Theorem trran 10607

Description: Range of a translation.

Hypothesis

Ref	Expression
trran.1	|- F = (x e. RR |-> (x + A))

Assertion

Ref	Expression
trran	|- (A e. RR -> ran F = RR)

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem trran

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 1537	. . . . . . 7 |- (y = (x + A) -> (y e. RR <-> (x + A) e. RR))
2		axaddrcl 5284	. . . . . . 7 |- ((x e. RR /\ A e. RR) -> (x + A) e. RR)
3	1, 2	syl5cbir 211	. . . . . 6 |- ((x e. RR /\ A e. RR) -> (y = (x + A) -> y e. RR))
4	3	expcom 374	. . . . 5 |- (A e. RR -> (x e. RR -> (y = (x + A) -> y e. RR)))
5	4	r19.23adv 1749	. . . 4 |- (A e. RR -> (E.x e. RR y = (x + A) -> y e. RR))
6		opreq1 3974	. . . . . . . 8 |- (x = (y - A) -> (x + A) = ((y - A) + A))
7	6	eqeq2d 1489	. . . . . . 7 |- (x = (y - A) -> (y = (x + A) <-> y = ((y - A) + A)))
8	7	rcla4ev 1880	. . . . . 6 |- (((y - A) e. RR /\ y = ((y - A) + A)) -> E.x e. RR y = (x + A))
9		resubclt 5450	. . . . . 6 |- ((y e. RR /\ A e. RR) -> (y - A) e. RR)
10		npcant 5411	. . . . . . . 8 |- ((y e. CC /\ A e. CC) -> ((y - A) + A) = y)
11		recnt 5325	. . . . . . . 8 |- (y e. RR -> y e. CC)
12		recnt 5325	. . . . . . . 8 |- (A e. RR -> A e. CC)
13	10, 11, 12	syl2an 456	. . . . . . 7 |- ((y e. RR /\ A e. RR) -> ((y - A) + A) = y)
14	13	eqcomd 1483	. . . . . 6 |- ((y e. RR /\ A e. RR) -> y = ((y - A) + A))
15	8, 9, 14	sylanc 473	. . . . 5 |- ((y e. RR /\ A e. RR) -> E.x e. RR y = (x + A))
16	15	expcom 374	. . . 4 |- (A e. RR -> (y e. RR -> E.x e. RR y = (x + A)))
17	5, 16	impbid 518	. . 3 |- (A e. RR -> (E.x e. RR y = (x + A) <-> y e. RR))
18	17	abbi1dv 1582	. 2 |- (A e. RR -> {y | E.x e. RR y = (x + A)} = RR)
19		trran.1	. . 3 |- F = (x e. RR |-> (x + A))
20	19	cmpran 10459	. 2 |- ran F = {y | E.x e. RR y = (x + A)}
21	18, 20	syl5eq 1522	1 |- (A e. RR -> ran F = RR)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  {cab 1466  E.wrex 1649  ran crn 3177  (class class class)co 3969   e. cmpt 4077  CCcc 5244  RRcr 5245   + caddc 5249   - cmin 5304

This theorem is referenced by:  trnij 10608

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-mpt 4079  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-sub 5368  df-neg 5370

Copyright terms: Public domain