Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trpredpred Unicode version

Theorem trpredpred 25445
Description: Assuming it exists, the predecessor class is a subset of the transitive predecessors. (Contributed by Scott Fenton, 18-Feb-2011.)
Assertion
Ref Expression
trpredpred  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  B  ->  Pred ( R ,  A ,  X )  C_ 
TrPred ( R ,  A ,  X ) )

Proof of Theorem trpredpred
Dummy variables  a 
y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fr0g 6652 . . . . . 6  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  B  ->  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  (/) )  =  Pred ( R ,  A ,  X ) )
2 frfnom 6651 . . . . . . 7  |-  ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om )  Fn  om
3 peano1 4823 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  om
4 fnbrfvb 5726 . . . . . . 7  |-  ( ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om )  Fn 
om  /\  (/)  e.  om )  ->  ( ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  (/) )  = 
Pred ( R ,  A ,  X )  <->  (/) ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) Pred ( R ,  A ,  X
) ) )
52, 3, 4mp2an 654 . . . . . 6  |-  ( ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  (/) )  =  Pred ( R ,  A ,  X )  <->  (/) ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) Pred ( R ,  A ,  X
) )
61, 5sylib 189 . . . . 5  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  B  -> 
(/) ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) Pred ( R ,  A ,  X ) )
7 0ex 4299 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
8 breq1 4175 . . . . . 6  |-  ( z  =  (/)  ->  ( z ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) Pred ( R ,  A ,  X )  <->  (/) ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) Pred ( R ,  A ,  X
) ) )
97, 8spcev 3003 . . . . 5  |-  ( (/) ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) Pred ( R ,  A ,  X
)  ->  E. z 
z ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) Pred ( R ,  A ,  X ) )
106, 9syl 16 . . . 4  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  B  ->  E. z  z ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) Pred ( R ,  A ,  X
) )
11 elrng 5021 . . . 4  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  B  ->  ( Pred ( R ,  A ,  X
)  e.  ran  ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om )  <->  E. z  z ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) Pred ( R ,  A ,  X
) ) )
1210, 11mpbird 224 . . 3  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  B  ->  Pred ( R ,  A ,  X )  e.  ran  ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) )
13 elssuni 4003 . . 3  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  ran  ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om )  ->  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  U. ran  ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) )
1412, 13syl 16 . 2  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  B  ->  Pred ( R ,  A ,  X )  C_ 
U. ran  ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) )
15 df-trpred 25435 . 2  |-  TrPred ( R ,  A ,  X
)  =  U. ran  ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om )
1614, 15syl6sseqr 3355 1  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  B  ->  Pred ( R ,  A ,  X )  C_ 
TrPred ( R ,  A ,  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   (/)c0 3588   U.cuni 3975   U_ciun 4053   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   omcom 4804   ran crn 4838    |` cres 4839    Fn wfn 5408   ` cfv 5413   reccrdg 6626   Predcpred 25381   TrPredctrpred 25434
This theorem is referenced by:  dftrpred3g  25450  trpredpo  25452  frmin  25456
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-trpred 25435
  Copyright terms: Public domain W3C validator