-fzo 10802  df-fl 10856  df-seq 10978  df-exp 11036  df-hash 11269  df-shft 11492  df-cj 11514  df-re 11515  df-im 11516  df-sqr 11650  df-abs 11651  df-clim 11892  df-rlim 11893  df-sum 12089
  Copyright terms: Public domain W3C validator