Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trpredlem1 Unicode version

Theorem trpredlem1 24788
 Description: Technical lemma for transitive predecessors properties. All values of the transitive predecessors' underlying function are subsets of the base set. (Contributed by Scott Fenton, 28-Apr-2012.)
Assertion
Ref Expression
trpredlem1
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,,)   ()   (,)

Proof of Theorem trpredlem1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0suc 4759 . . 3
2 predss 24731 . . . . . 6
3 fr0g 6532 . . . . . . 7
43sseq1d 3281 . . . . . 6
52, 4mpbiri 224 . . . . 5
6 fveq2 5605 . . . . . 6
76sseq1d 3281 . . . . 5
85, 7syl5ibr 212 . . . 4
9 iunss 4022 . . . . . . . . . . 11
10 predss 24731 . . . . . . . . . . . 12
1110a1i 10 . . . . . . . . . . 11
129, 11mprgbir 2689 . . . . . . . . . 10
13 nfcv 2494 . . . . . . . . . . . 12
14 nfcv 2494 . . . . . . . . . . . 12
15 nfmpt1 4188 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1615, 13nfrdg 6511 . . . . . . . . . . . . . . 15
17 nfcv 2494 . . . . . . . . . . . . . . 15
1816, 17nfres 5036 . . . . . . . . . . . . . 14
1918, 14nffv 5612 . . . . . . . . . . . . 13
20 nfcv 2494 . . . . . . . . . . . . 13
2119, 20nfiun 4010 . . . . . . . . . . . 12
22 predeq3 24729 . . . . . . . . . . . . . . 15
2322cbviunv 4020 . . . . . . . . . . . . . 14
2423mpteq2i 4182 . . . . . . . . . . . . 13
25 rdgeq1 6508 . . . . . . . . . . . . 13
26 reseq1 5028 . . . . . . . . . . . . 13
2724, 25, 26mp2b 9 . . . . . . . . . . . 12
28 iuneq1 3997 . . . . . . . . . . . 12
2913, 14, 21, 27, 28frsucmpt 6534 . . . . . . . . . . 11
3029sseq1d 3281 . . . . . . . . . 10
3112, 30mpbiri 224 . . . . . . . . 9
32 0ss 3559 . . . . . . . . . 10
3313, 14, 21, 27, 28frsucmptn 6535 . . . . . . . . . . . 12
3433adantl 452 . . . . . . . . . . 11
3534sseq1d 3281 . . . . . . . . . 10
3632, 35mpbiri 224 . . . . . . . . 9
3731, 36pm2.61dan 766 . . . . . . . 8
3837adantr 451 . . . . . . 7
39 fveq2 5605 . . . . . . . . 9
4039sseq1d 3281 . . . . . . . 8
4140adantl 452 . . . . . . 7
4238, 41mpbird 223 . . . . . 6
4342rexlimiva 2738 . . . . 5
4443a1d 22 . . . 4
458, 44jaoi 368 . . 3
461, 45syl 15 . 2
47 nfvres 5637 . . . . 5
4847sseq1d 3281 . . . 4
4932, 48mpbiri 224 . . 3
5049a1d 22 . 2
5146, 50pm2.61i 156 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wo 357   wa 358   wceq 1642   wcel 1710  wrex 2620  cvv 2864   wss 3228  c0 3531  ciun 3984   cmpt 4156   csuc 4473  com 4735   cres 4770  cfv 5334  crdg 6506  cpred 24725 This theorem is referenced by:  trpredss  24790  trpredtr  24791  trpredmintr  24792  trpredrec  24799 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-pred 24726
 Copyright terms: Public domain W3C validator