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Theorem trlval2 30645
Description: The value of the trace of a lattice translation, given any atom  P not under the fiducial co-atom  W. Note: this requires only the weaker assumption  K  e.  Lat; we use  K  e.  HL for convenience. (Contributed by NM, 20-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
trlval2.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
trlval2.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
trlval2.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
trlval2.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
trlval2.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
trlval2.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
trlval2.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
trlval2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  F )  =  ( ( P  .\/  ( F `  P )
)  ./\  W )
)

Proof of Theorem trlval2
Dummy variables  x  q are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hllat 29846 . . 3  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
21anim1i 552 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( K  e.  Lat  /\  W  e.  H ) )
3 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
4 trlval2.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
5 trlval2.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
6 trlval2.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
7 trlval2.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
8 trlval2.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
9 trlval2.t . . . . 5  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
10 trlval2.r . . . . 5  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
113, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10trlval 30644 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( R `  F )  =  (
iota_ x  e.  ( Base `  K ) A. q  e.  A  ( -.  q  .<_  W  ->  x  =  ( (
q  .\/  ( F `  q ) )  ./\  W ) ) ) )
12113adant3 977 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  F )  =  (
iota_ x  e.  ( Base `  K ) A. q  e.  A  ( -.  q  .<_  W  ->  x  =  ( (
q  .\/  ( F `  q ) )  ./\  W ) ) ) )
13 simp1l 981 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  K  e.  Lat )
14 simp3l 985 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  P  e.  A )
153, 7atbase 29772 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
1614, 15syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  P  e.  ( Base `  K )
)
173, 8, 9ltrncl 30607 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  ( Base `  K ) )  ->  ( F `  P )  e.  (
Base `  K )
)
1816, 17syld3an3 1229 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( F `  P )  e.  (
Base `  K )
)
193, 5latjcl 14434 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  ( F `  P )  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( P  .\/  ( F `  P ) )  e.  ( Base `  K
) )
2013, 16, 18, 19syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( P  .\/  ( F `  P
) )  e.  (
Base `  K )
)
21 simp1r 982 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  W  e.  H )
223, 8lhpbase 30480 . . . . . 6  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
2321, 22syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  W  e.  ( Base `  K )
)
243, 6latmcl 14435 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  ( F `
 P ) )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( P  .\/  ( F `  P ) )  ./\  W )  e.  ( Base `  K ) )
2513, 20, 23, 24syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( P  .\/  ( F `  P ) )  ./\  W )  e.  ( Base `  K ) )
26 simp13l 1072 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( ( P  .\/  ( F `
 P ) ) 
./\  W )  e.  ( Base `  K
)  /\  x  e.  ( Base `  K )
)  ->  P  e.  A )
27 simp13r 1073 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( ( P  .\/  ( F `
 P ) ) 
./\  W )  e.  ( Base `  K
)  /\  x  e.  ( Base `  K )
)  ->  -.  P  .<_  W )
28 breq1 4175 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  =  P  ->  (
q  .<_  W  <->  P  .<_  W ) )
2928notbid 286 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  =  P  ->  ( -.  q  .<_  W  <->  -.  P  .<_  W ) )
30 id 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( q  =  P  ->  q  =  P )
31 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( q  =  P  ->  ( F `  q )  =  ( F `  P ) )
3230, 31oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( q  =  P  ->  (
q  .\/  ( F `  q ) )  =  ( P  .\/  ( F `  P )
) )
3332oveq1d 6055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  =  P  ->  (
( q  .\/  ( F `  q )
)  ./\  W )  =  ( ( P 
.\/  ( F `  P ) )  ./\  W ) )
3433eqeq2d 2415 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  =  P  ->  (
x  =  ( ( q  .\/  ( F `
 q ) ) 
./\  W )  <->  x  =  ( ( P  .\/  ( F `  P ) )  ./\  W )
) )
3529, 34imbi12d 312 . . . . . . . . 9  |-  ( q  =  P  ->  (
( -.  q  .<_  W  ->  x  =  ( ( q  .\/  ( F `  q )
)  ./\  W )
)  <->  ( -.  P  .<_  W  ->  x  =  ( ( P  .\/  ( F `  P ) )  ./\  W )
) ) )
3635rspcv 3008 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  A  ->  ( A. q  e.  A  ( -.  q  .<_  W  ->  x  =  ( ( q  .\/  ( F `  q )
)  ./\  W )
)  ->  ( -.  P  .<_  W  ->  x  =  ( ( P 
.\/  ( F `  P ) )  ./\  W ) ) ) )
3736com23 74 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  A  ->  ( -.  P  .<_  W  -> 
( A. q  e.  A  ( -.  q  .<_  W  ->  x  =  ( ( q  .\/  ( F `  q ) )  ./\  W )
)  ->  x  =  ( ( P  .\/  ( F `  P ) )  ./\  W )
) ) )
3826, 27, 37sylc 58 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( ( P  .\/  ( F `
 P ) ) 
./\  W )  e.  ( Base `  K
)  /\  x  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( A. q  e.  A  ( -.  q  .<_  W  ->  x  =  ( (
q  .\/  ( F `  q ) )  ./\  W ) )  ->  x  =  ( ( P 
.\/  ( F `  P ) )  ./\  W ) ) )
39 simp11 987 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  -.  q  .<_  W  /\  q  e.  A )  ->  ( K  e.  Lat  /\  W  e.  H ) )
40 simp12 988 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  -.  q  .<_  W  /\  q  e.  A )  ->  F  e.  T )
41 simp13l 1072 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  -.  q  .<_  W  /\  q  e.  A )  ->  P  e.  A )
42 simp13r 1073 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  -.  q  .<_  W  /\  q  e.  A )  ->  -.  P  .<_  W )
43 simp3 959 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  -.  q  .<_  W  /\  q  e.  A )  ->  q  e.  A )
44 simp2 958 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  -.  q  .<_  W  /\  q  e.  A )  ->  -.  q  .<_  W )
454, 5, 6, 7, 8, 9ltrnu 30603 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W ) )  -> 
( ( P  .\/  ( F `  P ) )  ./\  W )  =  ( ( q 
.\/  ( F `  q ) )  ./\  W ) )
4639, 40, 41, 42, 43, 44, 45syl222anc 1200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  -.  q  .<_  W  /\  q  e.  A )  ->  (
( P  .\/  ( F `  P )
)  ./\  W )  =  ( ( q 
.\/  ( F `  q ) )  ./\  W ) )
47 eqeq2 2413 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  .\/  ( F `  P )
)  ./\  W )  =  ( ( q 
.\/  ( F `  q ) )  ./\  W )  ->  ( x  =  ( ( P 
.\/  ( F `  P ) )  ./\  W )  <->  x  =  (
( q  .\/  ( F `  q )
)  ./\  W )
) )
4847biimpd 199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  .\/  ( F `  P )
)  ./\  W )  =  ( ( q 
.\/  ( F `  q ) )  ./\  W )  ->  ( x  =  ( ( P 
.\/  ( F `  P ) )  ./\  W )  ->  x  =  ( ( q  .\/  ( F `  q ) )  ./\  W )
) )
4946, 48syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  -.  q  .<_  W  /\  q  e.  A )  ->  (
x  =  ( ( P  .\/  ( F `
 P ) ) 
./\  W )  ->  x  =  ( (
q  .\/  ( F `  q ) )  ./\  W ) ) )
50493exp 1152 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( -.  q  .<_  W  ->  (
q  e.  A  -> 
( x  =  ( ( P  .\/  ( F `  P )
)  ./\  W )  ->  x  =  ( ( q  .\/  ( F `
 q ) ) 
./\  W ) ) ) ) )
5150com24 83 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( x  =  ( ( P 
.\/  ( F `  P ) )  ./\  W )  ->  ( q  e.  A  ->  ( -.  q  .<_  W  ->  x  =  ( ( q 
.\/  ( F `  q ) )  ./\  W ) ) ) ) )
5251ralrimdv 2755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( x  =  ( ( P 
.\/  ( F `  P ) )  ./\  W )  ->  A. q  e.  A  ( -.  q  .<_  W  ->  x  =  ( ( q 
.\/  ( F `  q ) )  ./\  W ) ) ) )
53523ad2ant1 978 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( ( P  .\/  ( F `
 P ) ) 
./\  W )  e.  ( Base `  K
)  /\  x  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( x  =  ( ( P 
.\/  ( F `  P ) )  ./\  W )  ->  A. q  e.  A  ( -.  q  .<_  W  ->  x  =  ( ( q 
.\/  ( F `  q ) )  ./\  W ) ) ) )
5438, 53impbid 184 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( ( P  .\/  ( F `
 P ) ) 
./\  W )  e.  ( Base `  K
)  /\  x  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( A. q  e.  A  ( -.  q  .<_  W  ->  x  =  ( (
q  .\/  ( F `  q ) )  ./\  W ) )  <->  x  =  ( ( P  .\/  ( F `  P ) )  ./\  W )
) )
5554riota5OLD 6535 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( ( P  .\/  ( F `
 P ) ) 
./\  W )  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( iota_ x  e.  ( Base `  K ) A. q  e.  A  ( -.  q  .<_  W  ->  x  =  ( ( q 
.\/  ( F `  q ) )  ./\  W ) ) )  =  ( ( P  .\/  ( F `  P ) )  ./\  W )
)
5625, 55mpdan 650 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( iota_ x  e.  ( Base `  K
) A. q  e.  A  ( -.  q  .<_  W  ->  x  =  ( ( q  .\/  ( F `  q ) )  ./\  W )
) )  =  ( ( P  .\/  ( F `  P )
)  ./\  W )
)
5712, 56eqtrd 2436 . 2  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  F )  =  ( ( P  .\/  ( F `  P )
)  ./\  W )
)
582, 57syl3an1 1217 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  F )  =  ( ( P  .\/  ( F `  P )
)  ./\  W )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   iota_crio 6501   Basecbs 13424   lecple 13491   joincjn 14356   meetcmee 14357   Latclat 14429   Atomscatm 29746   HLchlt 29833   LHypclh 30466   LTrncltrn 30583   trLctrl 30640
This theorem is referenced by:  trlcl  30646  trlcnv  30647  trljat1  30648  trljat2  30649  trlat  30651  trl0  30652  trlle  30666  trlval3  30669  trlval5  30671  cdlemd6  30685  cdlemf  31045  cdlemg4a  31090  cdlemg4b1  31091  cdlemg4b2  31092  cdlemg4  31099  cdlemg11b  31124  cdlemg13a  31133  cdlemg13  31134  cdlemg17a  31143  cdlemg17dN  31145  cdlemg17e  31147  cdlemg17f  31148  trlcoabs2N  31204  trlcolem  31208  cdlemg42  31211  cdlemg43  31212  cdlemi1  31300  cdlemk4  31316  cdlemk39  31398  dia2dimlem1  31547  dia2dimlem2  31548  dia2dimlem3  31549  cdlemm10N  31601  cdlemn2  31678  cdlemn10  31689  dihjatcclem3  31903
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-map 6979  df-lat 14430  df-ats 29750  df-atl 29781  df-cvlat 29805  df-hlat 29834  df-lhyp 30470  df-laut 30471  df-ldil 30586  df-ltrn 30587  df-trl 30641
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