Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trpredlem1 Unicode version

Theorem trpredlem1 24788
Description: Technical lemma for transitive predecessors properties. All values of the transitive predecessors' underlying function are subsets of the base set. (Contributed by Scott Fenton, 28-Apr-2012.)
Assertion
Ref Expression
trpredlem1  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  B  ->  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i )  C_  A
)
Distinct variable groups:    A, a,
y    R, a, y    X, a
Allowed substitution hints:    A( i)    B( y, i, a)    R( i)    X( y, i)

Proof of Theorem trpredlem1
Dummy variables  e 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0suc 4759 . . 3  |-  ( i  e.  om  ->  (
i  =  (/)  \/  E. j  e.  om  i  =  suc  j ) )
2 predss 24731 . . . . . 6  |-  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  A
3 fr0g 6532 . . . . . . 7  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  B  ->  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  (/) )  =  Pred ( R ,  A ,  X ) )
43sseq1d 3281 . . . . . 6  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  B  ->  ( ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  (/) )  C_  A 
<-> 
Pred ( R ,  A ,  X )  C_  A ) )
52, 4mpbiri 224 . . . . 5  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  B  ->  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  (/) )  C_  A )
6 fveq2 5605 . . . . . 6  |-  ( i  =  (/)  ->  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i )  =  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  (/) ) )
76sseq1d 3281 . . . . 5  |-  ( i  =  (/)  ->  ( ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i )  C_  A  <->  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  (/) )  C_  A )
)
85, 7syl5ibr 212 . . . 4  |-  ( i  =  (/)  ->  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  B  ->  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i )  C_  A
) )
9 iunss 4022 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U_ e  e.  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j )
Pred ( R ,  A ,  e )  C_  A  <->  A. e  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) Pred ( R ,  A , 
e )  C_  A
)
10 predss 24731 . . . . . . . . . . . 12  |-  Pred ( R ,  A , 
e )  C_  A
1110a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( e  e.  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j )  ->  Pred ( R ,  A ,  e )  C_  A )
129, 11mprgbir 2689 . . . . . . . . . 10  |-  U_ e  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) Pred ( R ,  A , 
e )  C_  A
13 nfcv 2494 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ a Pred ( R ,  A ,  X )
14 nfcv 2494 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ a
j
15 nfmpt1 4188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ a
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) )
1615, 13nfrdg 6511 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ a rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )
17 nfcv 2494 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ a om
1816, 17nfres 5036 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ a
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om )
1918, 14nffv 5612 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ a
( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j )
20 nfcv 2494 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ a Pred ( R ,  A ,  e )
2119, 20nfiun 4010 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ a U_ e  e.  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) Pred ( R ,  A , 
e )
22 predeq3 24729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  e  ->  Pred ( R ,  A , 
y )  =  Pred ( R ,  A , 
e ) )
2322cbviunv 4020 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y )  =  U_ e  e.  a  Pred ( R ,  A ,  e )
2423mpteq2i 4182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) )  =  ( a  e.  _V  |->  U_ e  e.  a  Pred ( R ,  A , 
e ) )
25 rdgeq1 6508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) )  =  ( a  e.  _V  |->  U_ e  e.  a  Pred ( R ,  A , 
e ) )  ->  rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  =  rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ e  e.  a  Pred ( R ,  A ,  e ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) ) )
26 reseq1 5028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  =  rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ e  e.  a  Pred ( R ,  A ,  e ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  -> 
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om )  =  ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ e  e.  a  Pred ( R ,  A , 
e ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) )
2724, 25, 26mp2b 9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om )  =  ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ e  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  e )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om )
28 iuneq1 3997 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j )  ->  U_ e  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  e )  =  U_ e  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) Pred ( R ,  A , 
e ) )
2913, 14, 21, 27, 28frsucmpt 6534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  om  /\  U_ e  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j )
Pred ( R ,  A ,  e )  e.  _V )  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  j )  =  U_ e  e.  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j )
Pred ( R ,  A ,  e )
)
3029sseq1d 3281 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  om  /\  U_ e  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j )
Pred ( R ,  A ,  e )  e.  _V )  ->  (
( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  j )  C_  A  <->  U_ e  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j )
Pred ( R ,  A ,  e )  C_  A ) )
3112, 30mpbiri 224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  om  /\  U_ e  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j )
Pred ( R ,  A ,  e )  e.  _V )  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  j )  C_  A
)
32 0ss 3559 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  C_  A
3313, 14, 21, 27, 28frsucmptn 6535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -. 
U_ e  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) Pred ( R ,  A , 
e )  e.  _V  ->  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  j )  =  (/) )
3433adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  om  /\  -.  U_ e  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) Pred ( R ,  A , 
e )  e.  _V )  ->  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  suc  j
)  =  (/) )
3534sseq1d 3281 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  om  /\  -.  U_ e  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) Pred ( R ,  A , 
e )  e.  _V )  ->  ( ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  suc  j
)  C_  A  <->  (/)  C_  A
) )
3632, 35mpbiri 224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  om  /\  -.  U_ e  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) Pred ( R ,  A , 
e )  e.  _V )  ->  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  suc  j
)  C_  A )
3731, 36pm2.61dan 766 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  om  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  j )  C_  A
)
3837adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e.  om  /\  i  =  suc  j )  ->  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  suc  j
)  C_  A )
39 fveq2 5605 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  suc  j  -> 
( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i )  =  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  j ) )
4039sseq1d 3281 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  suc  j  -> 
( ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i ) 
C_  A  <->  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  suc  j
)  C_  A )
)
4140adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e.  om  /\  i  =  suc  j )  ->  ( ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i ) 
C_  A  <->  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  suc  j
)  C_  A )
)
4238, 41mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( ( j  e.  om  /\  i  =  suc  j )  ->  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i ) 
C_  A )
4342rexlimiva 2738 . . . . 5  |-  ( E. j  e.  om  i  =  suc  j  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i )  C_  A
)
4443a1d 22 . . . 4  |-  ( E. j  e.  om  i  =  suc  j  ->  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  B  ->  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i )  C_  A
) )
458, 44jaoi 368 . . 3  |-  ( ( i  =  (/)  \/  E. j  e.  om  i  =  suc  j )  -> 
( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  B  ->  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i ) 
C_  A ) )
461, 45syl 15 . 2  |-  ( i  e.  om  ->  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  B  ->  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i )  C_  A
) )
47 nfvres 5637 . . . . 5  |-  ( -.  i  e.  om  ->  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i )  =  (/) )
4847sseq1d 3281 . . . 4  |-  ( -.  i  e.  om  ->  ( ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i )  C_  A  <->  (/)  C_  A ) )
4932, 48mpbiri 224 . . 3  |-  ( -.  i  e.  om  ->  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i )  C_  A
)
5049a1d 22 . 2  |-  ( -.  i  e.  om  ->  (
Pred ( R ,  A ,  X )  e.  B  ->  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i ) 
C_  A ) )
5146, 50pm2.61i 156 1  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  B  ->  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i )  C_  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   E.wrex 2620   _Vcvv 2864    C_ wss 3228   (/)c0 3531   U_ciun 3984    e. cmpt 4156   suc csuc 4473   omcom 4735    |` cres 4770   ` cfv 5334   reccrdg 6506   Predcpred 24725
This theorem is referenced by:  trpredss  24790  trpredtr  24791  trpredmintr  24792  trpredrec  24799
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-pred 24726
  Copyright terms: Public domain W3C validator