Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trpredpred Structured version   Unicode version

Theorem trpredpred 25508
Description: Assuming it exists, the predecessor class is a subset of the transitive predecessors. (Contributed by Scott Fenton, 18-Feb-2011.)
Assertion
Ref Expression
trpredpred  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  B  ->  Pred ( R ,  A ,  X )  C_ 
TrPred ( R ,  A ,  X ) )

Proof of Theorem trpredpred
Dummy variables  a 
y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fr0g 6695 . . . . . 6  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  B  ->  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  (/) )  =  Pred ( R ,  A ,  X ) )
2 frfnom 6694 . . . . . . 7  |-  ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om )  Fn  om
3 peano1 4866 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  om
4 fnbrfvb 5769 . . . . . . 7  |-  ( ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om )  Fn 
om  /\  (/)  e.  om )  ->  ( ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  (/) )  = 
Pred ( R ,  A ,  X )  <->  (/) ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) Pred ( R ,  A ,  X
) ) )
52, 3, 4mp2an 655 . . . . . 6  |-  ( ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  (/) )  =  Pred ( R ,  A ,  X )  <->  (/) ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) Pred ( R ,  A ,  X
) )
61, 5sylib 190 . . . . 5  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  B  -> 
(/) ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) Pred ( R ,  A ,  X ) )
7 0ex 4341 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
8 breq1 4217 . . . . . 6  |-  ( z  =  (/)  ->  ( z ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) Pred ( R ,  A ,  X )  <->  (/) ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) Pred ( R ,  A ,  X
) ) )
97, 8spcev 3045 . . . . 5  |-  ( (/) ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) Pred ( R ,  A ,  X
)  ->  E. z 
z ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) Pred ( R ,  A ,  X ) )
106, 9syl 16 . . . 4  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  B  ->  E. z  z ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) Pred ( R ,  A ,  X
) )
11 elrng 5064 . . . 4  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  B  ->  ( Pred ( R ,  A ,  X
)  e.  ran  ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om )  <->  E. z  z ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) Pred ( R ,  A ,  X
) ) )
1210, 11mpbird 225 . . 3  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  B  ->  Pred ( R ,  A ,  X )  e.  ran  ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) )
13 elssuni 4045 . . 3  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  ran  ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om )  ->  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  U. ran  ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) )
1412, 13syl 16 . 2  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  B  ->  Pred ( R ,  A ,  X )  C_ 
U. ran  ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) )
15 df-trpred 25498 . 2  |-  TrPred ( R ,  A ,  X
)  =  U. ran  ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om )
1614, 15syl6sseqr 3397 1  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  B  ->  Pred ( R ,  A ,  X )  C_ 
TrPred ( R ,  A ,  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958    C_ wss 3322   (/)c0 3630   U.cuni 4017   U_ciun 4095   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268   omcom 4847   ran crn 4881    |` cres 4882    Fn wfn 5451   ` cfv 5456   reccrdg 6669   Predcpred 25440   TrPredctrpred 25497
This theorem is referenced by:  dftrpred3g  25513  trpredpo  25515  frmin  25519
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-trpred 25498
  Copyright terms: Public domain W3C validator